第二章
一元二次函数、方程和不等式
2．1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与比较大小
请同学们先观察下面的交通标志，再回答下面的问题．
【问题1】以上交通标志传递的信息是等量关系还是不等关系？
【问题2】如何用数学语言表达这些关系？
1．不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点．
(1)不等符号<，>，≤，≥或≠.
(2)所表示的关系是不等关系．
2．关于比较实数a，b大小的基本事实
文字表示
符号表示
如果a－b是正数，那么a>b
a－b>0?a>b
如果a－b等于0，那么a＝b
a－b＝0?a＝b
如果a－b是负数，那么a
a－b<0?a多维度理解比较两个实数大小的基本事实．
1．本质：等价符号(?)的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序，揭示了实数的运算性质与大小顺序之间的关系．
2．作用：
(1)证明不等式、解不等式的依据；
(2)将比较两个实数大小，转化为比较它们的差与0的大小．
1．两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种吗？
2．若不等式a≥b且a≤b，则a＝b吗？
3．对于?a∈R，a2＋1＞a吗？
提示：1.是.2.是.3.是．
观察教材中图2.1－4(如图)，阅读有关内容．
你能用类似的方法，在下面这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
提示：(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a＋b)2≥4ab等．
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为________．
【解析】“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，
所以
答案：
2．(教材练习改编)已知x≠2，则x2＋4与4x的大小关系为________．
【解析】x2＋4－4x＝(x－2)2，而x≠2，
所以(x－2)2>0，
所以x2＋4－4x>0，
所以x2＋4>4x.
答案：x2＋4>4x
基础类型 利用不等式(组)表示
不等关系(数学抽象)
1．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120
km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10
m，则用不等式表示为( )
A．v≤120
km/h或d≥10
m
B．
C．v≤120
km/h
D．d≥10
m
【解析】选B.考虑实际意义，知
2．已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC的三边长为a，b，c，将上述文字语言用不等式(组)可表示为( )
A．a＋b>c
B．
C．
D．
【解析】选D.由三角形三边关系及题意易知选D.
3．(2021·南京高一检测)如图，在一块长为22
m，宽为17
m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300
m2.设道路宽为x
m，根据题意可列出的不等式为( )
A.(22－x)(17－x)≤300
B．(22－x)(17－x)≥300
C．(22－x)(17－x)>300
D．(22－x)(17－x)<300
【解析】选B.把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，道路的宽为x
m，草坪面积为(22－x)(17－x)，因为草坪的面积不小于300
m2，所以(22－x)(17－x)≥300.
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
微提醒：注意寻找题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
综合类型 作差比较大小
及其应用(逻辑推理、数学运算)
作差比较大小
【典例】(2021·北京高一检测)已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
【解析】由于－(＋)
＝＋＝＋
＝＝，
再由a，b为正实数可得＋＞0，＞0，(－)2≥0，可得≥0，
所以＋≥＋，当且仅当a＝b时，取等号．
本例条件不变，试着比较－a与b－的大小．
【解析】因为a＞0，b＞0，
所以－＝－
＝＝≥0，b＝a时取等号，
所以－a≥b－.
作差法比较大小的步骤
微提醒：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要．
【加固训练】
已知x，y∈R，P＝2x2－xy＋1，Q＝2x－，试比较P，Q的大小．
【解析】因为P－Q＝2x2－xy＋1－＝x2－xy＋＋x2－2x＋1
＝＋(x－1)2≥0，
所以P≥Q.
证明不等式
①已知a>b>0，m>0，求证：<.
②已知a>b>m>0，求证：<.
【解析】①因为a>b>0，m>0，
所以b－a<0，a＋m>0，
所以－＝＝<0，
所以<；
②因为a>b>m>0，所以b－a<0，b－m>0，
所以－＝＝<0，
所以<.
点拨：①中分式的分母大分子小；②中分式的分子大分母小．都是比较分子、分母同时增加或减少同一个常数前后的大小关系．
作差法证明不等式的步骤
(1)将不等式的两边作差．
(2)进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号．
(3)利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
【加固训练】
已知a【证明】因为－＝＝，
因为a所以<0，
所以<.
创新拓展 中间值法比较大小(数学抽象)
【典例】已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a
B．a>c≥b
C．c>b>a
D．a>c>b
【解析】选A.因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，
所以2b＝2＋2a2，
所以b＝a2＋1，
所以b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
所以b>a，所以c≥b>a.
中间值法比较大小
如果所给式子作差后无法因式分解，不能判断差的符号，可尝试中间值法比较大小．利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值，通过它们的有界性来寻找中间值作媒介，以达到传递的目的．
创新题型 比较大小在实际问题中的
应用(数学运算)
【典例】甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：第一种：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2(v1≠v2)，平均速度为；第二种：在前一半时间用速度v1，在后一半时间用速度v2(v1≠v2)，平均速度为；则，的大小关系为( )
A．>
B．<
C．＝
D．无法确定
【解析】选B.第一种：设总路程为2s，则＝＝，第二种：设总时间为2t，则＝＝，－＝－＝＝>0所以>.
