江苏省常州市2020-2021学年高一下学期期末质量调研数学试题 Word版含解析

江苏省常州市2021年春学期高一期末质量调研
数 学
2021．06
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z＝false（i是虚数单位），则false的虚部为
A．false B．false C．false D．false
2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2B＝A＋C，且b2＝ac，则△ABC一定是
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
right565154．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为
A．false B．false C．false D．false
5．已知false，且false(0，false)，则false的值为
A．false B．false C．false D．false或false
6．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行．以上4个命题中，真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如右图，在三棱锥O—ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且false，若记false，false，false，则false
A．false B．false C．false D．false
8．如右图，在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，且∠BAD＝120°，PA＝AB＝AD＝2，则该四棱锥外接球的表面积为
A．false B．false C．false D．false

第7题 第8题 第11题
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．在复平面内，下列说法正确的是
A．若复数z满足false，则false
B．若复数false（i为虚数单位），则false
C．若复数false，则z为纯虚数的充要条件是m＝0
D．若复数z满足条件false，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
10．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是
A．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D．任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
11．如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说法正确的是
A．A1D⊥平面AQP
B．BC1∥平面AQP
C．异面直线A1C与PQ所成角为90°
D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形
right63246012．如右图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为AB，AC上的动点，设false，false，其中false，false(0，1)，则下列说法正确的是
A．若false，则false
B．若false，则false与false不共线
C．若false，记三角形AEF的面积为S，则S的最大值为false
D．若false，且M，N分别是EF，BC边的中点，则false 第12题
的最小值为false
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知样本数据false，false，false，false，false的方差为2，则样本数据false，false，false，false，false的方差为 ．
14．false ．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 ．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，false，false，若点P在边BC上，并且BP＝2PC，O为△ABC的外心，则OP之长为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)；
（2）现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
18．（本小题满分12分）
已知O是坐标原点，向量false＝(2，3)，false＝(6，1)，false＝(x，0)．
（1）若false⊥false，求实数x的值；
（2）当false取最小值时，求△ABP的面积．
19．（本小题满分12分）
如右图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知false，且false(0，false)．
（1）求角C；
（2）若D为BC边上的一点，且AD＝5，AB＝7，DB＝3，求AC的长．
20．（本小题满分12分）
如右图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝2．
（1）若D为线段AC的中点，求证：平面PAC⊥平面POD；
（2）若AC＝BC，点E是线段PB上的动点，求CE＋OE的最小值．
21．（本小题满分12分）
螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量x（单位：箱）在[100，200)的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：
采购数x
[100，120)
[120，140)
[140，160)
[160，180)
[180，200)
客户数
10
10
5
20
5
已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的false．
（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“大客户”人数；
（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）小刘今年销售方案有两种：①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m元(2≤m≤5)，销售量可增加1000m箱．问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y（单位：元）的最大值．













22．（本小题满分12分）
如右图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD＝3，BC＝4，△PBC为正三角形，点M，N分别在线段AD和PC上，且false．设二面角P—AD—B为false，且false．
（1）求证：PM∥平面BDN；
（2）求直线PM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求三棱锥P—ABN的体积．
江苏省常州市2021年春学期高一期末质量调研
数 学
2021．06
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z＝false（i是虚数单位），则false的虚部为
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【解析】z＝false，所以false，选B．
2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【答案】A
【解析】根据中位数的定义，即可判断出不变的是中位数．
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2B＝A＋C，且b2＝ac，则△ABC一定是
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】由2B＝A＋C，得B＝60°，
由余弦定理得b2＝a2＋c2﹣2accosB＝a2＋c2﹣ac，因为b2＝ac，所以a2＋c2﹣ac＝ac，
故(a﹣c)2＝0，故a＝c，综上△ABC是等边三角形．
4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【解析】一共有27个小正方体，其中边角方块共有8个，故恰好抽到边角方块的概率等于false．
5．已知false，且false(0，false)，则false的值为
A．false B．false C．false D．false或false
【答案】C
【解析】因为false(0，false)，所以false＞0，
因为false，所以false，所以2false，故false，
所以false＞0，false，所以false＝false．
6．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行．以上4个命题中，真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】长方体的长宽高能说明①是错的，平行于同一平面的两条不同的直线可能平行，可能相交，也可能异面，故③错，故选B．
7．如右图，在三棱锥O—ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且false，若记false，false，false，则false
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【解析】false．
8．如右图，在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，且∠BAD＝120°，PA＝AB＝AD＝2，则该四棱锥外接球的表面积为
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【解析】取AC中点E，过E作PA的平行线l，则球心O在直线l上，且能满足OA＝OP，易求得OA＝OP＝false，所以S＝false．
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．在复平面内，下列说法正确的是
A．若复数z满足false，则false
B．若复数false（i为虚数单位），则false
C．若复数false，则z为纯虚数的充要条件是m＝0
D．若复数z满足条件false，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
【答案】BD
【解析】若false，此时false，A错误；若复数false，则z为纯虚数的充要条件是m＝0，且n≠0，故C错误．综上选BD．
10．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是
A．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D．任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
【答案】AD
【解析】任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.37，故B错误；任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为0.35，故C错误．综上选AD．
11．如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说法正确的是

