江西省南昌市2012年中考数学研讨会资料 实践操作题解析

实 践 操 作 题 解 析
【命题趋势】
从2006年开始，各省市课改实验区的中考试卷中涌现出了一类考查学生实践操作能力的好题——实践操作题，这类试题能较好体现数学课程标准所强调的“倡导学生主动参与、勤于动手、乐于探究”的新理念，为考生创设了动手实验、操作探究的空间，有效地考查了实践、创新能力，为考生提供了展示个体思维及发散创新的平台，是中考命题改革的一道亮丽风景线，实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图（不包括统计图表的制作）、称重、测量、空间想像等，这类试题题目灵活、新颖，同学们解答这类题目时，如果找不到合适的方法，会有一定的困难．
【解题策略】
解答操作性试题，关键是审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换、位似变换，注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力，要学会运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题.
解题时一般有以下三个步骤：
第一步：审清题意，找准解题的切入点。
第二步：建立数学模型，运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题。
第三步：按照所建立的数学模型，综合运用相关知识。如：分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法解决实践操作性问题。
【基础练习】
实现目标：此类题目一般比较简单，它主要包括作图、剪拼、折叠、旋转、测量等,它既考查学生的动手能力，又考查学生的空间想象能力。
作图问题
题1.如图所示，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同花草，下面上边的两个图案是设计示例，请你在下边的两个正方形中再设计两个不同的图案．
示例：
请你设计
选题意图：这是一道动手操作且具有一定开放性的试题，主要考查学生动手实践能力，由于学生生活背景和思考的角度不同，因而思维方式是多种多样的，解决问题的策略也是多种多样的，学生在读懂示例中的画法有关信息后，就能有效地考查出学生获取、应用知识的能力，是展示考生个体思维及发散创新的好平台。
解:
变式：如图的梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，且AD＝AB，∠C＝45°．将它分割成4个大小一样，都与原梯形相似的梯形．（在图形中直接画分割线，不需要说明）
思路分析：本题较复杂，学生要动手亲自操作，画一画才行，画此题时相似比是关键，根据题意将它分割成4个大小一样，所以分割成的图形与原图形的面积比是1：4．则边之比为1：2，又根据都与原梯形相似的梯形，可见要通过做平行线来做，然后再根据图形的相似来画．
解：
剪拼问题
题2.如图，把边长为的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（　　）
Ａ． ； Ｂ． ； Ｃ．； Ｄ．.
选题意图：本题是一道与剪拼有关的操作型问题，主要考查学生的抽象概括能力，这里主要抓住图形变换前后面积关系即可。目的是通过对图形拼合的操作，考查学生的动手实践能力、计算能力，培养学生思维的缜密性。
变式：如图（1）所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD，若AE＝4，CE＝3BE，那么这个四边形的面积是___________
思路分析：解决上面这个问题主要利用相似三角形的性质构造方程，既体现了数形结合的数学思想，又体现了方程思想。
解：∵，∴，又∵，∴
，又∵，∴，∴，
，∴.
折叠问题
题3．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）
选题意图：折叠图形问题，着重考查动手操作和分析推理能力，折叠图形的常见类型有对角线折叠问题、角平分线折叠问题、轴对称折叠问题、两点重合折叠问题等。
解：C
变式:如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（ ）
A．；B．；C．；D．８.　　
思路分析：折叠问题实际上是一种轴对称变换，在这里要抓住轴对称变换前后一些对应角和边的大小不变性来考虑。
A解：∵AE=AB=CD=6，E是CD的中点，∴DE=EC=3，∴，∴，在中，=
旋转问题
题4.如图将绕着点C按顺时针方向旋转,B点落在点的位置，A点落在点的位置，若，则的度数是
选题意图：旋转变换问题，主要考查学生的空间想象和抽象概括能力，解决此类题的关键要抓住旋转的不变性来解答。
解：∵绕着点C按顺时针方向旋转，∴，又，∴，∴
变式：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为 ．
思路分析：将△ADE绕点D顺时针旋转90°，即可求解，解决旋转变换类试题的方法，可以利用“从旋转中来，再回到旋转中去”的解题思路进行解答更容易.
解：5
五、网格问题
题5.请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出1 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形.
选题意图：格点三角形是近几年各省中考的一个热点，本题考查学生的创新能力和发散思维能力，以及观察分析能力。
解：
变式：如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个和一点O，的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．
（1）在方格纸中，将△ABC向下平移5个单位长度得到，请画出；
（2）在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到，请画出。
思路分析：（1）中是向下平移，可分别作出点A，B，C向下平移5个单位后的对称点，然后再分别连接这三个点即可.（2）中，将△ABC绕点O旋转180°，也就是作出△ABC关于点O的中心对称图形，也要先作出点A，B，C三点的中心对称点，然后再连接即可.