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
1．平流层是指地球表面以上10
km到50
km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是( )
A．|x＋10|<50
B．|x－10|<50
C．|x＋30|<20
D．|x－30|<20
【解析】选D.如图：设A(10)，B(50)，则AB的中点为M(30)，由距离公式可得|x－30|<20.
2．已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是( )
A．a－b≤0
B．a＋b<0
C．|a|>|b|
D．a>b
【解析】选D.a>0，b<0，所以a>b.
3．用不等式表示下面的不等关系：
(1)a与b的积是非负数：____________________．
(2)m与n的和大于p：____________________．
(3)某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间：__________________．
答案：(1)ab≥0 (2)m＋n>p (3)16≤t≤18
4.和1的大小关系为________．
【解析】1－＝＝≥0，
故≤1.
答案：≤1
5．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
【解析】(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y).
因为x＜y＜0，
所以xy＞0，x－y＜0，
所以－2xy(x－y)＞0，
所以(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y).
PAGE第2课时 不等式的性质
现有甲、乙两人拿着不同的水壶去打水(且甲的水壶比乙的小)，设水龙头注满甲、乙水壶的时间分别为t1，t2.问：只有一个水龙头时，应该如何安排两人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？最少总时间为多少？
【问题1】怎样把这个实际问题抽象为数学问题？
【问题2】总时间有几种情况？怎样列数学表达式？什么情况下总时间最少？
1．等式的性质
性质1
如果a＝b，那么b＝a
性质2
如果a＝b，b＝c，那么a＝c
性质3
如果a＝b，那么a±c＝b±c
性质4
如果a＝b，那么ac＝bc
性质5
如果a＝b，c≠0，那么＝
解方程所用的移项法则的依据是哪条性质？
提示：根据性质3.如a＋b＝c，两边同时加－b，可得a＋b＋＝c＋，即a＝c－b.
2．不等式的性质
别名
性质内容
注意
性质1
对称性
a>b?b可逆
性质2
传递性
a>b，b>c?a>c
同向
性质3
可加性
a>b?a＋c>b＋c
可逆
性质3的推论
移项法则
a＋b＞c?a＞c－b
可逆
性质4
可乘性
a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?acc的符号
性质5
同向可加性
a>b，c>d?a＋c>b＋d
同向
性质6
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0?ac>bd
同向同正
性质7
可乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)
同正
剖析不等式的性质
1．作用：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．
2．关注点
(1)在应用性质4时，要特别注意c的符号．
(2)注意不等式的单向性和双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性．性质1和性质3及性质3的推论是可逆的，其余的性质在一般情况下是不可逆的．
(3)在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
使用性质6，7时，要注意什么条件？
提示：各个数均为正数．
1.同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？
2．若a＋c>b＋d，则a>b，c>d成立吗？
3．若ab≠0，则a>b?<成立吗？
提示：1.不一致.2.不成立.3.不成立．
教材第42页练习2(3)：
如果a>b>0，那么________的条件改为“a提示：方法一：－＝＝，
由a所以＜0，即－＜0，所以＜.
方法二：因为a所以2＞2＞0，即a2＞b2＞0，
所以＞＞0，所以＞，所以＜.
1．已知－1A．a2>－a3>－a
B．－a>a2>－a3
C．－a3>－a>a2
D．a2>－a>－a3
【解析】选B.因为－1所以1＋a>0，0<－a<1，
所以－a－a2＝－a(1＋a)>0，a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，所以－a>a2>－a3.
2．已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＜b2＜c2
B．ab2＜cb2
C．ac＜bc
D．ab＜ac
【解析】选C.因为a＋b＋c＝0且a＜b＜c，
所以a＜0，c＞0，所以ac＜bc.
基础类型一 利用不等式的性质
判断不等关系(逻辑推理)
1．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．ac－3>bc－3
B．a2＞b2
C．＞
D．a|c|＞b|c|
【解析】选C.对A，c<0时，c－3<0，有ac－3对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，所以B不成立；
对C，因为c2＋1≥1，且a＞b，所以＞恒成立，所以C正确；对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，所以D不成立．
2．(2021·六安高一检测)已知a＋b<0，且a>0，则( )
A．a2<－abB．b2<－abC．a2D．－ab【解析】选A.由a＋b<0，且a>0，可得03．给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；②若a>b>0，则>；
③若a>b，>，则a>0，b<0.其中正确命题的序号是________．
【解析】①因为c2≥0，所以c＝0时有ac2＝bc2，故①不正确；
②由a>b>0，有ab>0?>?>，故②不正确；
③?ab<0.
