江苏省南京市南师大附高2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

南京师大附中2020-2021学年度第2学期
高一年级期末考试数学试卷
命题人：高一数学备课组
一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.false是虚数单位，复数false，若false，则false（ ）
A.false B.1 C.2 D.3
2.如图，在直三棱柱false中，false，false，点D为BC的中点，则异面直线AD与false所成的角为（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.已知false，false是不同的直线，false，false是不同的平面，若false，false，false，则下列命题中正确的是（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.钝角三角形false的面积是false，false，false，则false等于（ ）
A.1 B.2 C.false D.5
5.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为false，则其表面积的值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.已知向量false，false，false，若false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.如图，在false中，false，false，false为false上一点，且满足false，若false，false，则false的值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.如图，过圆false外一点false作圆的切线false，false，切点分别为A，B，现将false沿false折起到false，使点P在圆false所在平面上的射影为圆心false，若三棱锥false的体积是圆锥false体积的false.则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多项选择题：本大题共4小题。每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，都分选对得2分，其他情况不得分
9.某家庭将2018年1月至2019年12月期间每月的教育投入（单位，千元）绘制成如图所示的折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）
A.2019年的教育总投入要高于2018年的教育总投入
B.2018年与2019年中月教育投入最多的均在8月份
C.2018年与2019年的月教育投入逐月增加
D.2018年与2019年中每年9月至12月的月教育投入变化比较平稳，波动性较小
10.已知复数false（false为虚数单位），false为false的共轭复数，若复数false，则下列结论正确的有（ ）
A.false在复平面内对应的点位于第二象限 B.false
C.false的实数部分为false D.false的虚部为false
11.现有分在问一组的三个代表队参加党史知识竞赛，若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为false，false，false，则关于该问题的回谷情况，以下说法中正确的是（ ）
A，3个队都正确的概率为false
B.3个队都不正确的概率为false
C.出现恰有1个队正确的概率比出现恰有2个队正确的概率大
D.出现恰有2个队正确的概率比出现恰有1个队正确的概率大
12.正方体false的棱长为2，E，F，G分别为BC，false，false的中点．则（ ）
A.直线false与直线false垂直
B.直线false与平面false平行
C.平面false截正方体所得的截面面积为false
D.点false和点false到平面false的距离相等
三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.下列数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位数为___________，90百分位数为___________.
14.用斜二侧法画水平放置的false的直观图，得到如图所示等腰直角false．已知点false是斜边false的中点，且false，则false的false边上的高为___________.
15.在直三棱柱false中.若false，false，false，则点false到平面false的距离为____________.
16.在边长为false的菱形false中，false，沿对角线false折起，使二面角false的大小为120°，这时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为____________.
四、解答题：本大题共6小题。共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．
（1）求频率分布直方图中false的值；
（2）估计总体中成绩落在false中的学生人数；
（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；
18.在false中，false.
（1）若false，false的面积为false，求false；
（2）若false，求false周长的最大值.
19.已知平面向量false，false.
（1）若false，求实数false的值；
（2）若false，求false与false的夹角
20.如图，在三棱柱false中，false，侧面false为菱形.
（1）求证：false平面false；
（2）若点D，E分别为false，false的中点，求证：false平面false.
21.已知在测试中，客观题难度的计算公式为false，其中false为第i题的难度，false为答对该题的人数，false为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度false
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：
题号
学生编号
1
2
3
4
5
1
×
√
√
√
√
2
√
√
√
√
×
3
√
√
√
√
×
4
√
√
√
×
×
5
√
√
√
√
√
6
√
×
×
√
×
7
×
√
√
√
×
8
√
×
×
×
×
9
√
√
√
×
×
10
√
√
√
√
×
（1）根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
实测难度
（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．
（3）定义统计量false，其中false为第i题的实测难度，false为第i题的预估难度false．规定：若false，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
22.如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求二面角false的余弦值.
南京师大附中2020-2021学年度第2学期
高一年级期末考试数学试卷
命题人：高一数学备课组
一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【解析】false，解得false．
2.【答案】B
【解析】取false的中点false，连false，false，false，∴false，所以异面直线false与false所成角是false，或其补角，易得false平面false，∴false，false，，∴false.
3.【答案】C
【解析】
对于A：false，故本选项不符合题意；
对于B：false或false，故本选项不符合题意；
对于C：false，故本选项符合题意；
对于D：false，故本选项不符合题意；
4.【答案】C
【解析】false，
∴false，∴false或false（舍）；
∴false，false.
5.【答案】A
【解析】设正四面体false，棱长为false，高为false，false为底面正三角形外心（重心），
∴底面正三角形高为false，false，
∵false，∴false，
∴false，
∴false，∴表面积false
6.【答案】A
【解析】false，false，可得false，解得false或false，又由false，则false；
7.【答案】C
【解析】∵false，∴false，
∵false，∴false，即false，又∵false，则false，∴false，∴false，false，
false
false.
8.【答案】D
【解析】设false，false，所以false或false，所以false或false
二、多项选择题：本大题共4小题。每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得S分，都分选对得2分，其他情况不得分
9.【答案】ABD
【解析】由图像可知ABD正确
10.【答案】ABC
【解析】false；
故false对应的点为false；false；
且false的实部为：false，虚部为：false；
11.【答案】ABC
【解析】对于A：false
对于false
false（1个队正确）false（2个队正确）false
12.【答案】BCD
【解析】因为false，所以A错误；
取false中点false，易证面false面false，所以直线false与平面false平行，B正确；
截面为false，false，C正确；因为false，false是false中点，所以D正确.
三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.【答案】3；9.5
【解析】false，false所以分别为3；9.5
14.【答案】false
【解析】∵直观图是等腰直角false，false，false，
∴false；根据直观图平行于false轴的长度变为原来的一半，
∴false的高为false.
15.【答案】false
【解析】false，解得false
16.【答案】false
【解析】false，false，false，
∴false，false，设false，则
∵false，false，
false
∴false∴四面体的外接球的表面积为false，
四、解答题：本大题共6小题。共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）false，解得false．
（2）由频率分布直方图得成绩落在false中的频率为false，
∴估计总体中成绩落在false中的学生人数为：false人．
（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：false，false
18.【解析】（1）false，false，所以false，false
false
false
所以false
（2）false，当且仅当false时取等
所以周长最大值为12
19.【解析】
（1）false
（2）false，所以false，false，false
20.【解析】（1）false，false，false面false
（2）取false中点false，可证false面false，false面false，false面false面false
false面false面false
21.【解析】（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
8
8
8
7
2
实测难度
0.8
0.8
0.8
0.7
0.2
∴估计120人中有false人答对第5题．
（2）记编号为i的学生为false，false，
从编号为1到5的5人中随机抽取2人，基本事件总数false，
恰好有1人答对第5题包含的基本事件有6个，分别为：
false，false，false，false，false，false，
∴恰好有1人答对第5题的概率false.
（3）定义统计量false，其中false为第i题的实测难度，false为第i题的预估难度false.
∴false，
∵false，∴该次测试的难度预估合理．
22.【解析】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则
∵false，false平面PCD，∴false平面PCD
∵false面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴false
∵AB在底面上，l在底面外
∴l与底面平行；
（2）因为false，false，所以二面角false为false
设CD的中点为F，连接OF，PF
由圆的性质，false，false
∵false底面，false底面，∴false
∵false
∴false平面OPF
∵false平面PCD
∴平面false平面PCD
∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF
∴false为OP与平面PCD所成的角
由题设，false设false，则false
∵false，∴false
∵false，
∴false
∴false
在false中，false
∴false