2020年北京大学强基计划数学试题（word版，含解析 ）

2020年北京大学强基计划数学试题
数
学
1.正实数x,y,z，满足x≥y≥z和，则的最小值等于（
）
A.
B.
C.1
D.前三个答案都不对
2.在的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为（
）
A.16
B.31
C.32
D.前三个答案都不对
3.整数列满足,且对任意有,则的个位数字是（
）
A.8
B.4
C.2
D.前三个答案都不对
4.设a,b,c,d是方程的4个复根,则的数值为（
）
A.-4
B.-3
C.3
D.前三个答案都不对
5.设等边三角形ABC的边长为1,过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点D,AD>BD,则三角形BCD的面积为（
）
A.
B.
C.
D.前三个答案都不对
6.设x,y,z均不为其中k为整数,已知sin(y+z-x),sin(x+z-y),sin(x+y-z)成等差数列，则依然成等差数列的是（
）
A.sinx,siny,sinz
B.cosx,cosy,cosz
C.tanx,tany,tanz
D.前三个答案都不对
7.方程19x+93y=4xy的整数解个数为（
）
A.4
B.8
C.16
D.前三个答案都不对
8.从圆上的点向椭圆引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（
）
A.
B.
C.
D.前三个答案都不对
9.使得对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为（
）
A.8
B.9
C.10
D.前三个答案都不对
10.设P为单位立方体上的一点,则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.前三个答案都不对
11.数列满足且对任意n≥1有,其中前n项和为，则函数的最大值等于（
）
A.28
B.35
C.47
D.前三个答案都不对
12.设直线y=3x+m与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最大值为（
）
A.8
B.10
C.12
D.前三个答案都不对
13.正整数n≥3称为理想的,若存在正整数1≤k≤n-1使得构成等差数列,其中为组合数,则不超过2020的理想数个数为（
）
A.40
B.41
C.42
D.前三个答案都不对
14.在△ABC中,∠A=150°,D1,D2,···,D2020依次为边BC上的点,且BD1=D1D2=D2D3=···=D2019D2020=D2020C,设∠BAD1=α1,∠D1AD2=α2,∠D2019AD2020=α2020，∠D2020AC=α2021，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.前三个答案都不对
15.函数的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.前三个答案都不对
16.方程的实根个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.前三个答案都不对
17.凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G,已知BF:FD=5:4，AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3,S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积,则S△CFD:S△ABE的值等于（
）
A.8:15
B.2:3
C.11:23
D.前三个答案都不对
18.设p,q均为不超过100的正整数,则有有理根的多项式的个数为（
）
A.99
B.133
C.150
D.前三个答案都不对
19.满足对任意n≥1有且严格递增的数列的个数为（
）
A.0
B.1
C.无穷多个
D.前三个答案都不对
20.设函数，其中x,y,z均为正实数，则有（
）
A.f既有最大值也有最小值
B.f有最大值但无最小值
C.f有最小值但无最大值
D.前三个答案都不对
2020年北京大学强基计划数学试题
参考答案
1.【答案】D
【解析】因为,且则
当且仅当时，等号成立，选D
2.【答案】C
【解析】因为,
可以选取最小质数2，3，5，101，673，那么剩下的单个质因数的偶数次方出现的最多只能选取一个,不妨选22,再进行组合,在5个因数里面分别选取2个,3个,4个,5个，则一共有32个,则最多可以选取32个,故选C
3.【答案】A
【解析】因为
因此：则
因为：，则，故
则，欲求个位数字，则需要让模10.
其结果为1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0,
从开始周期为24，则的个位数字是8，所以选A
4.【答案】A
【解析】由题意可得
s=a+b+c+d=-2,
p=ab+ac+ad+bc+bd+cd=3
q=abc+abd+acd+bcd=-4
r=abcd=5
设，
则
只需要
则
故所以选A
5.【答案】C
【解析】如图所示，其中
从而可得故
故所以选C
6.【答案】C
【解析】因为2sin(x+z-y)=sin(y+z-x)+sin(x+y-z)=2sinycos(x-z)
则sin(x+z)cosy-cos(x+z)siny=sinycos(x-z)
则sin(x+z)cosy=siny[cos(x+z)+cos(x-z)]=2sinycosxcosz
则tanx+tanz=2tany，所以选C
7.【答案】B
【解析】因为：19x+93y=4xy，则(4x-93)(4y-19)=93×19=3×19×31
因为：
则
所以有8组，所以选B
8.【答案】A
【解析】如图所示，设点
则BC直线方程为
由于在点的切线方程
为，则
由此为椭圆的切线系方程
由椭圆的面积可得，所以选A
9.【答案】B
【解析】
令
则，则，则a≥9，所以选B
10.【答案】D
【解析】最小值为，所以选D
11.【答案】A
【解析】因为，则
故，则n≥3时，数列为单调递减数列
可求得,当n≥5时，，则的最大值为，所以选A
12.【答案】B
【解析】联立方程可得，则
故面积的最大值为10，所以选B
13.【答案】C
【解析】由题意可得构成等差数列
则，化简可得可得
整理以k为未知量的方程，则
则n+2为完全平方数，则，则44≥m≥3
若，因为m-2,m+1奇偶性相反
故对于任意44≥m≥3都满足题意
同理，因为m+2,m-1奇偶性相反
故对于任意44≥m≥3都满足题意
综上：满足题意得有42个，所以选C
14.【答案】D
【解析】不妨设
则：因此：，同理
因此：所以选D
15.【答案】D
【解析】已知当时，
因为
下面证明
两边平方，即证
因为
两个等号不同时成立，所以所以选D
16.【答案】D
【解析】由题意可得
当时，上式恒为1，所以选D
17.【答案】A
【解析】如图所示，延长CF=CM
则根据比例可得BE//MD
则因为G为AD的中点，
因此
则不妨设则,
因此因此所以选A
18.【答案】B
【解析】因为有有理根，则有理根必小于0
设且(m,n)=1，则
显然，因为(m,n)=1，则n=1,故
因为，故1≤m≤2
当m=1时，q=1+p≤100，所以1≤q≤99，共99组
当m=2时，q=32+2p≤100,所以1≤p≤34，共34组
综上所述：满足条件的(p,q)共133组，故选B
19.【答案】B
【解析】因为，则
则则则
时，满足严格递增，当时，会出现正负交替，不满足，所以选B
20.【答案】D
【解析】因为
当x=0,z=1,y→+∞时，s→2，故无最大值
而且
当x=0,y=1,z→+∞时，s→1，故无最小值，所以选D
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