因为a>b，所以a>0，b<0，故③正确．
答案：③
运用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．
(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
基础类型二 利用不等式的性质求式子的
取值范围(逻辑推理)
【典例】(2021·伊春高一检测)已知－5求(1)x－2y的取值范围；
(2)3x＋2y的取值范围．
【解析】(1)因为2所以－6<－2y<－4，
所以－5＋即－11(2)因为－5所以－15<3x<12，4<2y<6，
所以－11<3x＋2y<18.
利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
微提醒：同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据．
已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
【解析】因为－≤α<β≤，
所以－≤<，－<≤.
两式相加得－<<.
因为－≤<，－≤－<，
两式相加得－≤<.
又因为α<β，所以<0，所以－≤<0.
综合类型 不等式性质的综合应用(逻辑推理)
利用不等式的性质比较大小
【典例】(2021·长沙高一检测)若P＝＋，Q＝＋，，则P，Q的大小关系为( )
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．由a的取值确定
【解析】选A.P2＝2a＋5＋2＝2a＋5＋2，Q2＝2a＋5＋2＝2a＋5＋2，因为>，
故P2>Q2，而P>0，Q>0，所以P>Q.
平方转化法比较大小
(1)依据：对于任意两个正数a，b，a＞b?a2＞b2.
(2)策略：要比较两个实数的大小，可以转化为比较这两个数的平方的大小．
【加固训练】
已知x1＜x2＜0，比较
eq
\r(1＋x)
与
eq
\r(1＋x)
的大小．
【解析】因为x1＜x2＜0，所以x＞x，
所以1＋x＞1＋x，所以
eq
\r(1＋x)
＞
eq
\r(1＋x)
.
利用不等式的性质证明不等式
【典例】已知c>a>b>0，求证：>.
【证明】方法一：因为a>b>0，所以<，
因为c>0，所以<，
所以－1<－1，即<，
因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0.
所以>.
方法二：因为c>a>b>0，所以0所以0<<，即>>0，
又因为a>b>0，所以>.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
微提醒：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”．还应特别注意“乘负反序”“同号取倒反序”等情况．
【加固训练】
已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
【解析】方法一：充分性：由xy>0及x>y，
得>，即<.必要性：由<，
得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
方法二：由条件x>y?y－x<0，故由<0?xy>0.
所以0，即<的充要条件是xy>0.
创新拓展 作商法比较大小(数学抽象)
【典例】已知a＞1＞b＞0，比较，，，的大小关系．
【解析】因为＝＜1，所以＜，
因为＝＜1，所以＜，
因为＝b＜1，所以＜，
因为＝a＞1，所以＜，
所以＜＜＜.
作商法比较大小
(1)依据：b>(<)0时，>1?a>(<)b；＝1?a＝b；<1?a<(>)b.
(2)步骤：作商—变形—判断商与1的大小—得出结论．
创新思维 待定系数法求取值范围(逻辑推理)
【典例】(2021·石家庄高一检测)若实数α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．
【解析】设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)，
则α＋3β＝(x＋y)α＋(x＋2y)β，
由，解得，
所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)，
由－1≤α＋β≤1得－1≤－(α＋β)≤1，
由1≤α＋2β≤3得2≤2(α＋2β)≤6，
所以1≤α＋3β≤7.
答案：1≤α＋3β≤7
求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
【加固训练】
已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则3x＋y的最大值为( )
A．8
B．9
C．16
D．18
【解析】选C.令s＝x－y，t＝4x－y，
则x＝，y＝，
则3x＋y＝3×＋＝，
又－4≤s≤－1，－1≤t≤5，
所以≤－≤，－≤≤，
所以1≤≤16，
所以3x＋y的最大值为16.
1．已知aA．4a<4b
B．－4a<－4b
C．a＋4D．a－4【解析】选B.由可乘性知，在不等式的两端同乘一负数，不等号改变方向．
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
【解析】选C.令a＝5，b＝－2满足a＋b>0，
所以a>－b>b>－a.
3．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是( )
A．a3＞b3
B．＜
C．a2＞ab
D．b2＞ab
【解析】选D.因为0＜a＜b＜1，
所以b＞a，b＞0，故b2＞ab.
4．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围是________．
【解析】因为－1<β<1，
所以－1<－β<1，－2<α－β<2，
又因为α<β，
所以α－β<0，－2<α－β<0.
答案：－2<α－β<0
5．(1)已知a>b，cb－d；
(2)已知a>b，ab>0，求证：<；
(3)已知a>b>0，0.
【解析】(1)因为a>b，c所以a>b，－c>－d.
则a－c>b－d.
(2)因为ab>0，所以>0.
又因为a>b，所以a·>b·，
即>，因此<.
(3)因为0得>>0.
又因为a>b>0，
则a·>b·，即>.
