江西省南昌市2012年中考数学研讨会资料 数学逻辑

数 学 逻 辑
一 、 数学逻辑
1.逻 辑
逻辑一词译自英文“Logic”，源于希腊文 “Logos”，原意“词”、“思想”、“理性”，在日常生活中，“逻辑”是一个多义词，既指事物发展规律，又指思维规律，也指逻辑科学。中学数学中的逻辑，主要指形式逻辑，也部分涉及辩证逻辑。
形式逻辑是一门以思维形式及其规律为主要研究对象，同时涉及一些简单逻辑方法的科学。
辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是唯物辩证法在思维领域的应用，从本质上说，辩证逻辑和唯物辩证法是一致的，唯物辩证法的基本规律也就是辩证逻辑的规律。
2.思 维
思维是指人脑对客观事物间接的和概括的认识过程；通过这种认识，可以把握事物的一般属性和本质属性。
思维有两个基本特点：间接性和概括性。
间接性主要指思维是人脑对于客观事物的间接认识过程。所谓间接认识，就是以其他事物作为媒介，借助于已有的知识和经验，去认识那些没有直接感知过的或者难以直接感知的事物，预见和推测事物的发展过程。
概括性主要指思维是人脑对于客观事物的概括认识过程。所谓概括认识，就是以大量已知事实为依据，在已有知识经验的基础上，舍去某类事物的个别特点，抽出其共性的东西，从而得出这类事物的一般特性，发现事物间的科学规律。
3.思维的具体过程：
（1）发现问题是解决问题的起点，也是解决问题的归宿。问题就是矛盾；发现问题就是发现矛盾；
（2）明确问题，就是发现问题之后，经过进一步分析，从一系列矛盾中，找出其主要矛盾。明确问题有两个基本要求：一是理清问题的症结之所在；二是准确地把问题表述出来。即在解答数学题中，表掘，弄清题目意思，分辨条件、问题（或结论），发掘题中概念的特征或图形的性质；
（3）提出假设，就是明确问题之后，提出解决问题的原则、方案、途径和方法；
（4）检验假设，就是验证提出的假设的真实性，检验假设通常有两条途径：一是在实践活动中检验，如通过画图、测量、实验等检验；二是在思维活动中去检验，如通过间接推理来检验假设。检验获得成功，就可以对所考察的问题作出相应的正确结论。
4.思维的常用方法：
（1）分析和综合
在思维中把事物的整体分解为部分，把复杂事物分解为简单要素，把完整的过程分解为各个阶段，并分别加以研究的思维方法叫分析；把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段连接为整体进行考察的思维方法叫综合
（2）比较和分类
确定有关事物的共同点和不同点的思维方法叫比较；根据事物的共同性和差异性，把具有相同属性的事物归于一类，把不同属性的事物归入不同的类的思维方法叫分类
（3）抽象、概括和具体化
把各种事物的共同属性抽取出来加以考察的思维方法叫抽象；把抽象出来的事物的共同属性联合起来加以考察的思维方法叫概括；把抽象、概括中获得的概念和理论运用于实际，以恰当的实例来说明概念，解释理论的思维方法叫具体化
（4）系统化
把各种有关材料归入某种一定的顺序，纳入某种一定的体系的思维方法叫系统化
（5）类比、归纳和演绎
类比、归纳和演绎都从属于数学推理。推理是从一个或几个已知判断，推出另一个新判断的思维形式。推理可分为直接推理（是指只有一个前提的推理）和间接推理（是指两个或两个以上前提组成的推理）。类比推理、归纳推理和演绎推理均属于间接推理范畴。由特殊场合的知识推出特殊场合的知识思维形式，叫类比推理。具体地说，它是根据两个（或两类）事物的某些相同的性质，推测它们在别的性质上也可能相同的推理形式。（特别注意：类比推理所引出的结论不一定真实。）
由特殊场合的知识推出一般原理的思维形式，叫归纳推理。有完全归纳法和不完全归纳法两种常见形式。完全归纳法是指研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论。因而由正确的前提必能得出正确的结论；不完全归纳法是指通过对某类事物中的部分对象的研究，概括出这类事物的一般性结论。前提和结论未必有必然的联系。因此由不完全归纳法得到的结论，只有或然的性质，结论是否正确还需要经过理论的证明和实践的检验。
由一般原理推出特殊场合知识的思维形式，叫演绎推理。可分为直言三段论和假言直言三段论。直言三段论，是从两个直言判断（其中一个必为全称判断）得出第三个判断的演绎推理。第一个判断提供了一般的原理叫做三段论的大前提；第二个判断提出一个特殊场合的情形，叫做小前提；综合这两个判断，得到反映一般原理与特殊场合联系的判断，即为第三个判断，叫做结论。
