菱形的性质
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文档简介
(共27张PPT)
人教版数学教材八年级下
特殊的平行四边形
——菱形（1）
2000多年前……
这是一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗花纹，这就是越王勾践曾用过的宝剑。
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,得到什么图形
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢
情景创设
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
(菱形,由边变化得到)
菱形就在我们身边
三菱汽车标志欣赏
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.请同学们动手剪一剪.
如何利用折纸、剪切的方法，既 快又准确地剪出一个菱形的纸片？
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
已知四边形ABCD是菱形
1、图中有哪些相等的线段？
2、图中有哪些相等的角？
3、图中有哪些等腰三角形？
4、图中有哪些直角三角形？
5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴间有什么关系？
通过剪纸你有哪些发现
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1、相等的线段：
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
已知四边形ABCD是菱形
2、相等的角：
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
3、等腰三角形有：
△ABC △ DBC △ACD △ABD
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
4、直角三角形有：
Rt△AOB Rt△BOC
Rt△COD Rt△DOA
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴之间有什么位置关系
是 两条 两条对角线所在的直线 互相垂直
合作探究
菱形的性质
2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
A
B
C
D
O
1、菱形的四条边都相等
菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴
菱形具有平行四边形的所有性质.
另外补充：
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
∵四边形ABCD是菱形
∴ AD=AB,OD=OB
∴ AC⊥BD
∴∠9=∠10
又∵ AO = AO
∴△AOD ≌ △AOB
∵ △AOD ≌ △AOB
∴∠1=∠2
∴ AC平分∠DAB
同理：∠5=∠6 ， ∠7=∠8
∴ BD平分∠ADC和∠ABC
∴ ∠9=∠10= 90°
已知:四边形ABCD是菱形
求证:AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
证明：
菱形的性质2：
O
6
又∵ ∠9+∠10= 180°
C
B
D
A
10
1
2
4
3
5
7
9
8
6
同理：∠3=∠4
∴ AC平分∠DCB
O
O
已知:四边形ABCD是菱形
求证:AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
证明：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,（菱形的定义）
∴ AC⊥BD ,AC平分∠DAB (为什么 )
同理：AC平分∠DCB
OD=OB （平行四边形的对角线互相平分）
BD平分∠ADC和∠ABC
D
C
B
O
A
A
D
C
B
O
边
角
对角线
对称性
菱形的两组对边平行且相等
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
∥
=
∴ AD BC
AB CD
∥
=
菱形的四条边相等
∴ AB=BC=CD=DA
菱形的两组对角分别相等
∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
菱形的邻角互补
∴ ∠DAB+∠ABC= 180°
菱形的两条对角线互相平分
∴ OA=OC;OB=OD
菱形的两条对角线互相垂直，
每一条对角线平分一组对角。
∴ AC⊥BD
∠1=∠2
∠3=∠4
∠5=∠6
∠7=∠8
菱形是轴对称图形，有2条对称轴，是两条对角线所在的直线。
1
2
4
3
5
7
6
8
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm
60°
3.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
B
C
D
O
3
4
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
1、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，请你猜想CE和CF的大小关系，证明你的猜想.
A
B
E
C
D
F
2﹑如图，平行四边形的两条对角线AC，
BD相交于点O，AB= , AO=2，OB=1.
①AC，BD互相垂直吗？为什么？
②四边形是菱形吗？为什么？
3、如图，△AOD，△AOB，△COB，
△COD是四个彼此全等的三角形。
四边形ABCD是菱形吗？为什么？
4、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中 点，且DE⊥AB，AE=2。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB
解：
1）
∵ E是AB的中点，且DE⊥AB
∴DA=DB（DE为AB 的中垂线）
∴AD=AB=BD
∴ ∠DAB= 60 °， ∴ ∠ABC=120 °
∵AE=2， ∴ AB=4 ∴ BD=AB=4
∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DB
∵ BD=4 ∴ 0B=2
∴ 在Rt△AOB中,由勾股定理得
AO=
∴ AC=4
2
2）
作 业
必做题：
P102 5题、6题
选做题：
P103 11题、12题
人教版数学教材八年级下
特殊的平行四边形
——菱形（1）
2000多年前……
这是一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗花纹，这就是越王勾践曾用过的宝剑。
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,得到什么图形
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢
情景创设
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
(菱形,由边变化得到)
菱形就在我们身边
三菱汽车标志欣赏
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.请同学们动手剪一剪.
