江苏省常州部分学校2020-2021学年高一下学期6月期末阶段检测联考数学试题 PDF版含答案

2020-2021 学年度第二学期期末阶段检测
高一年级数学试卷
2021年 6 月
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.
1.已知z ?2?i，则z?z?i??（ ）
A. 6?2i B. 2?2i C. 6?2i D. 2+2i
???? ????
2.在等边?ABC 中，AB?1，D为AB边的中点，则AC?DA的值为( )
3 1 1 3
A. B. C. ? D. ?
4 4 4 4
3.第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事
期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培
训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，
其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法
正确的是( )
A．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
B．甲成绩的众数比乙成绩的众数小
C．甲成绩的极差比乙成绩的极差小
D．乙的成绩比甲的成绩稳定
? 1 5?
4. 已知sin(?- )? ，则cos(?? )? ( )
12 3 12
1 1 2 2 2 2
A． B．? C． D．?
3 3 3 3
5.如图，已知平面?，?，且? ??l ．设梯形ABCD中，AD//BC ，且AB??，CD??．则
?
下列结论一定正确的是( )
A．AB?CD
B．直线AB与CD可能为异面直线
C．直线AC 与BD可能为异面直线
D．直线AB，CD，l相交于一点
6.2021年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项A、B、
C、D中，有多项符合题目要求.规定：全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错得0 分.
若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于1），则其得分
的概率为（ ）
1 8 7 1
A. B. C. D.
2 15 15 4
7.在?ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若满足条件a?3，A?60?的三角
形有两个，则b的取值范围是( )
A．(2,3) B．(3,2 3) C．(3,3 3) D．(2 2,2 3)
8. 如图，点P在正方体ABCD?A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下
列结论中不一定正确的是( )
A．DP// 平面AB1D1 B． 平面A1CP?平面PBD
C．三棱锥A?PB1D1的体积不变 D．A1P?BD1
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错得0 分.
9.若复数z满足?1?i??z ?5?3i（其中i是虚数单位），则（ ）
A．z的虚部为?i B．z的模为 17
C．z的共轭复数为 4-i D．z在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知正四面体ABCD的棱长为a，则( )
A． 2
AB?CD B．四面体ABCD的表面积为 3a
3 3 6
C．四面体ABCD的体积为 a D．四面体ABCD的外接球半径为 a
12 4
11．下列命题正确的有（ ）
???? ???? ???? ???? ?
A. AB?AC?CD?BD ?0
? ?
B．若a ??1,1?，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为?3,1?
???? ???? ???? ?
C．在?ABC中，若O点满足OA?OB?OC ? 0，则O点是?ABC的重心
? ???? ????
???? ?
CA CB
D．在?ABC中，若CP ??? ???? + ???? ?，则P点的轨迹经过?ABC的内心
? CA CB ?
? ?
12．在?ABC 中，满足 2 2
cos A?cos B?1，则下列说法正确的是（ ）
?
A.A?B? 2
cosB
B．tanA ? cosA
2
C．若A，B为不同象限角，则tan?A?B?? 的最大值为?2
tanA?tanB
sin2A?sin2B?sin2C
D． ?4
sinCcosAcosB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．从含有两件正品a1,a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每
次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为__________.
14．已知一组样本数据 2 2 2
x1，x2，…，x10，且x1 +x2+…+x10=2020， 平均数 ，则该组
x=11
数据的标准差为_________.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15．已知向量a、b满足：a为单位向量且? a?b ， ，则向量 的
??? a?b? a?b ? 3 a、b
夹角是__________.
16．如图，在棱长为 2的正方体ABCD?A?B?C?D?中，
点E?F ?G分别是棱A?B??B?C??CD的中点，则由
点E?F ?G确定的平面截正方体所得的截面多边形
的面积等于 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
4
?2-2i?
（1）计算： 3 （i为虚数单位）；
?1+ 3i?
（2）已知z是一个复数，求解关于z 的方程，z?z ?3i?z ?1?3i（i为虚数单位）.
18.（本小题满分12分）
? ?
已知向量 ? ?
a?(cos?, 5sin??2sin?)，b ?(sin?, 5cos??2cos?)，且a//b ．
（1）求cos(???)的值；
?