例1.凡平行四边形（M）的对角线互相平分（P）（大前提），正方形（S）是平行四边形（M）（小前提）；所以，正方形（S）的对角线互相平分（P）（结论）。
假言直言三段论，是从一个假言判断和一个直言判断得出第三个判断的演绎推理。有肯定式和否定式两种；肯定式是从肯定假言前提的条件，从而肯定它的后件推理；否定式是从否定假言前提的后件，从而否定它的前件的推理。
例2.若两角是对顶角，则这两个角相等。角所以BOD。
例3. 若两角不相等，则这两个角不是对顶角。 BOD，所以角
5.思维的基本规律
在形式逻辑中，概念、判断和推理三种基本的思维形式要准确地运用概念和判断，进行推理或证明，必须遵守同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等四条基本规律
（1）同一律.在同一时间内，从同一方面，思考或者议论同一事物的过程中，必须始终保持同一的认识。
（2）矛盾律.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断，不能同真。
（3）排中律.在同一思维过程中，两个互相否定的概念或判断，必然一个是真的。排中律是反证法的逻辑基础。
（4）充足理由律.任何一个真实的判断，必然有充足的理由
二、数学概念
概念是人们对客观事物的一种认识，是反映客观事物的本质的思维形式。概念不同于感觉，感觉是具体的、直接的，概念是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感觉的重要特征。
1.概念的内涵和外延
内涵：概念所反映的对象本质的总和（概念所反映的对象的质的方面）叫做概念的内涵。
外延：概念所反映的对象的总和（概念所反映的对象的数量，或对象的范围）叫做概念的外延。
2.定义、划分、判断、命题及其定理
定义是揭示概念内涵的逻辑方法，也就是通过指出概念所反映的事物本质，来说明概念的逻辑方法。
划分是揭示概念外延的逻辑方法，也就是通过把一个属概念划分为若干种概念来明确概念的逻辑方法。
判断是对客观事物的一种认识，是对客观事物有所肯定或否定的思维形式。
命题是做出判断时思维活动的过程，通过语言、文字或符号而表达的数学判断，也可以理解为，可以判断正确或判断错误的句子叫做命题。“命题”由“题设”和“结论”两部分组成。正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
数学中的定义、定理、公式、性质、法则都是数学命题。
对于同一素材可以做出四个命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。互逆或互否的两个命题的真实性并非一致，既可以两个同真也可以同假，也可以一真一假；两个互互为逆否的两个命题的真实性是一致的，同真或同假（现在初中不讲“否命题”和“逆否命题”）。
数学命题有真有假，凡是经过逻辑证明确认其真实性的命题，叫做定理。
一些定理是由某一定理直接推得的，它的真实性只需稍加思索就能确定，不需要详细论证，这样的定理叫做推论关系。如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理。这两个定理互逆的。
公理是数学中最基本的命题，它们在理论形式上，是逻辑推论的大前提，是数学需要作为自己出发点的少数思想上的规定，其真实性不是由逻辑证明来确定的而是不证自明的。
3.充分条件、必要条件和充要条件
如果命题“A”为真，即A（命题中的假设）就叫做使B（结论）成立的充分条件。
如果命题“”为真，（原命题中的题设的否题设）为真，那么A（原命题中的题设）就叫做使B（原命题中的结论的否结论）成立的必要条件。
如果命题“A”为真，那么A就叫做使B成立的充分必要条件，或者简称为充要条件；这时B也是A成立的充要条件。
4.同一原理
当一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等效，这个道理叫做同一原理。同一原理是间接证明方法中同一法的逻辑根据。
三、数学证明
证明是引用一些真实的命题，来确定某一命题真实性的思维形式。
证明由论题、论据和论证三部分组成。
论题是指需要确定其真实性的那些命题。（通常写的“已知”、“求证”、“证明”中的“求证”部分）
论据是指被用来作为证明的理由。数学中的公理、定义、定理、推论、公式、性质等，都可以作为证明的论据。
论证就是证明的过程。是指从论据推出论题的过程，它表明论据和论题必然的逻辑联系。证明过程其实也是推理过程，就是把论据作为推理的前提，应该用正确的推理形式推出论题的过程。