PAGE2．2 基本不等式
第1课时 基本不等式
某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑．
【问题1】这串金项链的真实重量是多少？
【问题2】这样计算的重量对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗？
1．重要不等式：
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立).
2．基本不等式
(1)公式：
①条件：a>0，b>0；
②结论：≤；
③等号成立：当且仅当a＝b时．
(2)语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式的两个变形
1.≥≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；
2.≥≥≥(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号).
(1)重要不等式与基本不等式成立的条件相同吗？基本不等式成立的条件能省略吗？
提示：两个不等式成立的条件是不同的：前者要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数．基本不等式成立的条件“a>0，b>0”不能省略，例如≥是不成立的．
(2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
提示：一方面是当a＝b时取等号，即a＝b?＝；另一方面是仅当a＝b时取等号，即＝?a＝b.
3．用基本不等式求最值的结论
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2(积定和最小)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y＝时，积xy有最大值为(和定积最大).
(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值．
使用基本不等式求最值的注意点
1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
2．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
连续使用基本不等式时，取等号的条件是什么？
提示：连续使用基本不等式时取等号的条件，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件相同吗？
(2)若a≠0，则a＋≥2＝4成立吗？
(3)当a，b同号时，＋≥2成立吗？
提示：
(1)不相同．(2)不成立．(3)成立．
阅读教材例1的解答过程：
例1 已知x>0，求x＋的最小值．
解：因为x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2.
如果将题目条件“x＞0”改为“x＜0”，你能用基本不等式求x＋的最大值吗？
提示：因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥
2＝2，所以x＋≤－2，
当且仅当－x＝，即(－x)2＝1，x＝－1时，等号成立，因此所求的最大值为－2.
1．已知x>0，y>0，＋的最小值为( )
A．＋1
B．2
C．－1
D．
【解析】选B.＋≥2＝2，
当且仅当x2＝2y2时，等号成立，
故＋的最小值为2.
2．(教材例题改编)设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________．
【解析】因为x，y都是正数，且x＋y＝40，所以xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．
答案：400
基础类型一 利用基本不等式
判断命题真假(逻辑推理)
1．下列不等式一定成立的是( )
A．>(x>0)
B．x＋≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
【解析】选C.选项A中，x2＋≥x(当且仅当x＝时，x2＋＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋≥2(x>0)，x＋≤－2(x<0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0<≤1，故选项D不正确．
2．设0A．aB．a<<C．a<D．【解析】选B.因为0所以综上，a<<3．(多选题)(2021·枣庄高一检测)若a>0，b>0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1>a
B．≥4
C．(a＋b)≥4
D．a2＋9>6a
【解析】选ABC.对A.根据基本不等式可知a>0时，a2＋1≥2a>a，即a2＋1>a，所以A正确；
B．当a>0，b>0时，a＋≥2＝2，当a＝1时等号成立，b＋≥2＝2，当b＝1时等号成立，所以当≥4，当a＝1，b＝1时等号成立，故B正确；
C．(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当a＝b时等号成立，故C正确；D.a2＋9≥2＝6a，当a2＝9时等号成立，又因为a>0，所以a＝3等号成立，即a2＋9≥6a，故D不正确．
利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件．
第二步：应用基本不等式．
第三步：检验等号是否成立．
基础类型二 利用基本不等式求简单问题的
最值(数学运算)
【典例】1.若x>0，y>0，则2x＋＋y＋的最小值是( )
A．3
B．4
C．4
D．2
【解析】选A.因为x>0，y>0，
所以2x＋＋y＋≥2＋2＝2＋＝3，
当且仅当x＝，y＝时等号成立，
因此，2x＋＋y＋的最小值为3.
2．设x，y是正实数，满足x＋2y＝1，那么4y2＋x2的最小值为( )
A．1
B．
C．
D．
【解析】选D.由x＋2y＝1，且≤，
即4y2＋x2≥，当且仅当x＝，y＝时，取等号，
所以4y2＋x2的最小值为.
3．若4x＋(x>0，a>0)当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为________．
【解析】因为x>0，a>0，所以4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时取等号，由题意得，＝2，所以a＝16.
答案：16
将本例1的条件“2x＋＋y＋”改为“x＋y＋＋”，其他条件不变，如何解答？
【解析】因为x>0，y>0，
所以x＋y＋＋＝x＋＋y＋≥2＋
2＝4＋2＝6，
当且仅当x＝2，y＝1时等号成立，
因此，x＋y＋＋的最小值为6.
【备选例题】
若x>0，则x＋≥a恒成立的一个充分条件是( )
A．a>80
B．a<80
C．a>90
D．a<90
【解析】选B.因为x>0，由基本不等式x＋≥
2＝4，
当且仅当x＝即x＝2时，取等号，
要使得x＋≥a恒成立，则a≤4，
所以x＋≥a恒成立的一个充分条件是a<80.
