江西省南昌市2012年中考数学研讨会资料 恒等变换

恒 等 变 换
常用数学解题方法是针对各种不同的数学知识而定的一种策略，是解决数学问题的一种工具。不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以用不同的方法，同时还依赖于已有知识的掌握程度、记忆程度和思维的灵活性、创造性。从这一意义上说，掌握一些特殊的解题方法和技能技巧，常常能缩短思考过程，尽快谋取最优解题方法，在解决较复杂的问题中应把各种思想方法结合使用。
我们不仅要学会各种解题方法，还要知道题是用什么方法去解的，如2003年杭州市中考中出现了这样一道题：求函数的最小值，较合适的解题方法应该是　　　　　　　
法，当然还可以用　　　　　　　法等方法解决。
等式
用等号连接的两个解析式叫做等式。
等式两边的解析式的定义域的公共部分（交集），称为此等式的定义域。
　 等式是命题，如果等号两边的解析式对于其定义域内所有允许值都有相等的数值，叫做这两个解析式恒等，这样的等式叫做恒等式，如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值中，只有某些数才有相等的数值，这样的等式叫做条件等式。如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值，它们的值都不相等，这样的等式叫做矛盾等式。例如，３＋５＝８等都是恒等式；ｘ＋３＝１０是条件等式；是矛盾等式，有时为了强调一个等式是恒等式，常用代替。
恒等变换
把一个解析式换成另一个与它恒等的解析式，这种变换叫做恒等变换或叫做恒等变形。
三.多项式恒等定理
1.多项式恒等于零的定理：给定数域上标准形式的多项式，如果对自变量的任意数，该多项式的值总等于零，那么它的所有系数都等于零。
2.两个标准形式的多项式恒等的充要条件是同类项的系数都对应相等。
四.解题方法
( 一 ) 配方法
在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方、完全立方等形式，从而再利用诸如完全平方项非负性质，达到增加题目的条件等，从而达到解决数学问题的目的，配方法主要用在多元代数式求值，无理式的证明或化简、解方程及函数的最值等方面。
二次三项式配方式为。
求函数的最小值。
已知，求的值。
已知： ，求的值。
当ａ取遍０到５的所有的实数时，满足的整数ｂ的个数是　　　　
若关于ｘ的方程的两个实根的立方和是这两个实根平方和的３倍，求ｃ的值。
( 二 ) 因式分解法
　 利用在配方式中，当时，，即为因式分解的完全平方法式，和其他的因式分解式去解题的方法叫做因式分解法，因式分解法应用极其广泛，主要体现在数的求值的简便方法、代数式求值、解方程、函数、三角函数、几何中都有其应用。
计算：
若是整数，求整数ａ的最小值，
如图所示，在中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点，由点Ｄ分别作于Ｆ；设ＥＤ＝ａ，ＤＦ＝ｂ，且实数ａ、ｂ满足，并有；使得方程，有两个相等的实数根。
（１）试求实数ａ、ｂ的值， （２）试求线段ＢＣ的长
如图所示，中，，
求证：
( 三 ) 降幂法(升幂法)
分析法是从结论(未知)出发,一步一步探索后达到命题的条件(已知),而降幂法的思想本质出就是分析法的思想本质.
例１０．当ｘ变化，求分式 的最小值．
例１１．设抛物线 的图象与ｘ轴只有一个公共点，
求ａ的值， （２）求的值．
（四）换元法
数学中的“元”指的是未知数，在解题过程中，用新的未知数（或某一式子）作为新的变量（元）去替换原条件中的未知数或数学或代数式，从而使较为复杂的式子结构简化，这种方法叫做换元法，或称变量代换法，它的应用非常广泛。
例１２．解方程组
例１３．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解。”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试。”丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除于5，通过换元替换的方法来解决。”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ，
例14．若能将表示成的形式，求证：
例15．同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在画设计图时，如果在直角坐标中，抛物线的函数解析式为，正方形ABCD边长和正方形EFGH的边长比为5：1，求：
（1）抛物线解析式中常数c的值， （2）正方形MNPQ的边长
（五）主元法
许多数学问题，都含有常量，参量和变量（统称为元素）。这些元素中，必有某个元素处于突出的、主导的地位，在解题时把这个元素看作主元，根据具体问题，从不同的思想角度出发，选出适当的元素作为主元，并以此为线索把握问题与解决问题的方法叫做主元法。
例16．（1）解方程：
（六）消元法
对于含有多个变量的问题有时可以利用已知条件，通过一定的变形，消去若干个变数，使问题得以解决，这种方法称为消元法或消去法。
解方程组常常用消元法，通过方程组的等价变形消去若干个未知数，从而得到只有一个（或两个）未知数的方程（组），先求出一个（两个）未知数，再利用原方程组（或变形后的）其他方程，求出其余未知数，初中数学中，最常用的是代入消元法或加减消元法。
例17．解方程组，其中a、b是已知数，且，并指出a、b满足什么条件时，才能使。
例18．若，其中a、b是相邻的整数，c=ab，求证：D是奇数。
（七）判别式法
实系数一元二次方程的判别式：，可以判别方程式实根的存在性与根的个数。
对于二次函数也可以由判别式的符号，确定函数的图象（抛物线）与x轴交点情形。
利用上述判别式的性质求解数学题的方法，叫做判别式法，还可以证明不等式，以及研究直线、双曲线、抛物线交点的问题。
例19．求分式 的最小值，
例20．a为何值时，方程只有一个实数根。
例21．抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为（可以相等，也可以不相等），求的最小值。
例22．a、b是正数，并且抛物线和都与x轴有公共点，求的最小值。
例23．在中，，求周长的最大值。
（八）待定系数法
按照一定规律，先写出问题的解的形式（如代数式、函数等），其中含有一些未知系数尚待确定，然后根据已知条件设法确定这些系数的值，从而得到问题的解，这种方法叫待定系数法，其中待确定的未知数叫做待定系数。
待定系数法常用方法是比较系数和特殊值法。
比较系数法。
通过比较恒等式的两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常列方程组），解之即得待定系数的值，其主要依据是多项式的恒待定理。
例２４．ｋ是什么数时，多项式可以分解成两个一次因式？
例２５．已知，且有，求ｐ和ｑ的值
例２６．已知，其中Ａ，Ｂ为常数，求Ａ－Ｂ的值．
例２７．如图所示，抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上的Ａ，Ｂ两点，该抛物线的对称轴ｘ＝－１与ｘ轴交于点Ｃ，且．
求：（１）直线ＡＢ的解析式；（２）抛物线的解析式
特殊值法．
通过取字母的一些特定数值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，解这即得等定系数的值，其主要依据是表达式恒等的定义；两个表达式恒等，是指用字母允许值范围内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的．
例２８．把多项式表示成ｘ＋２的降幂形式．
例２９．求证：不论ｋ为何值，一次方程所表示的函数图象恒过一定点．
体验习题
1.解方程：
2.已知实数a,b满足,求证:
3.已知,求的值.
4.已知且,求的值.
5.已知二次函数,(其中a是正数)的图象经过点A(-1,4)与点B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点,求b+c的最大值.
6.当k为何值时,抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点。
7．分解因式：
8．已知，求证：
9．当时，化简
10．化简
11．已知是多项式的一个因式，求a，b的值。