6.2平面向量的运算-【新教材】2020--2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含答案）

1285875-3028956.2平面向量的运算
6.2平面向量的运算

1.如图，在 ? ABCD中，点E是AB的中点，若 AB=a,AD=b ，则 EC= （ ????）
A.?a+12b?????????????????????????????B.?12a+b?????????????????????????????C.?a?12b?????????????????????????????D.?12a?b
2.已知等边三角形 ABC 的边长为6，点 P 满足 PA+2PB?PC=0 ，则 |PA|= （??? ）
A.?32?????????????????????????????????????B.?23?????????????????????????????????????C.?33?????????????????????????????????????D.?43
3.正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，化简 AB+AD?CC1= ?（??? ）
A.?AC1?????????????????????????????????????B.?CA1?????????????????????????????????????C.?BD1?????????????????????????????????????D.?DB1
4.如图所示，在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中， M? 为 AC 与 BD 的交点.若 A1B1=a,A1D1=b,A1A=c ，则下列向量中与 B1M 相等的向量是(?? )

A.??12a+12b+c?????????????????B.?12a+12b+c?????????????????C.?12a?12b+c?????????????????D.??12a?12b+c
5.下列各式中不能化简为 AD 的是（??? ）
A.?(AB?DC)?CB???????????????????????????????????????????????B.?AD?(CD+DC)
C.??(CB+MC)?(DA+BM)?????????????????????????????D.??BM?DA+MB
6.下列说法中正确的是（??? ）
A.?若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.?模相等的两个平行向量是相等向量
C.?若 a 和 b 都是单位向量，则 a=b
D.?零向量与其它向量都共线
7.在 △ABC 中 AB=a ， CB=b ，则 CA 等于（??? ）
A.?a+b???????????????????????????????B.?a?b???????????????????????????????C.?b?a???????????????????????????????D.??a?b
8.在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中，下列各式运算结果为 BD1 的是（? ?）
① A1D1?A1A?AB ? ② BC+BB1?D1C1 ? ③ AD?AB?DD1 ? ④ B1D1?A1A+DD1
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①④
9.如图，在△ABC中，D是BC的中点.若 AB=a,AD=b, 则 AC= （??? ）
A.?3a?2b???????????????????????????B.?a?2b???????????????????????????C.??a+2b???????????????????????????D.?12a+12b
10.如图，已知平行六面体 ABCD?A'B'C'D' ，点 E 是 CC' 的中点，下列结论中错误的是（??? ）
A.?AB+AD=AC??????B.?AB?AA'=BA'??????C.?AB+AD+AA'=AC'??????D.?AB+BC+12CC'=AE
11.CD+AM+BC+MB= ________.
12.若三点 A(2,2) ， B(a,0) ， C(0,b)(a>0,b>0) 共线，则a+b的最小值为________.
13.已知 ΔABC 中，过重心 G 的直线 PQ 交边 AB 于 P ，交边 AC 于 Q ，连结 AG 并延长交 BC 于点 D ，设 △APQ 的面积为 S1 ， ΔABC 的面积为 S2 ， AP=pPB ， AQ=qQC .
（1）求 GA+GB+GC ；
（2）求证： 1p+1q=1 ； ?
（3）求 S1S2 的取值范围.
14.三棱柱 ABC?A1B1C1 中， M、N 分别是 A1B 、 B1C1 上的点，且 BM=2A1M ， C1N=2B1N .设 AB=a ， AC=b ， AA1=c .
（1）试用 a,b,c 表示向量 MN ；
（2）若 ∠BAC=90? ， ∠BAA1=∠CAA1=60? ， AB=AC=AA1=1 ，求MN的长.
15.某人在静水中游泳，速度为 43 千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
1.【答案】 B 2.【答案】 C 3.【答案】 A 4.【答案】 A 5.【答案】 D 6.【答案】 D 7.【答案】 C 8.【答案】 A 9.【答案】 C 10.【答案】 B
11.【答案】 AD 12.【答案】 8
13.【答案】 （1）∴GB+GC=2GD ，??
∵ G是重心，???
∴GA=?2GD ，
∴GA+GB+GC=?2GD+2GD=0 ；
（2）设 AB=a,AC=b ，
∵AP=pPB ， ∴AP=p1+pa ，
∵AQ=qQC ， ∴AQ=q1+qb ，
∵P,G,Q 三点共线，则存在 λ ，使得 PQ=λPG ，
即 AQ?AP=λ(AG?AP) ，
即 q1+qb?p1+pa=λ(13a+13b?p1+pa)=(λ3?λp1+p)a+λ3b ，
∴{?p1+p=λ3?λp1+pq1+q=λ3 ，整理得 λ=3p2p?1=3q1+q ，
即 2p?1p=1+qq ，
即 2?1p=1q+1 ，
即 1p+1q=1 ；
（3）由（2） AP=p1+pAB ， AQ=q1+qAC ，
∴S1S2=12|AP|?|AQ|?sin∠BAC12|AB|?|AC|?sin∠BAC=|AP|?|AQ||AB|?|AC|=p1+p?q1+q ，
∵1p+1q=1 ， q=pp?1 ，可知 p>1 ，
∴S1S2=p1+p?q1+q=p1+p?p2p?1=p22p2+p?1=1?1p2+1p+2=1?(1p?12)2+94 ∵p>1 ， ∴0<1p<1 ，
则当 1p=12 时， S1S2 取得最小值 49 ，当 1p=1 时， S1S2 取得最大值 12 ，
∵1p≠1 ，则 S1S2 的取值范围为 [49,12) .
14.【答案】 （1）解： MN=MA1+A1B1+B1N = 13BA1+AB+13B1C1 = 13(c?a)+a+13(b?a)=13a+13b+13c .
（2）解： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a?b+2b?c+2c?a
= 1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5 ，
即 |a+b+c|=5 ，
所以 |MN|=13|a+b+c|=53 .
15.【答案】 （1）解：如图，设此人游泳的速度为 OB ，水流的速度为 OA ，
以OA，OB为邻边作 ? QACB，则此人的实际速度为 OA+OB=OC ，
由勾股定理知 |OC|=8 ，且在 RtΔACO 中，∠COA=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时
（2）解：如图，设此人的实际速度为 OD ，水流速度为 OA ，则游速为 AD=OD?OA ，
在Rt△AOD中， |AD|=43 ， |OA|=4 ，则 |OD|=42 ， cos∠DAO=33 ，
故此人沿向量 AD 的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为 33 游，实际前进的速度大小为 42 千米/时