8.6空间直线、平面的垂直-【新教材】2020--2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含答案）

1285875-3028958.6空间直线、平面的垂直
8.6空间直线、平面的垂直

1.已知 l,m 是两条不同的直线， α 是平面， l?/α ， m????????α ，则“ l⊥m ”是“ l⊥α ”的（?? ）
A.?充要条件?????????????B.?充分不必要条件
C.?必要不充分条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
2.在棱长为 22 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， E 、 F 分别为棱 AB 、 AD 的中点，则平面 D1EF 与正方体 ABCD?A1B1C1D1 外接球的交点轨迹长度为（??? ）
A.?23π???????????????????????????????????B.?13π???????????????????????????????????C.?4133π???????????????????????????????????D.?4π
3.已知两条不同的直线 l，m 和不重合的两个平面 α,β ，且 l⊥β ，有下面四个命题：①若 m⊥β ，则 l//m ；②若 α//β ，则 l⊥a ；③若 α⊥β ，则 l//α ；④若 l⊥m ，则 m//β ．其中真命题的序号是（??? ）
A.?①②????????????????????????????????????B.?②③????????????????????????????????????C.?②③④????????????????????????????????????D.?①④
4.已知 α,β 是两个不重合的平面，直线 l⊥α ，则“ l//β ”是“ α⊥β ”的（??? ）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
5.已知直三棱柱 ABC?A1B1C1 的侧棱长为 2 ， AB⊥BC ， AB=BC=2 .过 AB 、 BB1 的中点 E 、 F 作平面 α 与平面 AA1C1C 垂直，则所得截面周长为（??? ）
A.?22+6?????????????????????????B.?2+26?????????????????????????C.?32+6?????????????????????????D.?32+26
6.若 α ， β 表示两个不同的平面， m 为平面 α 内一条直线，则（??? ）
A.?“ m//β ”是 α//β 的充分不必要条件
B.?“ m//β ”是 α//β 的必要不充分条件
C.?“ m⊥β ”是“ α⊥β ”的必要不充分条件
D.?“ m⊥β ”是“ α⊥β ”充要条件
7.已知 m ， n 表示两条不同直线， α ， β 表示两个不同平面．设有四个命题： p1 ：若 m//α ， m⊥n ，则 n⊥α ； p2 ：若 m//α ， n⊥α ，则 m⊥n ； p3 ：若 m//α ， α⊥β ，则 m//β ； p4 ：若 m//α ， m//β ，则 α//β ．则下列复合命题中为真命题的是（?? ）
A.?p1∧p2?????????????????????????????B.??p1∧p4?????????????????????????????C.?p2∨p3?????????????????????????????D.?p3∨p4
8.在棱长为 2 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， O 为正方形 A1B1C1D1 的中心， P ， M ， N 分别为 DD1 ， AB ， BC 的中点，则四面体 OPMN 的体积为（??? ）
A.?512??????????????????????????????????????B.?56??????????????????????????????????????C.?5212??????????????????????????????????????D.?526
9.已知m，n为两条不同的直线， α 和 β 是两个不同的平面，下列为真命题的是（??? ）
A.?m⊥n,m//α?n⊥α??????????????????????????????????????B.?n//β,β⊥α?n⊥α
C.?m//n,m⊥β?n⊥β??????????????????????????????????????D.?m//α,n?α?m//n
10.已知 a、b、l 是空间中的三条直线，其中直线 a、b 在平面 α 上，则“ l⊥a 且 l⊥b ”是“ l⊥ 平面 α ”的(??? )
A.?充分非必要条件????????????????B.?必要非充分条件 C.?充要条件????????????????D.?非充分非必要条件
11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD， PA=PB=22AB ，若 △PBC 和 △PCD 的面积分别为1和 3 ，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为________.
12.给出下列命题：
①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行﹔
②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；
③设 α,β,γ 为平面，若 α⊥β,β⊥γ ，则 α⊥γ ；
④设 α,β,γ 为平面，若 α//β,β//γ ，则 α//γ ．
其中所有正确命题的序号为________．
13.如图，在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中， AB=AC=5 ， BB1=BC=6 ， D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中点．
（Ⅰ）证明： DE⊥ 平面 BB1C1C ；
（Ⅱ）求三棱锥 D?EBC 的体积与三棱柱 ABC?A1B1C1 体积的比值．
14.如图，在四棱锥 P?ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥ 底面 ABCD , PD=DC ，E是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点F ．