【知识拓展】利用基本不等式解不等式恒成立问题的思路
对于由恒成立求参问题，常采用参变分离求最值的方法求解．如本例a小于等于x＋的最小值．
基本不等式的使用条件
(1)一正：a＞0，b＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；
(2)二定：ab或a＋b为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数；
(3)三相等：当且仅当a＝b时取等号；即：等号能否取得．
在应用基本不等式求最值时，要逐一验证三个条件是否成立．
微提醒：定值条件决定了基本不等式应用的可行性，这是解题的关键．
已知x>0，y>0，2x＋y＝2，则xy的最大值为( )
A．1
B．
C．
D．
【解析】选B.因为x>0，y>0，2x＋y＝2，
所以2x＋y≥2，当且仅当2x＝y，
即x＝，y＝1时取等；
故2≥2，即xy≤.
【加固训练】
1.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值是______．
【解析】由于x＞0，y＞0，则x＋y≥2，所以xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81.
答案：81
2．已知x<0，则3x＋的最大值为________．
【解析】因为x<0，所以－x>0.
则3x＋＝－
≤－2＝－12，
当且仅当＝－3x，即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12.
答案：－12
综合类型 灵活利用基本不等式求最值(数学运算)
拆项、凑项法
①y＝(x>－1)的最小值为________．
②y＝(x>－1)的最大值为________．
【解析】①y＝＝
＝(x＋1)＋＋5，
因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝即x＝1时，等号成立，
故所求最小值为9.
答案：9
②y＝＝
＝，
因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y≤＝＝，
当且仅当x＋1＝即x＝－1时，等号成立．
故所求最大值为.
答案：
点拨：①中分式的分子复杂、分母简单，可用拆项的方法，凑应用基本不等式的条件；②中分式的分母复杂、分子简单，可用分子分母同时除以某数(或式)的方法，凑应用基本不等式的条件．
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
微提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
【加固训练】
已知x<，则4x－2＋的最大值为________．
【解析】因为x<，所以5－4x>0，令y＝4x－2＋，
所以y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
答案：1
换元法
【典例】的最大值为________．
【解析】设t＝≥0，则x＝t2－2.
于是y＝(t≥0).当t＝0时，y＝0.
当t>0时，y＝≤＝.
当且仅当2t＝，即t＝时，y有最大值为.
由＝，解得x＝－.
即x＝－，y有最大值为.
答案：
换元法解基本不等式问题的策略
换元法适用于结构复杂(如含有根式)的情况，其目的是通过换元将陌生问题转化为熟悉的问题．
【加固训练】
函数y＝的最大值为________．
【解析】令t＝≥0，则x＝t2＋1，
所以y＝＝.
当t＝0，即x＝1时，y＝0；Ｋ
当t>0，即x>1时，y＝，
因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，
所以y＝≤，
即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).
答案：
创新拓展 消元法解基本不等式问题(数学运算)
【典例】已知a，b>0，且满足a2＋ab＝1，则3a＋b的最小值为( )
A．
B．
C．2
D．2
【解析】选C.因为a，b>0，a2＋ab＝1，
所以b＝－a，
所以3a＋b＝3a＋－a＝2a＋≥2＝2，
当且仅当2a＝，即a＝时取等号，
所以3a＋b的最小值为2.
消元法是对于不等式中的多元问题，用一个参数表示其他参数，再利用基本不等式进行求解．
创新题型 借助几何图形验证基本
不等式(直观想象)
【典例】(2021·汕头高一检测)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且OF⊥AB，点C在直径AB上运动．设AC＝a，BC＝b，则由FC≥OF可以直接证明的不等式为( )
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C．≤(a>0，b>0)
D．≤(a>0，b>0)
【解析】选D.不妨设点C在半径OB上运动．
由图形可知：OF＝AB＝，OC＝.
在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF＝
＝，
因为FC≥OF，
所以≤，(a>0，b>0).
借助几何图形验证基本不等式的关注点
(1)明确所证不等式中代数式的含义，挖掘几何图形蕴含的不等关系，如三角形中大边对大角、两边之和大于第三边等．
(2)充分利用几何图形，找到有关线段的关系，并进行恰当的转化．
【加固训练】
《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是( )
①由图1和图2面积相等可得d＝；
②由AE≥AF可得≥；
③由AD≥AE可得≥；
④由AD≥AF可得a2＋b2≥2ab.
A．①②③④
B．①②④
C．②③④
D．①③
【解析】选A.由图1和图2面积相等ab＝(a＋b)d，可得d＝，①对；由题意知图3面积为ab＝AF，AF＝，AD＝BC＝，图3设正方形边长为x，由三角形相似，＝，解之得x＝，则AE＝；可以化简判断②③④对．
1．下列不等式正确的是( )
A．a＋≥2
B．(－a)＋(－)≤－2
C．a2＋≥2
D．(－a)2＋≤－2
【解析】选C.由a可正、可负，可知A，B错误；由于a2＞0，所以a2＋≥2＝2，当且仅当a2＝，即a＝±1时等号成立，所以C正确；同理可知(－a)2＋
≥2，故D错误．
2．已知x>0，函数y＝＋x的最小值是( )
A．4
B．5
C．8
D．6
【解析】选A.由题意可得，y＝＋x满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以y＝＋x≥2＝4，当且仅当＝x，即x＝2时，等号成立．所以当x>0时，函数y＝＋x的最小值是4.