（ 1
2）若?，??(0, )，且tan?? ，求2???的值．
2 3
19.（本小题满分12分）
? ??
?ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A? acos?B- ?.
? 6 ?
（1）求B；
（2）设a?2，b? 7 ，延长AC到点D使AC ?2CD，求△BCD的面积.
20．（本小题满分12分）
如图，三棱锥P?ABC的底面是等腰直角三角形，其中AB? AC ?2，PA? PB，平面
PAB ?平面ABC，点E，F ，M ，N 分别是AB，AC，PC，BC的中点．
（1）证明：平面EMN ?平面PAB；
?
（2）当PF 与平面ABC所成的角为 时，求四棱锥A?PMNB的体积．
3
21.（本小题满分12分）
习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、
理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关
心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取
n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为
四个等级：
调查评分 ?40,50? ?50，60? ?60，70? ?70，80? ?80，90? ?90，100?
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)的市民为400人．
（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，
按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据
以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在
?40,50?的市民心理等级转为 “良好”的概率
1
为 ，调查评分在?50,60?的市民心理等级转
4
1
为“良好”的概率为 ，若经过心理疏导后的恢
3
复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”
的概率为多少?
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康
指数平均值不低于0.8,则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所
学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中
点值代替，心理健康指数=问卷调查评分/100)
22.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P? ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC ，?ADC ?90?，平面PAD?
1
底面ABCD，E为AD的中点，M 是棱PC的中点，PA?PD?2，BC ? AD?1，CD? 3．
2
（1）若平面PBC 与平面PAD的交线为l，求证：l//BC ；
（2）求直线BM 与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求直线BM 与CD所成角的余弦值．
2020-2021 学年度第二学期期末阶段检测
高一年级数学试卷参考答案
2021.06
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B D C B D
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
1 ? 3
答案 BD ABD ACD BC 9 3
3 3 2
4 2 2 2
?2-2i? ?2-2i? ?2-2i? ??8i? ?64
17.解：（1） 3 ? 2 ? ? ?8；…………5’
1+ 3i 2 3i?2 1+ 3i ?8
? ? ?1+ 3i? ?1+ 3i? ? ?? ?
（2）设z ?a?bi,a,b?R，z?z ?3i?z ?1?3i，
即?a?bi??a?bi??3i?a?bi??1?3i，…………6’
2 ? 2 2 2
a b ?3b?3ai?1?3i，所以a ?b ?3b?1,?3a?3，…………7’
?a??1 ?a??1
解得? 或? ，…………9’
?b?3 ?b?0
所以z ??1?3i或z ??1.…………10’
? ?
18.解：（1）因为a//b ，
所以cos?( 5cos??2cos?)?sin?( 5sin??2sin?)?0 ，…………2’
所以 2 2
5(cos?cos??sin?sin?)?2(sin ??cos ?)?2 ，
所以 5cos(???)?2，…………4’
即 2 5
cos(???)? ．…………5’
5
?
（2）因为?，??(0, )，所以0??????，
2
因为 2 5 5
cos(???)? ，所以sin(???)? ，…………7’
5 5
所以 1
tan(???)? ，…………8’
2
1 1
?
tan??tan(???)
因为 1
tan?? ，所以tan(2???)? ? 3 2 ?1，…………10’
3 1?tan?tan(???) 1 1
1? ?
2 3
因为 2 5
0??????，且cos(???)? ?0，
5
?
所以0????? ，
2
?
因为0??? ，所以0?2?????．…………11’
2
?
因为tan(2???)?1，所以2???? ．…………12’
4
? ?? a b
19.解：（1）∵bsinA?acos?B? ?.由正弦定理 ? ，可得bsinA?asinB，
? 6? sinA sinB
? ??
∴可得：asinB ?acos? B? ?，…………2’
? 6 ?
? ?? 3 1
可得：sinB ?cos?B? ?= cosB? sinB ，化简可得：tanB? 3，…………5’
? 6? 2 2
?
∵B??0,??，∴B ? .…………6’
3
3
a b ?
