《一元二次方程及其应用》教学设计
课题:一元二次方程及其应用
课型:专题复习课
考试要求:
1. 了解(认识):
能够根据具体问题的实际意义,列出方程求解,且有意识地检验结果是否合理。
2. 理解和掌握:
(1)能根据能够根据具体问题中的数量关系,列出方程。
(2)理解配方法,会用因式分解法,公式法,配方法解简单的数字系数(有理数)的一元二次方程。
3. 经历(感受)与体验(体会):
(1)体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
(2)经历观察、画图或用计算器等手段估计方程解的过程。
教学模式:基础知识回顾-----知识结构梳理-----经典例题点拔-----课堂练习巩固------总结反思------学生纠错
学习方法:自主 合作 探究
教学过程:
1.设计意图:以《面对面》上依据《中考说明》中对一元二次方程的考试要求归纳总结出中考考点清单中4个考点为依据,并选择相应题型训练,用高效课堂模式教学,以学生为主体,教师为主导,帮助学生边进行题型训练边回顾考点,提高复习的针对性和实效性。
2.学习要求:
(1)学生首先自主练习并回顾专题知识点。
(2)分小组合作学习:6人一小组,由组长带领,分析本组同学自主学习后存在的问题,简单问题组内解决,较难问题由记录员收集,组间解决。
(3)共性典型问题师生共同解决。
基础知识回顾
1.一元二次方程:在整式方程中,只含 个未知数,并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中
叫做二次项, 叫做一次项, 叫做常数项; 叫做二次项的系数, 叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法:
(1)直接开平方法:形如或的一元二次方程,就可用直接开平方的方法.
(2)配方法:用配方法解一元二次方程的一般步骤是:①化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项,③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,④化原方程为的形式,⑤如果是非负数,即,就可以用直接开平方求出方程的解.如果n<0,则原方程无解.
(3)公式法:一元二次方程的求根公式是
.
(4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①将方程的右边化为 ;②将方程的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.
3.易错知识辨析:
(1)判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判断,注意一元二次方程一般形式中.
(2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
(3)用配方法时二次项系数要化1.
(4)用直接开平方的方法时要记得取正、负.
知识结构梳理:(学生完成,教师引导完善)
经典例题点拔
考点1 一元二次方程的解法
例1:解方程: (1) (x-1)2=4 ⑵ . (3) x2+4x-1=0
变式练习1解方程:⑴ (2) 3 x 2- x +1=0
考点2 一元二次方程与几何知识的综合应用
例2方程的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( )
A.12 B.12或15 C.15 D.不能确定
变式练习2:三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程的根,则该三角形的周长为( )
A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对
考点3 一元二次方程在实际生活中的应用
例3某市2011年国内生产总值(GDP)比2010年增长了12%,由于受到国际金融危机的影响,预计今年比2011年增长7%,若这两年GDP年平均增长率为则满足的关系式是( )
A. B.
C. D.
变式练习3:某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为,根据题意列出的方程是 .
课堂练习巩固:
1.一元二次方程x2=16的解是 .
2.若关于的一元二次方程的一个根是,则另一个根是______.
3.某县2008年农民人均年收入为7 800元,计划到2010年,农民人均年收入达到9 100元.设人均年收入的平均增长率为,则可列方程 .
4.若关于x的方程的一个根是0,则 .
5.用配方法解方程时,原方程应变形为( )
A. B. C. D.
6.(如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为( )
A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米
(第6题图)
7.为了让江西的山更绿、水更清,2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标,已知2008年我省森林覆盖率为60.05%,设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为,则可列方程( )
A. B.
C. D.
8.解方程:.
9.在实数范围内定义运算“”,其法则为:,求方程(43)的解.
10.如图①,要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2∶3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
分析:由横、竖彩条的宽度比为2∶3,可设每个横彩条的宽为,则每个竖彩条的宽为.为更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如图②的情况,得到矩形.
结合以上分析完成填空:如图②,用含的代数式表示:
= ____________________________cm;=____________________________cm;
矩形的面积为_____________cm;列出方程并完成本题解答.
课堂小结:考法剖析
规律:一元二次方程的考查,一是考解法,二是典型应用题,三是创设体现方程思想的情境
复习提示:“方程”问题首先要准确理解方程和方程的解的意义,其次要懂得解方程的基本思路是:降次,化二元为一元分解因式法、直接开平方法、公式法等方法,分别是一元二次方程的常见方法.此外要能够结合具体问题的实际意义列出方程(组),解决实际问题.
解应用题时要结合实际背景理解问题,找到列方程的“相等关系”是关键。不管是与实际相关的问题,还是纯粹的数学问题,不管是代数方面的问题,还是几何图形方面的问题,乃至更为一般化的问题,只要是求未知量数值的问题,不管是怎样的背景下和情境中,一般都要借助于方程,这点应让学生知道。
作业设计:《面对面》第21页---22页能力提升拓展。
欢迎各位领导和老师批评指正!
一元二次方程
概念
解法
应用
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
20cm
20cm
30cm
D
C
A
B
图②
图①
30cm