3．已知正数a，b满足ab＝10，则2a＋5b的最小值是( )
A．10
B．20
C．15
D．25
【解析】选B.因为正数a，b满足ab＝10，
所以2a＋5b≥2＝2＝20，
当且仅当2a＝5b，即时，等号成立．
4.的最小值是________．
【解析】＝|a|＋≥2＝2，当且仅当|a|＝，即a＝±时，取等号．
答案：2
5．求函数y＝4x2＋的最小值，并求函数取最小值时x的值．
【解析】由已知x2>0，
则y＝4x2＋≥2＝12，
当且仅当4x2＝，
即x＝±时，等号成立，
所以当x＝±时，y＝4x2＋的最小值为12.
PAGE第2课时 基本不等式的应用
基础类型一 常数代换法求最值(数学运算)
【典例】(2021·齐齐哈尔高一检测)已知正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
【解析】(1)由于x，y都是正实数，
所以1＝＋≥2，
当且仅当＝即x＝2，y＝36时等号成立，
即≤，xy≥72，xy的最小值是72.
(2)x＋2y＝＝37＋＋≥
2＋37＝49，
即x＋2y≥49，当且仅当＝
即x＝7，y＝21时，x＋2y的最小值是49.
将本例条件“＋＝1”改为“＋＝1”，其他条件不变，如何解答？
【解析】(1)由1＝＋≥2得xy≥36，
当且仅当＝，
即y＝9x＝18时取等号，
故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，
当且仅当＝，
即9x2＝2y2，x＝1＋3，y＝9＋时取等号，
故x＋2y的最小值为19＋6.
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
微提醒：常值代换法适用于变量x，y是正实数，整式ax＋by与分式＋一个值已知求另外一个的最(大)小值问题．
已知正实数a，b满足a＋＝3，则＋b的最小值为________．
【解析】因为正实数a，b满足a＋＝3，
所以＋b＝＝
≥＝，
当且仅当＝ab，即时，等号成立．
答案：
【加固训练】
1.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A．
B．4
C．
D．5
【解析】选C.依题意，得＋＝·(a＋b)＝≥＝，
当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.
2．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A．
B．
C．5
D．6
【解析】选C.由x＋3y＝5xy，可得＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋＋＋≥＋2
＝＋＝5，当且仅当x＝1，y＝时取等号，故3x＋4y的最小值是5.
基础类型二 利用基本不等式证明不等式(逻辑推理)
【典例】设a，b，c都为正数，
求证：＋＋≥a＋b＋c.
【证明】因为a，b，c∈R＋，所以，，∈R＋，
所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
所以2≥2(a＋b＋c)，
所以＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当＝＝，即a＝b＝c时取等号．
已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
【证明】因为x，y，z都是正数，x＋y≥2，y＋z≥2，x＋z≥2，
所以(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
【加固训练】
已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
【解析】因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，相乘得：
≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
综合类型 基本不等式的实际应用(数学建模)
最大值问题
【典例】(2021·嘉兴高一检测)第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，多个国家和地区的参展企业携大批新产品、新技术、新服务首发首展．某跨国公司带来了高端压缩机模型参展，通过展会调研，嘉兴某企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款压缩机．生产此款压缩机预计全年需投入固定成本1
000万元，每生产x千台压缩机，需另投入资金y万元，且y＝，根据市场行情，每台压缩机售价为0.899万元，且当年内生产的压缩机当年能全部销售完．
(1)求2021年该企业年利润z(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；
(2)2021年产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？(注：利润＝销售额－成本)
【解析】(1)由题意知当0＜x＜40时，
z＝899x－(10x2＋299x)－1
000＝－10x2＋600x－1
000，
当x≥40时，
z＝899x－－1
000
＝－＋8
450，
即z＝.
(2)由(1)知当0＜x＜40时，z＝－10x2＋600x－1
000
＝－10(x－30)2＋8
000，
当x＝30时，最大值z＝8
000万元；
当x≥40时，z＝－＋8
450
≤8
450－2
＝8
450－200＝8
250，当且仅当x＝100时取等号．因为8
250＞8
000，
所以当x＝100时年利润最大值为8
250万元，
所以2021年产量为100千台时，企业所获年利润最大为8
250万元．
应用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)认真审题，恰当选择变量(x或y)，并求其取值范围；
(2)用x或y表示要求最大(小)值的量z；
(3)利用基本不等式，求出z的最大(小)值；
(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
【加固训练】
某镇计划建造一个室内面积为800
m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1
m宽的通道，沿前侧内墙保留3
m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【解析】设矩形温室的左侧边长为a
m，后侧边长为b
m，蔬菜的种植面积为S
m2，则ab＝800.