解：
（1）如图
（2）如图.
测量问题
题6.如图，小明想用皮尺测最池塘A、B间的距离，但现有皮尺无法直接测量，学习数学有关知识后，他想出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B两点的点O，连接OA、OB，分别在OA、OB上取中点C、D，连接CD，并测得CD = a，由此他即知道A、B距离是 （ ）
A．； B．2a ； C．a ； D．3a.
选题意图：这是一个测量问题，比较贴近实际生活，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，本题还涉及到了相似三角形的有关知识。
解:B
变式：某校数学兴趣小组在测量一个池塘边上A、B两点间的距离时用了以下三种测量方法，如图所示．图中a、b、c表示长度，表示角度．请你求出AB的长度（用含有a、b、c、的式子表示）．
思路分析:（1）用到了勾股定理；（2）解直角三角形；（3）相似三角形的有关知识
解：（1） ；（2） ；（3）.
【能力提高】
实现目标：能运用轴对称、平移和旋转变换的性质进行有关计算，能解答有关简单图形的一些折叠和旋转问题，要学会运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题.
题7. 某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；
（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．
选题意图：本题主要考查学生运用数学知识去揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题。
解：（1）只要作出△ABC的外接圆（分别作AB、BC的垂直平分线，得到交点O，再以O为圆心，以OA长为半径画圆）即可；
（2）分别作出△ABC的AB、BC、CA边的中线，并延长加倍中线得到平行四边形的第四个顶点；
（3）连结OB,
∴，
又
∵>
∴选择建圆形花坛面积较大.
题8.如图，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A′BCD（见示意图a）.
(以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.)
探究一：
（1）想一想——判断四边形A′BCD是平行四边形的依据是 ；
（2）做一做——按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b）中画出示意图.
探究二：
在直角三角形ABC中，请你找出其他的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形.
（1）试一试——你能拼得不同类型的特殊四边形有 ，它们的裁剪线分别是 ；
（2）画一画——请在图（c）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图.
选题意图：本题属于分割图形后，再重新组合图形问题，由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩，重新组拼图形的关键是找出不同类型的特殊四边形：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形再用实验和类比的方法来寻找答案，解答此类问题，常用的方法有实验法、分析法、类比法、联想法和验证法.。
解：探究一：
（1）CD A′B（或A′D BC等）.
(2)见右图
探究二：（1）平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形；三角形ABC的中位线（或一条三角形的中位线）（如拼出直角梯形，这条裁剪线是“把一条直角边分成：1的两段，且平行于另一条直角边（或斜边）的线段”.）
（2）见下图:
方法提炼：图形的剪拼是典型的实践操作题,解决此类问题一般可采取如下步骤:
1、固定一部分不动，变换另一部分。
2、找相等的边重合。
3、将其中变动的一部分经历平移旋转或轴对称的图形变换剪拼为其他形状的图形。
题9. 在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求的长．
选题意图：本题主要考旋转变换及合情推理能力，即观察、探究、猜想，同时要对对探索出的结论进行论证，即演绎推理能力，将二者有机结合是中考命题的一大趋势。
证明：（证法一）（1）
由旋转可知，
∴
∴又
∴即
（证法二）
由旋转可知，而
∴
∴∴
即
（2）四边形是菱形.
证明：同理
∴四边形是平行四边形.
又∴四边形是菱形.