（1）证明 : PA// 平面 EDB ；
（2）证明: PB⊥ 平面 EFD .
15.已知等腰直角 △SAB ， SA=AB=4 ，点 C ， D 分别为边 SB ， SA 的中点，沿 CD 将 △SCD 折起，得到四棱锥 S?ABCD ，平面 SCD⊥ 平面 ABCD .
（Ⅰ）过点 D 的平面 α// 平面 SBC ，平面 α 与棱锥 S?ABCD 的面相交，在图中画出交线；设平面 α 与棱 SA 交于点 M ，写出 SMMA 的值（不必说出画法和求值理由）；
（Ⅱ）求证：平面 SBA⊥ 平面 SBC .
1.【答案】 C 2.【答案】 C 3.【答案】 A 4.【答案】 A 5.【答案】 C 6.【答案】 B 7.【答案】 C 8.【答案】 B 9.【答案】 C 10.【答案】 B
11.【答案】 6π 12.【答案】 ①②④
13.【答案】 解：（Ⅰ）取 BC 的中点为 F ，连结 AF 、 EF ，
∵BB1⊥ 平面 ABC ， AF? 平面 ABC ，
∴BB1⊥AF .
∵ AB=AC=5 ， ∴AF⊥BC ，
∵BB1∩BC=B ，
∴AF⊥ 平面 BB1C1C ，
∵AD//BB1,AD=12BB1 ， EF//BB1,EF=12BB1 ；
∴ 四边形 DEFA 为平行四边形，
∴DE//AF ，
∴DE⊥ 平面 BB1C1C .
（Ⅱ）由题可得 DE=AF=4 ，
三棱锥 D?EBC 的体积为 13 乘以底面积乘高，所以
VD?EBC=13?S△BCE?DE=13×6×32×4=12 .
直三棱柱的体积为底面积乘以高，所以
VABC?A1B1C1=SABC?AA1=12×6×4×6=72 .
所以三棱锥 D?EBC 的体积与三棱柱 ABC?A1B1C1 体积的比值为 16 .
14.【答案】 （1）证明:连结 AC ， AC 交 BD 于 O ．连结 EO ．
∵底面 ABCD 是正方形
∴点 O 是 AC 的中点．在△ PAC 中， EO 是中位线，
∴ PA // EO ．而 EO? 平面 EDB ，
且 PA? 平面 EDB ，
所以, PA //平面 EDB
（2）∵ PD ⊥ 底面 ABCD ，且 BC? 底面 ABCD
∴ PD ⊥ BC .
∵ 底面 ABCD 是正方形，有 DC ⊥ BC ,
PD∩DC=D ， PD? 平面 PDC ， DC? 平面 PDC ,
∴ BC ⊥ 平面 PDC ．
而 DE? 平面 PDC ，
∴ DE ⊥ BC .
又∵ PD=CD , E 是 PC 的中点，
∴ DE ⊥ PC ， PC∩BC=C ，
BC? 平面 PBC ， PC? 平面 PBC .
∴ DE ⊥ 平面 PBC ．而 PB? 平面 PBC ，
∴ DE ⊥ PB ．又 EF ⊥ PB ，且 DE∩EF=E ， DE? 平面 EFD ，
EF? 平面 EFD ，所以 PB ⊥ 平面 EFD
15.【答案】 解：过 D 作 DE//BC 交 AB 于 E ，由 C ， D 分别为边 SB ， SA 的中点，即 CD//AB ，
∴ BCDE 为平行四边形，则 E 为 AB 的中点，再过 E 作 EM//SB 交 SA 于 M ，
∴在△ ABS 中， EM 为中位线，即 M 为 SA 的中点，所得平面 α 即为平面 DEM ，如下图示，
∴由上，知： MSMA=1 .
（Ⅱ）由题设知： CD//AB ， CD⊥SD
∵ 面 SCD⊥ 面 ABCD ，面 SCD∩ 面 ABCD=CD ， SD⊥CD ， SD? 面 SCD ，
∴SD⊥ 面 ABCD ，又 CD ， AD? 面 ABCD ，
∴SD⊥CD ， SD⊥AD ，又 CD⊥AD ，
∴DA ， DC ， DS 三条棱两两互相垂直.
以 D 为原点，分别以射线 DA ， DC 、 DS 的方向为 x ， y ， z 轴正方向，建立空间直角坐标系 D?xyz ，则 A(2,0,0) ， C(0,2,0) ， S(0,0,2) ， B(2,4,0) ，
∴SB=(2,4,?2) ， AB=(0,4,0) ， CB=(2,2,0) ，
设平面 SAB ，平面 SBC 的法向量分别为 u=(x1,y1,z1) ， v=(x2,y2,z2) ，
{u?AB=0u?SB=0 ，即 {y1=0x1+2y1?z1=0 ，取 x1=1 ，则 u=(1,0,1) ，
{v?SB=0v?CB=0 ，即 {x2+2y2?z2=0x2+y2=0 ，取 x2=1 ，则 v=(1,?1,?1) ，
∴cos?u,v?=u?v|u||v|=1×1+1×(?1)2?3=0 ，
∴ 平面 SBA⊥ 平面 SBC