所以S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)≤808－4＝648，当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S最大值＝648.
答：当矩形温室的左侧边长为40
m，后侧边长为20
m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648
m2.
最小值问题
【典例】(2021·宿迁高一检测)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
【解析】(1)设所用时间为t＝，则y＝×2×＋14×，50≤x≤100.
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，50≤x≤
100.
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立．
故当x＝18千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．
利用基本不等式解决实际问题要注意的几点
(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，总体构思建立等量关系；
(2)求准使实际问题有意义的量的取值范围；
(3)准确利用基本不等式求最大(小)值，回到实际问题中，检验并写出正确答案．
【加固训练】
如图，动物园要围相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)要使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【解析】设每间虎笼长x
m，宽y
m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
(1)方法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长4.5
m，宽3
m时，可使面积最大．
方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
因为x>0，所以9－y>0，所以0S＝xy＝y＝(6－y)·y.
因为00，
所以S≤·＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5
m，宽3
m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
方法一：因为2x＋3y≥2＝2＝24，
所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由，解得
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
方法二：由xy＝24，得x＝.
所以l＝4x＋6y＝＋6y＝6
≥6×2＝48.
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
创新题型 存在性问题(数学运算)
【典例】(2021·石家庄高一检测)已知正实数x，y满足x＋y＝4.
(1)是否存在正实数x，y，使得xy＝5？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．
(2)求证：＋≥，并说明等号成立的条件．
【解析】(1)因为正实数x，y满足x＋y＝4，
所以4＝x＋y≥2，所以xy≤4，
故不存在正实数x，y，使得xy＝5.
(2)由x＋y＝4得(x＋1)＋＝7，
又因为x，y都是正实数，
所以＋＝[(x＋1)＋(y＋2)]＝≥＝，
当且仅当＝，等号成立．
又因为x＋y＝4，所以x＝，y＝时等号成立．
解存在性问题的一般思路
假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断．
【加固训练】
已知a>0，b>0，a＋b＝10.
(1)求＋的最小值；
(2)是否存在正实数a和b满足＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为a>0，b>0，且(a＋2)＋b＝12，
所以＋＝[(a＋2)＋b]·＝
≥＝，
当且仅当＝
即a＝4，b＝6时，取得等号．
(2)假设存在x＋y＝(x＋y)·＝
≥2＋a＋b＝a＋b＋2，
当且仅当＝时取等号．
所以，
解得或，故存在．
创新思维 基本不等式与几何知识的
综合问题(数学建模)
【典例】某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60
m，AB＝40
m，且在△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10
m，EF＝20
m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m).
(1)试用x表示五边形MBCDN的面积y，并求出取值范围；
(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．
【解析】(1)作GH⊥EF，垂足为H.
因为DN＝x，所以NH＝40－x，NA＝60－x，
因为＝，所以＝，所以AM＝.
y＝S五边形MBCDN＝S矩形ABCD－S△AMN＝40×60－·AM·AN＝2
400－.
因为N与F重合时，AM＝AF＝30适合条件，所以0＜x≤30.
(2)令y＝2
400－
＝2
400－5，
当且仅当40－x＝，
即x＝20时，y取得最大值2
000，
所以当DN＝20
m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2
000
m2.
结合平面几何知识，用x表示五边形MBCDN的面积y是解本题的关键．
【加固训练】
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2
m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a
m，高度为b
m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60
m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)？
【解析】设y为排出的水中杂质的质量分数，
根据题意可知：y＝，其中k是比例系数且k＞0.
依题意要使y最小，只需ab最大．
由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，
即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).
因为a＋2b≥2，
所以2·＋ab≤30，得0＜≤3.
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.
故当a＝6
m，b＝3
m时经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小．
1．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有( )
A．最大值64
B．最小值
C．最小值
D．最小值64
【解析】选D.由题意，得xy＝xy＝2y＋8x≥
2＝8，所以≥8，
即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.
2．若x>2且y＝，则x＋y的最小值为( )
A．18
B．15
C．14
D．1.3
【解析】选A.因为x＋y＝x＋＝x＋＝x－2＋＋10，
又因为x>2?x－2>0，
所以x＋y≥2＋10＝18，
当且仅当x－2＝，即x＝6时，等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
3．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值为________．
【解析】＋＝×(a＋2b)
＝≥(4＋2)＝4.
当且仅当＝，即a＝1，b＝时，等号成立，
所以＋的最小值为4.
答案：4
4．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．
【解析】C＝＝.