如何利用折纸、剪切的方法，既 快又准确地剪出一个菱形的纸片？
A
B
C
D
O
1
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已知四边形ABCD是菱形
1、图中有哪些相等的线段？
2、图中有哪些相等的角？
3、图中有哪些等腰三角形？
4、图中有哪些直角三角形？
5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴间有什么关系？
通过剪纸你有哪些发现
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
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8
1、相等的线段：
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
已知四边形ABCD是菱形
2、相等的角：
A
B
C
D
O
1
2
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8
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
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7
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3、等腰三角形有：
△ABC △ DBC △ACD △ABD
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
4、直角三角形有：
Rt△AOB Rt△BOC
Rt△COD Rt△DOA
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴之间有什么位置关系
是 两条 两条对角线所在的直线 互相垂直
合作探究
菱形的性质
2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
A
B
C
D
O
1、菱形的四条边都相等
菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴
菱形具有平行四边形的所有性质.
另外补充：
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
∵四边形ABCD是菱形
∴ AD=AB,OD=OB
∴ AC⊥BD
∴∠9=∠10
又∵ AO = AO
∴△AOD ≌ △AOB
∵ △AOD ≌ △AOB
∴∠1=∠2
∴ AC平分∠DAB
同理：∠5=∠6 ， ∠7=∠8
∴ BD平分∠ADC和∠ABC
∴ ∠9=∠10= 90°
已知:四边形ABCD是菱形
求证:AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
证明：
菱形的性质2：
O
6
又∵ ∠9+∠10= 180°
C
B
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A
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同理：∠3=∠4
∴ AC平分∠DCB
O
O
已知:四边形ABCD是菱形
求证:AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
证明：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,（菱形的定义）
∴ AC⊥BD ,AC平分∠DAB (为什么 )
同理：AC平分∠DCB
OD=OB （平行四边形的对角线互相平分）
BD平分∠ADC和∠ABC
D
C
B
O
A
A
D
C
B
O
边
角
对角线
对称性
菱形的两组对边平行且相等
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
∥
=
∴ AD BC
AB CD
∥
=
菱形的四条边相等
∴ AB=BC=CD=DA
菱形的两组对角分别相等
∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
菱形的邻角互补
∴ ∠DAB+∠ABC= 180°
菱形的两条对角线互相平分
∴ OA=OC;OB=OD
菱形的两条对角线互相垂直，
每一条对角线平分一组对角。
∴ AC⊥BD
∠1=∠2
∠3=∠4
∠5=∠6
∠7=∠8
菱形是轴对称图形，有2条对称轴，是两条对角线所在的直线。
1
2
4
3
5
7
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8
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm
60°
3.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
B
C
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3
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4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
1、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，请你猜想CE和CF的大小关系，证明你的猜想.
A
B
E
C
D
F
2﹑如图，平行四边形的两条对角线AC，
BD相交于点O，AB= , AO=2，OB=1.
①AC，BD互相垂直吗？为什么？
②四边形是菱形吗？为什么？
3、如图，△AOD，△AOB，△COB，
△COD是四个彼此全等的三角形。
四边形ABCD是菱形吗？为什么？
4、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中 点，且DE⊥AB，AE=2。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB
解：
1）
∵ E是AB的中点，且DE⊥AB
∴DA=DB（DE为AB 的中垂线）
∴AD=AB=BD
∴ ∠DAB= 60 °， ∴ ∠ABC=120 °
∵AE=2， ∴ AB=4 ∴ BD=AB=4
∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DB
∵ BD=4 ∴ 0B=2
∴ 在Rt△AOB中,由勾股定理得
AO=
∴ AC=4
2
2）
作 业
必做题：
P102 5题、6题
选做题：
P103 11题、12题