四年级下册数学教案-7.2 三角形三边关系 苏教版

“三角形三边的关系”

教学目标：
使学生通过实验操作知道三角形中任意两边的长度和大于第三边，能判断组成一个三
角形的三条边的长度关系，并能运用这一知识解决简单的实际问题。
2. 使学生通过探索性学习活动培养初步的观察、想象、比较、概括、归纳等能力，发展空间观念。
3. 使学生在探索过程中体验数学学习的乐趣，培养积极的学习态度和乐于探究的数学精神。
教学重点、难点：探索并理解“三角形任意两边的长度和大于第三边”。
教学准备：课件、纸条、剪刀、直尺、作业纸等。
教学过程：
一、回顾旧知，激活经验
师：同学们，我们已经认识了三角形，围一个三角形需要几条线段？这里有三根纸条，如果把纸条的黑色边线部分看成线段（图1），那么就有几条线段？
师：你能用这三条线段围成一个三角形吗？
一生上台操作（图2），师：围得怎么样？
生：线段与线段首尾相接，不出头，不空缺，围得很好。


（图1） （图2）
师：像这样，把三条线段首尾相接，我们就可以说，这三条线段围成了一个三角形。
【评析：三角形的三边关系探究是建立在“围”三角形基础上的，所以用三条线段正确围出三角形是本课教学开展的基础。在这里，教者巧妙地将长方形纸条的一条长描出来，这样就将纸条抽象成了“线段”，非常方便操作，为正确围出三角形扫平了障碍。而针对围出的三角形的评价更为下面“三条线段是否围成三角形”做好认知上的铺垫。】
二、初步体验，提出问题
动手操作
师：是不是任意的三条线段都能围成一个三角形呢？
生意见不一致，师：老师听到了不同的声音！口说无凭，用事实来证明！老师为每桌准备了一条线段（一根纸条），有办法将它变成3条线段吗？
生：剪。
师：这个想法真大胆！允许剪，不过剪是有要求的！
出示要求：1. 沿刻度线任意剪成3条线段。2. 在每条线段上标出长度（1格表示1厘米）。3.同桌合作，用这3条线段围一围，看看是不是能围成三角形。
作品展示
师：哪些同学成功围出了三角形？来展示介绍一下！
生1：我们剪成的3条线段分别长2cm、5cm、6cm，能围成三角形。
生2：我们剪成的3条线段分别长3cm、4cm、6cm，也能围成三角形。
……
师：这么多同学都围成了三角形。看来，只要有三条线段就一定能围成三角形！
生（反驳）：不是。
师（故作惊讶）：有不能围成三角形的情况？
生3：2cm、4cm、7cm，不能围成三角形。
生4：2cm、3cm、8cm，也不能围成三角形。
师（指图3），故意问：这里不是围成三角形了吗？
生4：下面一条边还多在外面，不能算围上。
生5：三条线段首尾相接才算围成三角形。
师：怎么调整就能让大家一眼看出围不成三角形？
生将图3调整为图4。
（图3） （图4）
（三）提出问题
师：通过刚才的剪和拼，任意的三条线段一定能围成三角形吗？
生：不一定。
师：看着这些图形，有什么想问的吗？
生1：剪的是同样的纸条（线段），为什么有的能围成三角形，有的却围不成呢？
生2：怎样的三条线段才能围成三角形呢？
生3：三条线段中，是不是有一条特别长的线段就不能围成三角形呢?