证明的过程在思维的过程中，可以从不同的角度出发，从而得出不同的证明方法，则有演绎证法与归纳证法、分析法与综合法及直接证法与间接证法。
1.演绎证法与归纳证法
任何证明都是特殊形式的推理，因此按推理的方法，证明可分为演绎证法与归纳证法两种。
用演绎证明来证明论题的方法，叫做演绎证法（三段论）
例4. 在菱形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点。求证：AE=CF。
用归纳推理来证明论题的方法，叫做归纳证法。归纳证法可分为完全归纳法和不完全归纳法两种。
完全归纳法又称枚举归纳法。通过对命题条件的一切可能情形的论证，从而确定命题真实性的证明方法。枚举归纳法应用于证明这样的命题，当条件的性质或关系发生变化时，其证明的理由也随之有所不同。其步骤是先对命题条件的一切可能情形逐一加以论证，然后总括起来断言命题普遍成立。在应用此法时，必须把各种可能情形作适当的分类，注意做到不遗漏、不重复。
例5.将17分解成若干个自然数之和，使它们的积最大。
例6.求函数 在
不完全归纳法，通过对命题条件的一部分进行研究，从而推断命题的一般结论的论证法。它所得到的结论有时是不可靠的。因此，常常成为“猜想”，猜想则必须用其它方法去证明它或者推翻它。若猜想具有递推性，我们就能将内部成立的结论推广到一般。
例7.在三角形ABC的内部有点P,Q,R……，与三角形两个顶点B,C围成一个凸多边形，试比较这个凸多边形的周长和三角形ABC的周长的大小。
例8.法国数学家费马提出一个计算素数的公式： 。同时有人提出： 也是素数计算公式。请问这两个公式正确吗？
2.分析法与综合法
对于一个命题的证明，不论用演绎法还是用归纳法，都有一个然后思维的方法问题，根据思维时推理序列的不同方向，证明方法可分为分析法和综合法两种。
分析法是从特征的结论出发，一步一步地探索下去，最后达到命题的已知条件。
综合法是从命题的已知出发，经过逐步的逻辑推理最后达到待证的结论。
例9.在 DE=b, BE=c.
求证:一元二次方程
分析法的特点是探果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。其逐步推理实际上寻找它的充分条件；综合法的特点是由因导果，即从“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件。但是分析法书写显得冗长，有点别扭，而综合法表述流畅。我们可以采用先用“分析法”寻找解题思路，再用“综合法”有条理的表述解题过程。
3.直接证法与间接证法
直接证法是从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理、直接推断结论的真实性。我们平时证题多数采用此法，不再举例。
有些命题用直接证法比较困难，有的在待定的场合甚至找不到证明的依据。这时可以证明它的反论题(与原论题相矛盾的判断)是假的，或考证它的等效命题，结果也能间接地达到目的。这种不是从正面证明论题真实性的方法叫做间接证法。间接证法有反证法和同一法两种。
反证法的逻辑依据是排中律;两个互相矛盾的判断不能都是假的。
应用反证法证明数学命题的一般步骤是:
（1）分清命题的条件和结论；
（2）作出否定命题的结论，与命题结论相矛盾的假设；
（3）由命题的条件所作的假定，应用正确的推理方法导出矛盾的结果，通常是指：推出结果与已知的公理、定义或定理矛盾；推出结果与已知条件矛盾；推出结果与所作的假设矛盾；推出互相矛盾的结果。
（4）断定产生矛盾结果的原因，在所作的与命题结论 相矛盾的假设不真，于是原结论成立，从而间接证明了命题为真。
如果与命题结论相矛盾的方面只有一种情况，这时只要将这种情况予以否定，命题即被证明。这种反证法，又称归谬法 。
如果与命题结论相矛盾的方面不止一种情况。这时就需要将它们一一予以否定，命题才能得证，这种反证法，又称穷举法。
反证法常用于证明如下类型的命题：一个数学分支的某些起始命题；否定性命题；唯一性命题；以“至多”、“至少”、“无穷”等形式 出现的命题。
例10.试证明平面上任意三个整数点（坐标都是整数的点）必不能组成等边三角形。
同一法：对于条件和结论所确定的对象都唯一存在的命题。通过论证和它等效的逆命题的正确性，从而确认原命题的真实性。同一法的理论根据是同一原理。
应用同一法证明几何命题的一般步骤是：
作出符合条件的图形；
证明所给的图形符合命题的条件；
（3）根据由条件所确定的图形的唯一性，断定所作的图形就是已知图形
（4）断定命题真实性。
例11.以正方形一边为底 向形内作一等腰三角形，若它的底角等于15 ，则将它的顶点与正方形另两个顶点连接时，构成一个等边三角形 。