（2）由 2
? ，可得 a?sinB 2 21 ，…………7’
sinA sinB sin A? ? ?
b 7 7
可得 2 7
cosA? ，…………8’
7
3 21
sinC ?sin?A? B? ?sin AcosB?cosAsinB ? ，…………9’
14
所以 1 1 3 21 3 3
S?ABC ? 2S?BCD ? absinC ? ?2? 7? ? ，…………11’
2 2 14 2
可得 3 3
S
△BCD ? .…………12’
4
20..解：（1）证明：由题意可得，AB? AC，
点E，N 分别是AB ，BC的中点，故EN ∥AC，故EN ? AB，…………2’
平面PAB ?平面ABC，交线为AB，故EN?平面PAB…………3’
?EN 在平面EMN 内，故平面EMN ?平面PAB；…………5’
（2）连结PE，由PA? PB，点E是AB的中点，可知PE ? AB，
再由平面PAB ?平面ABC，可知PE ?平面ABC，…………6’
连结EF ，可知?PFE就是直线PF 与平面ABC所成的角，
PE
于是 ? tan?PFE? 3 ，
EF
2 2
PE ? 3EF ? 3? AE ? AF ? 6…………8’
因为PA? PB，E是AB 中点，故PE ? AB，
又平面PAB ?平面ABC，故PE ?平面ABC，
即点P到平面ABC的距离为PE ? 6．
点M 是 6
PC中点，故点M 到平面ABC的距离为d ? ，…………10’
2
1 1
VA?PMNB ?VP?ABC ?VM?ANC ? PE?S?ABC ? d?S?ANC
3 3
1 1 1 6 1 2 6 6 6
? ? 6? ?2?2? ? ? ?2?1? ? ?
3 2 3 2 2 3 6 2
即四棱锥 6
A?PMNB的体积为 ．…………12’
2
400
21.解：（1）由已知条件可得n? ?2000，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
0.02?10
所以0.84?80t ?1，解得t ?0.002.…………2’
1
（2）由（1）知t ?0.002，所以调查评分在[40,50)的人数占调查评分在?50,60?人数的 ，
2
若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40,50)有1人，?50,60?有2人， …………4’
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的3人经过心理疏导后，
3 2 2 1
心理等级均达不到良好的概率为 ? ? ? ，…………5’
4 3 3 3
3 2 2 2
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为P ?1? ? ? ? .……7’
4 3 3 3
（3）由频率分布直方图可得，
45?0.02?55?0.04?65?0.14?75?0.2?85?0.35?95?0.25?80.7，
估计市民心理健康问卷调查的平均评分为80.7， …………9’
80.7
所以市民心理健康指数平均值为 ?0.807?0.8，…………11’
100
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.…………12’
证明：（Ⅰ）?AD//BC、AD ?面PAD、BC ? 面PAD,
22.
?BC //面PAD…………1’
又?面PAD?面PBC ?l?BC//l …………3’
（Ⅱ）解：连结EC，取EC中点H ，连结MH ，HB，
?M 是PC的中点，H 是EC的中点，?MH //PE，…………4’
?PA?PD，E为AD的中点，?PE ? AD，
又?平面PAD?平面ABCD，且平面PAD?平面ABCD? AD，
?PE ?平面ABCD．?MH ?平面ABCD，
?HB是BM 在平面ABCD内的射影，
??MBH 为BM 与平面ABCD所成的角，…………6’
1
?AD//BC ，BC ? AD，E为AD的中点，?ADC ?90?，
2
1
?四边形BCDE为矩形，?EC ?2，HB? EC ?1，
2
又 1 3
?MH ? PE ? ，
2 2
MH 3
??MHB中，tan?MBH ? ? ，
HB 2
?直线 3
BM 与平面ABCD所成角的正切值为 ．…………8’
2
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知CD//BE，
?直线BM 与CD所成角即为直线BM 与BE 所成角，…………9’
连接 7
ME ，Rt?MHE中，ME ? ，
2
7
Rt?MHB中，BM ? ，又BE ?CD? 3，
2
7 7
2 2 2 ?
? ? 3?
BM BE ME 4 4 21
??MEB中，cos?MBE ? ? ? ，…………11’
2BM?BE 7 7
2? ? 3
2
?直线 21
BM 与CD所成角的余弦值为 ．…………12’
7