江西省南昌市2012年中考数学研讨会资料 数学的解题思想

数学的解题思想
解答数学题，是数学教学的一个有机组成部分，具有多方面的意义。
首先，解答数学题，使学生掌握数学基础知识和基本技能的必经途径；
其次，解答数学题，是发展学生数学思维能力的有效方法。
数学思想则是数学意识，属于思维的范畴。思维与解题过程是密切联系的。这种联系，表现在心理活动中，思维被看作是解题活动，尽管思维并非总等同于解题过程，但是有理由断言，思维形成的最有效的办法是通过解题来实现的，解答数学题采用的数学方法，是针对各种不同的数学知识而定的一种策略，是一种工具。
对于思想和方法不能截然而分，思想中含有方法，方法突现思想。故而没有必要纠结着去试图分清“思想”和“方法”。我们不妨把“函数方程思想”看作“函数方程方法”，把“数形结合思想”看作“数形结合方法”……等等。
再次，解答数学题，有助于培养学生良好的思想品质；
最后，通过解题还可以检查教学情况，评价教学质量，评价数学思维的发展水平和数学思维素养的形成状况，显而易见，解答数学题，对于“应试”的重要性不言而逾。
函数方程思想
方程思想（又称为等量思想），就是从分析问题的数量关系入手，把其中等量关系转化为方程。通过解方程或对方程的研究解决问题。函数关系是变量于变量之间一种特殊的对应、影射与变换。建立函数关系，构造出函数的模型，然后转化为方程的问题，实现函数和方程的互相转化，这就是函数方程思想。
都相交，且同时平分周长和面积？如果存在，共有几条？如果不存在，请说明理由。
二、数形结合思想
数形结合，作为一种常用的解题策略，一般从下面两个方面考虑：
一是用代数、三角知识处理几何图形问题；二是用几何图形或函数图像知识处理数量关系的问题。
例2.如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为 的矩形彩色纸片，请依照数形变化的规律，计算的值。
例3．如果不等式的整数解仅为1,2,3.画出数轴，那么适合这个不等式组的整数a,b的有序数对（a,b）共有几个？
例4.设R为平面上以A（3,1），B(-1,-6),C(-3,2)三点为顶点的三角形区域（包括三角形内部及周界）。当点（X,Y）在R上变动时，求函数S=4x-3y的最大值和最小值。
例5.在RT 中CD是斜边上的高，求证：AC+BCAB+CD。
三、比较分类讨论思想
在思维的常用方法中，已说明“比较和分类”，而这种解数学题的思维方法称为比较分类讨论思想。把一个数学问题的研究对象，通过比较，按一定标准分成几个部分或几种情况，化整为零，一一解决。实际上是一种“分而治之，各个击破”的策略。其步骤为：
确定分类对象—理解分类概念；
恰当合理分类—掌握分类原则；
逐类逐级讨论—学会分类方法；
综合概括叙述—培养逻辑思维。
例6.已知， , ,求 的最大值。
例7.在四边形ABCD中AD 对角线AC和BD相交于O,
ＢＤ＝１０，求ＢＣ的长及四边形ABCD的面积。
例８.如果依次用， ，，，表示图中（１），（,２），（３），（４）中三角形的个数，那么　，，。如果按照上述规律继续画图，之间　的关系是
转化化归思想（又称变更问题方法）
所谓转化问题，就是把原题的条件或结论作适当变更，造成一个比原题来得简单、难度比较低的新问题，以便通过对新问题的考察，发现原题的解题思路。
同一个数学问题，由于观察的角度不同，对问题的分析，理解的层次不同，可以导致转化目标的不同与方法的不同，但目的只有一个---尽量做到化繁为简，化隐为显，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体……。
根据数学题的不同特点，转化问题有多种方法，如简（转）化已知条件，增加辅助条件，或通过分解、替换条件或结论来转化原题。
转化包括等价转化和非等价转化两种。等价转化要求过程中的前因后果互相可逆推的，但并非所有的转化都是等价的，因此在转化过程中，一定要注意转化前后的等价性，如果出现不等价转化，则需附加约束条件，而往往在非等价转化的过程中，会带有思维的闪光点，是找到解决问题的突破口。
简化已知条件，然后再进行一般情况的讨论
例９.设ｋ是给定的正整数，试求不等式的整数解有多少组？
增加辅助条件
例１０.江堤边一洼地发生管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40秒可以抽完；如果用4台抽水机抽水，16秒可以抽完。如果要在10秒抽完水，那么至少需要几台抽水机？
３.恰当分解结论
例11.在锐角三角形ABC中，求证:SinA+sinB+sinC cosA+cosB+cosC.
4.等价替换条件或结论
例12.已知x+y+Z= ,求证;x,y,z中至少有一个是1.
数学联想
联想是由此及彼的思考问题的一种方法。恰当地进行联想，常常能启发我们的思维，沟通数学题的条件与问题或条件与结论之间的逻辑联系，起到开路搭桥的作用。
进行联想有多种途径，根据数学题的不同特色，有的可联想有关的定义和规律；有的可联想常用的解题方法；有的可联想已经解过的数学题；有的还可以联想相邻学科的有关知识。对于结构复杂的问题，可以几方面结合起来联想。
联想定义和规律
例13.过抛物线y=2 对称轴上的点F(0,1)，作一直线交抛物线于A,B两点，若直线AB与x轴的交角为45 ，求A,B两点间的距离。
联想常用的解题方法
例14.已知正数a,b,c,x,y,z满足a+x= b+y=c+z =k,求证：ay+bz+cx.
联想已知的数学题
例15.已知三角形三边长a,b,c满足关系式：+ ,如果按边分类，
试判断这个三角形的形状。
联想相邻学科的有关知识
例16.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图，三块平面镜分别用，表示，其他字母表示相应角的度数，若c=60 ,则d+e的度数为---- ，x的度数为-------。
例17.设R是锐角三角形ABC的外接圆半径，r为内切圆半径，外心O至三边的距离分别为 求证：