生4：能不能围成三角形跟什么有关呢？
……
师：同学们提出的问题都很有价值！让我们先顺着生4的思路来思考，三条线段能不能围成三角形，和什么有关？（根据学生的回答板书： 线段长度）
【评析：从“教师的问题”到“剪、围操作”再到“学生的问题”，学生的兴趣越来越浓厚，探究的欲望越来越强烈，特别是开放性的“剪、围”任务，把学生的积极性充分调动起来。为了能围成三角形，不少同学剪下了三条差不多长的线段，但是也有一些学生比较盲目，剪下的三条线段达不到“围成”的要求，但恰恰是“围不成”促进了学生深层次的思考。如果说教师一开始的问题激发了学生的潜意识，那么经过操作交流后学生自主产生的问题则唤醒了学生的有意识，由此生发的问题才是从学生内心的“真问题”。】
三、合作探究，发现关系
（一）自主观察——从“能”到“不能”
师：这是老师根据大家汇报整理出的两组数据，一组是能围成三角形的（2cm、5cm、6cm和3cm、4cm、6cm），一组是不能围成三角形的（2cm、4cm、7cm和2cm、3cm、8cm）。你们打算从哪组开始研究？
生（集体）：从能围成的开始。
师：从成功当中总结经验是研究问题的好办法！看一看，每组的三条线段为什么能围成三角形？
生思考片刻，无语。
师：看来思维遇到障碍了，没关系！当一种思路不能解决问题时，我们可以换个角度，从失败当中寻找原因，也许会有收获。请同学们观察不能围成三角形的这两组数据。
师指着（2、3、8）：这三条线段为什么不能围成三角形？仔细观察，你有什么发现？
生：8厘米这条边，太长了！另外两条边太短了！
师：这两条边短到什么程度？
生：2厘米和3厘米合起来都不到8厘米。
师：用式子表示就是——
生：2+3＜8
师：他把两条边加起来和另一条边进行了比较，再来看看另一组——
生：2+4＜7
师：其余围不成三角形的三条线段，也是同样的情况吗？
师：怎样的三条线段不能围成三角形？
生：两条线段的长度和小于第三条线段，不能围成三角形。
（二）猜想验证——重点研究“能”
1．提出猜想
师：大胆猜想，当两条线段的长度和与第三条线段有怎样的关系时，才能围成三角形？
生1：大于
生2：等于
生3：三条线段差不多长
2．初步验证，完善猜想
师：任何猜想都必须通过验证才知道是对还是错。我们以黑板上能围成三角形的这组数据（2cm、5cm、6cm）为例来验证。
生：2+5＞6
师：两条线段长度和确实大于第三条线段！看来，同学们的猜想是有道理的！（语气一转）：不过，老师有个疑惑，这一组（2cm、3cm、8cm）里，不是也有两条线段之和大于第三条的吗？（8+2＞3， 8+3＞2）为什么却不能围成三角形呢？
生：要全部大于才行。
师：你的意思是不仅2+5＞6，而且——
生：2+6＞5，5+6＞2。
师：看来刚才的猜想还需要再完善一下？
生：随便选两条线段，他们的长度和都大于第三条线段。
师：随便的意思就是……
生：任意
师：“任意”这个词好，不光考虑到了所有的情况，还突出了比较的方法。谁来完整的说一说。
生：任意两条线段的长度和大于第三条线段，就能围成三角形。
师：围成三角形的线段在三角形中被称之为边，换句话说——
生：在三角形中，任意两条边的长度和大于第三边。
师：再来判断一下，另一组（3cm、4cm、6cm）符合吗？
生1：3+4＞6，3+6＞4，4+6＞3，符合。
生2：我认为只要比较3+4＞6就可以了。因为短边加短边大于最长边就一定能围成三角形。
师：他的想法有道理吗？
生3：我同意，这种方法更简便。因为6本来就大于4和3，随便加哪条边都会变得更大，肯定大于第三条边。所以只要3+4＞6，它一定能围成三角形。
师：真聪明！只比较两条短边的和与最长边的关系也能进行判断，，这种方法真是既简便又高明。
3. 再次验证，形成结论
师：通过这两个三角形，我们验证并完善了自己的猜想，得出“三角形中任意两边的长度和大于第三边”。那是不是所有的三角形，都符合这个猜想呢？
生：（不敢确定）还要进一步去验证。
师：每桌有3根纸条，前后两桌合起来就有6根，可以再围一围；作业纸上有三角形，也可以量一量；如果老师提供的你都不想用，还可以自己画一画……
出示：围一围、量一量、画一画
三边长度 三边关系
( )厘米 （ ）厘米 （ ）厘米
（学生自主验证，重点展示等腰三角形、等边三角形、直角三角形等不同类型的三角形。）
师：同学们的研究能力非常强，不仅关注到一般的例子，还关注到了特殊的例子。这使得我们的验证就更加全面。现在，我们可以下结论了吗？谁来说说。
生：在三角形中，任意两边之和大于第三边。