（3）（解法一）过点作于点，则
在中，
由（2）知四边形是菱形，
∴
∴
（解法二）∴
在中，
∴
题10. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．
（图1） （图2）
图1 图2
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．
（2）在图2中，若、满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？
（3）设矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线为，当＝60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？
图3
选题意图：在变换的思想指导下，利用数学操作实验进行探究是解答本题的基本思想，本题给出的对称变换（折叠）形成了很好的数学实验问题和实验探究的基础，在一定程度上能考查基于数学实验的“数学问题形成”的一般思路及考生的探究能力。
解：（1）△BMP是等边三角形．
证明：连结AN，∵EF垂直平分AB ∴AN ＝ BN，由折叠知 AB ＝ BN
∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30°
又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝∠A ＝90°， ∴∠BPN ＝60°
∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60°，∴∠BMP ＝60°，∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60°，∴△BMP为等边三角形 ．
（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC ≥BP
在Rt△BNP中， BN ＝ BA ＝a，∠PBN ＝30°，∴BP ＝ ∴b≥ ∴a≤b ．∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP．
（3）∵∠M′BC ＝60° ∴∠ABM′ ＝90°－60°＝30°，在Rt△ABM′中，tan∠ABM′ ＝ ∴tan30°＝ ∴AM′ ＝，∴M′(，2). 代入y＝kx中 ，得k＝＝
设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为，过作H BC交BC于H．∵△BM′ ≌△ABM′ ∴＝＝30°， B ＝ AB ＝2
∴－＝30°．在Rt△BH中， H ＝B ＝1 ，BH＝
∴，∴落在EF上。
(图2) (图3)
【挑战中考】
实现目标：掌握数学知识间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识，掌握研究问题的一些方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识，发展动手操作的能力和解决问题的能力。
题11.（2009年江苏省）（1）观察与发现
小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用
将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．
选题意图：本题是一道折叠操作性考题，重点考查学生通过观察学习，探究发现折叠图形的的对称知识，培养其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角，对应边相等。
解：（1）同意．如图，设与交于点．由折叠知，平分，所以．
又由折叠知，，
所以，
所以．所以，
即为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形是正方形，，所以．又由折叠知，，所以．
从而．
题12.（2009河北省）在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，
求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，
求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图12中的CE缩短到图3的情况，
△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必
说明理由）
选题意图：本题的主旨是在考查学生的推理能力（合情推理与演绎推理），通过旋转和放缩的变换，构造出了一个“从特殊到一般”的三种图形状态，其中蕴含了“运动与静止的对立统一”、“在变化过程中寻找某些量的不变属性”这一重要的数学基本观念．
（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，
又∵点N与点G重合，点M与点C重合，
∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．
∴△FBM ≌ △MDH．
∴FM = MH．
∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM．
（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，
且MB=CD=DH．
∴四边形BCDM是平行四边形．
∴ ∠CBM =∠CDM．
又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．
∴△FBM ≌ △MDH．
∴FM = MH，
且∠MFB =∠HMD．
∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．
∴△FMH是等腰直角三角形．
（3）是．
题13.（2010年金华）如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是 ；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ；当t ﹦ ，点P与点E重合；
（3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP 若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
选题意图：本题将几何图形置于平面直角坐标系中，体现了数形结合的数学思想，而通过对几何图形的平移、轴对称等操作变换，使学生经历由观察、操作、想象、推理等发现、探索的过程．这类综合题，集动手、动脑于一体，有效地考查了学生自主探索的数学实践能力和创新才能．解这类综合题，要结合几何图形在坐标系中的位置特点及操作变换过程中图形间的关系，充分利用基本的图形性质、坐标轴的互相垂直关系、点的坐标与线段长度间的关系、解直角三角形。
解：（1）； （2）（0,），；
（3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）
∵,,∠∠90°
∴△≌△，∴﹒
又∵,∠60°,∴
而，∴,
由得 ；
当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段上时，
过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）
∵,∴,∴
∴， 又∵
在Rt△中，
即，解得．
②存在﹒理由如下：
∵，∴,，
将△绕点顺时针方向旋转90°，得到
△（如图3）
∵⊥，∴点在直线上，
C点坐标为（，－1）
过作∥，交于点Q,
则△∽△
由，可得Q的坐标为（－，）
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．
A
B
D
C
① ② ③ ④ ⑤
A
B
C
D
E
F
A
C
B
O
A
C
B
O
A1
B1
C1
C2
B2
A2
图1
A
B
C
图2
A
B
C
(c)
C
A
B
(b)
D
C
A
B
(a)
D
C
B
A
A′
A′
D
C
A
B
(2)
D
C
A
B
D
(1)
//
=
//
=
D
C
A
B
D
(3)
A
A
A
B
C
D
(1)
A
B
C
D
D
(2)
C
A
B
D
D
(4)
k
k
C
B
A
D
A
(5)
C k Dk B
A
C
(6)
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
C
F
（图1）
（图2）
A
D
B
E
C
F
G
A
C
D
B
图①
A
C
D
B
图②
F
E
E
DD
C
F
B
A
图③
E
D
C
A
B
F
G
A
D
E
C
B
F
G
图④
图⑤
A
C
D
B
F
E
G
图1
A
H
C(M)
D
E
B
F
G(N)
G
图2
A
H
C
D
E
B
F
N
M
A
H
C
D
E
图3
B
F
G
M
N
图2
A
H
C
D
E
B
F
G
N
M
P
B
F
A
P
E
O
x
y
B
F
A
P
E
O
x
y
G
P′
P′
(图1)
B
F
A
P
E
O
x
y
M
P′
H
（图2)
B
F
A
P
E
O
x
Q′
B′
Q
C
C1
D1
(图3)
y