A．A1D⊥平面AQP
B．BC1∥平面AQP
C．异面直线A1C与PQ所成角为90°
D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形
【答案】BCD
【解析】因为A1D与AP不垂直，故A1D与平面AQP不垂直，A错误，其他选项均正确，故选BCD．
12．如右图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为AB，AC上的动点，设false，false，其中false，false(0，1)，则下列说法正确的是
A．若false，则false
B．若false，则false与false不共线
C．若false，记三角形AEF的面积为S，则S的最大值为false
D．若false，且M，N分别是EF，BC边的中点，则false的最小值为false
【答案】ACD
【解析】当false，则false与false共线，故B说法错误，其他选项则均正确，故选ACD．
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知样本数据false，false，false，false，false的方差为2，则样本数据false，false，false，false，false的方差为 ．
【答案】18
【解析】由题意知，新的一组数据的方差是原来的9倍，故答案为18．
14．false ．
【答案】false
【解析】false
false．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 ．
【答案】0.6
【解析】P＝false．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，false，false，若点P在边BC上，并且BP＝2PC，O为△ABC的外心，则OP之长为 ．
【答案】1
【解析】false，根据正弦定理得，false，故tanA＝false，
所以A＝60°，所以∠BOC＝120°，所以OB＝OC＝false，∠OCB＝30°，又BP＝2PC，
所以CP＝1，在△OCP中，根据余弦定理，求得OP＝1．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)；
（2）现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
【解析】解：（1）易知样本点总数n＝16，且每个样本点出现的可能性相等．
事件A包含的样本点共4个：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
所以P(A)=0.25．
（2）B与C不是互斥事件.
理由：因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次．
（3）这种游戏规则公平．理由如下：
和为偶数的样本点有:(1，1)，(1，3)， (2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)， (4，2)，(4，4)，共8个，
所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平．
18．（本小题满分12分）
已知O是坐标原点，向量false＝(2，3)，false＝(6，1)，false＝(x，0)．
（1）若false⊥false，求实数x的值；
（2）当false取最小值时，求△ABP的面积．
【解析】解：（1）因为false，false，false，
所以false，false，
又因为false，所以false，即false
也即false，解得false或false，则所求实数false的值为false或false．
（2）由（1）知falsefalsefalse，
当false时，false取最小值false，
此时false，false，
则false，
又在false中，false，则false，
false的面积为falsefalsefalse．
19．（本小题满分12分）
如右图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知false，且false(0，false)．
（1）求角C；
（2）若D为BC边上的一点，且AD＝5，AB＝7，DB＝3，求AC的长．
【解析】解：（1）因为false，
所以false
即false，
由两角和与差的余弦公式得，false，
又因为在false中，false，所以false，
又因为false，所以false．
（2）在false中，
由余弦定理得false，
又因为false，则false，即false，
在false中，由正弦定理得，false，
即false．
20．（本小题满分12分）
如右图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝2．
（1）若D为线段AC的中点，求证：平面PAC⊥平面POD；
（2）若AC＝BC，点E是线段PB上的动点，求CE＋OE的最小值．
【解析】解：（1）在false中，因为false，false为false的中点，
所以false．
又false垂直于圆false所在的平面，因为false圆false所在的平面，所以false．
因为false，所以false平面false，
因为false平面false，所以平面falsefalse平面false．
（2）在false中，false，false，所以false．
同理false，所以false．
在三棱锥false中，将侧面false绕false旋转至平面false，使之与平面false共面，
如图所示．当false，false，false共线时，false取得最小值．
又因为false，false，所以false垂直平分false，即false为false中点．
从而false，
亦即false的最小值为false．
21．（本小题满分12分）
螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量x（单位：箱）在[100，200)的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：
采购数x
[100，120)
[120，140)
[140，160)
[160，180)
[180，200)
客户数
10
10
5
20
5
已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的false．
（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“大客户”人数；
（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）小刘今年销售方案有两种：①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m元(2≤m≤5)，销售量可增加1000m箱．问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y（单位：元）的最大值．
【解析】解：（1）作出频率分布直方图，如图

根据上图，可知采购量在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数为false．
（2）去年“大客户”所采购的螃蟹总数大约为
false(箱)
小刘去年总的销售量为false(箱) ．
（3）若不在网上销售螃蟹，则今年底小刘的收入为false(元)
若在网上销售螃蟹，则今年年底的销售量为false箱，每箱的利润false，
则今年年底小刘的收入为
false
当false时， false取得最大值256000
∵false，∴小刘今年年底收入false的最大值为256000元．
22．（本小题满分12分）
如右图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD＝3，BC＝4，△PBC为正三角形，点M，N分别在线段AD和PC上，且false．设二面角P—AD—B为false，且false．
（1）求证：PM∥平面BDN；
（2）求直线PM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求三棱锥P—ABN的体积．
【解析】解：（1）证明：连接false，交false于false，
因为false，false，所以false，false，
因为false，所以false∽false，
false，所以false，
因为false平面false，false平面false，所以false平面false.
（2）解：取false中点false，连接false、false，
因为false为正三角形，所以false，false，
3731895184785因为false为直角梯形，false，false，false，所以四边形false为矩形，所以false，
因为false，所以false平面false，所以平面false平面false，
因为false，所以false平面false，
所以false，false，所以false，
设false，由余弦定理得false，
于是false，
整理得false，解得false或false（舍去），
取false中点false，连接false，因为false，所以false，
又因为平面false平面false，所以false平面false，
所以直线false与平面false所成角为false.而false，
所以直线false与平面false所成角的正弦值为falsefalse.
（3）因为false，false平面false，false平面false，
所以false平面false，所以false的长也是false点到平面false的距离，
∵ false，
∴false．