（三）推理想象——研究“相等”
师：之前，有同学猜想“两条线段的长度和等于第三条”也能围成三角形。你们认为呢？
电脑出示：
生：我感觉不能围成。
师：是这样的吗？闭上眼睛，在头脑里静静地围一围……
生推理想象。
生1：不能。现在两条短线段在同一条直线上，加起来和第三条线段一样长，如果将两条短线段往上抬起，中间就无法连接了。
生2：就像柜子的两扇门，关上时合在一起，一打开中间就分开了。
动态演示：
归纳：当两条线段长度之和等于第三条线段时，不能围成三角形。
【评析：在这个环节，教师把自己当成了学生的“共同遭遇者”，和学生共同经历了几个研究的深入过程：首先是从“能”到“不能”研究思路的转变，让学生明白了“成功的经验有时也可以从失败的例子中获得”。其次是从“两条线段之和大于第三条”到“任意两条线段之和大于第三条”的猜想完善过程，教师不是单纯地告诉，而是通过质疑辨析在不能围成三角形的三条线段中，也有两条线段之和大于第三条线段的情况，引导学生自我调整和完善猜想，让学生的思维逐步清晰和完整。在学生全面验证得出结论后，教师又抛出“两条线段之和等于第三条”的情况，这里的教学没有简单停留在用结论判断和解释上，而是让学生进一步想象和推理，说明不能围成的原因。抽象思维和形象思维有机结合，让学生的理解更为透彻。】
四、实践应用，解决问题
师：小明想寻找一些小棒做三角形，让我们一起去看看。
（一）基础练习（单位：厘米）
师：上面两组小棒能围成三角形吗？为什么？
生1：第一组能，4+7＞10。
生2：第二组不能，5+6=11。
（二）综合练习
师：小明找到了高8厘米的笔袋，他把小棒笔直地插在了笔袋里！
出示：


笔袋1 笔袋2 笔袋3
师：请你判断一下，笔袋里的三根小棒能围成三角形吗？
生1：16+16＞16，笔袋1中三根小棒能围成三角形，还是等边三角形。
生2：笔袋2中三根小棒也能围成三角形。
师（疑惑）：笔袋2只看到两根小棒啊？
生2：第三根太短了，藏在了笔袋里。不过，就算第三根再短，也满足任意两根之和大于第三根的要求，所以能围成。
师：笔袋3只看到1根小棒，也能判断吗？
生：第2根和第3根看不到，说明最长也就是8厘米，加起来一定不会大于16厘米，所以不能围成三角形。
（三）拓展练习
师（指笔袋3）：要想围成三角形，有什么办法？
生：可以延长其中一根小棒的长度。
师（出示笔袋3-2）：能围成三角形吗？
笔袋3-2 笔袋3-3
生意见不一，争论。
生：当第三根长度是1—6时，不能；是7，8时，能。
出示第三根小棒（见笔袋3-3），师：能围成吗？
生：第三根小棒长4厘米，肯定不能围成三角形。
师：如果用剪刀剪短其中一根（整厘米），你们建议剪哪一根？
生（集体）：16厘米。
师：为什么？
生：16厘米最长，如果剪其余两根，越剪越短，更围不起来了。
师：剪后留下几厘米合适呢？
生小组交流后反馈。
生1：留下11厘米。
生2：留下8厘米。
……（师随机组织学生进行判断）
师：同学们的建议很多，最长留下几厘米？最短呢？
生：最长可以留下13厘米，最短留下7厘米。
师：你们是如何想到这两个长度的？
生1：要让10加4大于第一根，最长只能13厘米。
生2：要让第一根加上4大于10厘米，最少也要7厘米。
生3：也可以这样想，第一根小棒要大于10减4，最少就是7厘米。
生4：我发现，留下的小棒长度应该比二三两根的差大，比它们的和小。
师：之前有同学猜想，三条线段差不多长时能围成三角形，有道理吗？
生：有道理，每条边的长度都应该在另外两条边的和与差之间，如果相差大了超出范围就无法围成了！
师：看来，同学们对三角形三边关系的理解又进了一步！小明的小笔袋，引发了同学们的大思考！
【评析：在应用环节，教者设置了一个大任务，引导学生比较、辨析。特别是综合练习的习题设计，步步为营，环环相扣。从“三根小棒全部看见”到“只看见两根小棒”再到“只看见一根小棒”的判断练习，不仅强化了学生的认知，更发展了学生的空间想象和推理能力。而最后根据笔袋3的小棒情况进行延长、剪短的拓展练习，更是挑战了学生的思维，学生不仅要调动刚总结的结论来解决问题，还要进行全面缜密的思考，进而发现三角形三边之间更为隐秘的关系。虽然难度较大，但是有趣的任务情境充分调动了学生的“挑战欲”，而层层推进的过程就像一本侦探小说，让学生欲罢不能。】
五、回顾总结（略）
【总评】
“三角形任意两边的长度和一定大于第三边”是三角形的基本特点之一。引导学生发现这个特点一般有两条路径，一条是借助于“两点间所有连线中线段最短”的认知经验，直接推导出这个特点，另一条是通过“围三角形”的操作活动来逐步发现问题、研究原因、提出猜想、形成规律。教者采用了第二种教学路径，我认为非常符合四年级学生的年龄特点和思维方式。因为，这样的操作探究虽然对宏观的数学知识体系建构并无帮助，但是对于小学生而言，是一个全新的挑战，其探究过程中积累的经验，渗透的思想，势必会对学生自身的进一步学习产生积极的作用。
这节课中，教者精心设计了“以学生的学为中心”的教学过程，过程中，我们可以看到学生思维的流淌，认知的深入。学习，就这样真正地、悄然地发生了……
创设有效的“情境场”，为学习找到“着力点”
用三条线段围三角形的操作是三角形三边关系探究的重要前提，在平时的教学中，很多教师往往直接呈现几根固定长度的线段，让学生选择，并试围三角形，通过对比交流，发现规律。但是，教者却另辟蹊径，让学生自己将13厘米的线段任意剪成三段（整厘米），试围三角形。看似不经意的改动，却改出了大学问。首先，由“确定的三条线段”到“不确定的三条线段”的改动，让学生的学习从被动走向了主动，参与的积极性更加高涨，而积极的思考势必会带来更多的体验和感悟。其次，学生为了要围成三角形，自觉地将目光聚焦到三角形三边的关系上来，而这正是本课探究的重点。在成功剪、围的过程中，不少学生都直觉地感受到“三条线段长短差不多就一定能围成三角形”“三条线段中，有一条特别长的线段就不能围成三角形”，这个思考虽然没有具体数据的支撑和分析，但却是学生内心深处真实流淌出来的，这是比结果更有价值的成果。可以说，由“剪线段围”这个活动带来的“自主聚焦”和“直觉感悟”都是“提供线段围”所不能比拟的。课标指出：“数学学习要从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境”。这里，“剪线段围三角形”就为学生构建了一个大的“情境场”，让学生的自主学习和思考有了很好的“着力点”。
构建平等的“对话场”，为学习构建“生长线”
皮亚杰说：“一切真理都要让学生自己获得，或者由他重新发明，至少重建，而不是简单地传递给他。”从这个角度来看，学习是一个自主建构的过程。在三角形三边关系规律的探究过程中，教者并没有牵着学生走，而是让学生自己发现思考、自己反思调整，自己验证总结，最终获得结论。当然这个自主的过程充满着挑战和困难，为了帮助学生战胜困难，获得成功，教者多次蹲下身来，与学生进行交流，这种交流是平等的，教师充分尊重学生的自主选择，只是在学生遇到困难时给予及时的点拨，就是这一个个平等和谐的“对话场”，帮助学生完成一次又一次思维的跨越。比如，当学生通过剪、围活动发现了“能不能围成三角形跟线段的长度有关”后，教者没有直接让学生观察没有围成三角形的两组数据，而是让学生自主选择：“这是老师根据同学们汇报整理出的两组数据，一组是能围成三角形的，一组是不能围成三角形的。你们打算从哪组开始研究。”当学生集体认为要从能围成的情况开始研究时，老师没有干预，而是鼓励说：“从成功当中总结经验是研究问题的好办法！”当学生无法从正面获得结论时，老师又说：“看来思维遇到障碍了，没关系！当一种思路不能解决问题时，我们可以换个角度，从失败当中寻找原因……”虽然学生走了弯路，耗了时间，但是真正的学习就是在这条弯弯曲曲的小路上坎坷前行的过程，主动观察路边的风景，自主在岔路口寻找前行方向，正是“数学活动经验”积累和“数学思想方法”获得的有效途径。
设计合理的“练习串”，为学习拓展“发展面”
练习是检验学习成果的最好手段。教者巧妙地设计了“小明用小棒做三角形”的任务情境，并且把一条条练习由易到难串联起来，形成了一个“练习串”，帮助每个学生在应用中获得发展。这个练习串的底层是基础练习，检测学生基本知识掌握的程度。练习串的中层是综合练习，要学生借助于一定的空间想象解决问题。练习串的顶层是拓展练习，学生需要充分调动自己的大脑，开展想象、辨析、推理、转换、调整、分析等思维活动，才能解决问题。值得一提的是，教者没有把一个个问题的解决作为重点，而是把通过问题解决对原有的认知进行新的补充、拓展和解释，进而构建更完备的知识体系作为目标。所以，当最后学生通过讨论，总结出“第一根小棒剪去后留下的长度应该比第二三两根的差大，比它们的和小”这个结论时，老师话锋一转，进行回应：“之前有同学猜想，三条线段差不多长时就能围成三角形，有道理吗？”这里，让学生用新的发现对之前操作中产生的直觉感悟去进行解释，不仅让直觉思维有了可靠的依托，更将学生的理性思维拓展了一大步。可见，“小明的小笔袋，真正促进了学生的大发展！”