因为t>0，所以t＋≥2＝4
.
所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，
即t＝2时，C取得最大值．
答案：2
PAGE2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、
不等式
给出下面四个不等式：
(1)x2－x－6＞0；
(2)x－x2≤0；
(3)3x2＋x－5≥0；
(4)2x2＋x＋5＜0.
【问题1】以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？
【问题2】以上四个不等式中，每个不等式中未知数的最高次数是多少？
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
一元二次不等式的一般形式是：
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(a≠0).
(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式了．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
x1，2＝
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
ax2＋bx＋c＜0(a>0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
剖析数形结合法解不等式
三个“二次”关系的实质可利用数形结合的思想进行解读：
(1)ax2＋bx＋c＝0的解x＝x0对应函数y＝ax2＋bx＋c图象上的点(x0，0)；
(2)ax2＋bx＋c＞0的解集对应函数y＝ax2＋bx＋c图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合；
(3)ax2＋bx＋c＜0的解集对应函数y＝ax2＋bx＋c图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合．
(1)有人说：当Δ>0时，表中的x1，x2有三重身份，你能说出是哪三重身份吗？
(2)若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示：(1)x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标，又是一元二次方程的两个解，还是一元二次不等式解集的区间端点．
(2)结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
2．不等式x2－2x＋3>0的解集为R吗？
3．若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0的解集为空集吗？
4．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1提示：1.不是；2.是；3.不是；4.不是．
阅读教材第53页图2.3－5(如图)
你能用框图表示ax2＋bx＋c≥0(a＜0)的求解过程吗？
提示：
1．不等式(x＋1)(x－2)<0的解集为( )
A．{x|x<－1，或x＞2}
B．{x|x<－2，或x＞1}
C．{x|－1D．{x|－2【解析】选C.解方程(x＋1)(x－2)＝0，
得x1＝－1或x2＝2.画出函数的图象，
结合图象得不等式的解集为{x|－12．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
【解析】原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.
答案：?
基础类型一 解一元二次不等式(数学运算)
1．(2020·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝( )
A．{－4，1}
B．{1，5}
C．{3，5}
D．{1，3}
【解析】选D.由x2－3x－4<0解得－1所以A＝，
又因为B＝，所以A∩B＝.
2．下列不等式中解集为R的是( )
A．2x2－3x－2>0
B．x2－4x＋4>0
C．－x2＋4x－5<0
D．－3x2＋5x－2>0
【解析】选C.不等式2x2－3x－2>0的解集为
，不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}，不等式－x2＋4x－5<0的解集为R，不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.
3．解下列不等式：
(1)求不等式x2＋2x＋9<0的解集；
(2)求不等式－4x2＋18x－≥0的解集；
(3)求不等式3＋5x－2x2≤0的解集．
【解析】(1)因为函数y＝x2＋2x＋9的图象开口朝上，且Δ＝4－36<0，所以不等式x2＋2x＋9<0的解集为?.
(2)原不等式可化为≤0，
所以原不等式的解集为.
(3)不等式3＋5x－2x2≤0可变为－(2x＋1)(x－3)≤0，
所以(2x＋1)(x－3)≥0，所以x≥3或x≤－，
所以该不等式的解集为.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
微提醒：解一元二次不等式时，若二次项系数为负，则应先将二次项系数化为正数再求解．
基础类型二 已知一元二次不等式的解集
求参数问题(逻辑推理)
【典例】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2【解析】方法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
方法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
【解析】由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
所以c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解得－故原不等式的解集为.
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
【解析】因为x2＋ax＋b<0的解集为{x|1所以1，2是x2＋ax＋b＝0的两根．
根据根与系数的关系有得
代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0?(2x－1)(x－1)>0?x<或x>1.
所以bx2＋ax＋1>0的解集为.
【加固训练】
已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求p，q的值并求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
【解析】因为x2＋px＋q＜0的解集为{x|－＜x＜}，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0
即为－x2＋x＋1＞0，
整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
综合类型 解含参数的一元二次不等式(数学运算)
对“两根大小”的讨论
①若0②设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．
【解析】①当0解不等式(x－a)<0，
可得a因此原不等式的解集为.
答案：
②因为a<－1，
所以a(x－a)·<0?(x－a)·>0.
又a<－1，所以>a，所以x>或x因此，原不等式的解集为.
答案：
【加固训练】
解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
【解析】方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则：
当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式解集为?；
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
对“判别式Δ”的讨论
【典例】解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0.
【解析】因为Δ＝4a2－8，所以Δ<0，
即－又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.
当Δ＝0时，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根．
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}．
当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实数，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1综上所述，当－当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当a>或a<－时，
原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
【加固训练】
解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.
【解析】当a＝0时，原不等式等价于3＞0恒成立，
所以x∈R.
当a＞0时，Δ＝(－2a)2－4a(a＋3)＝－12a＜0，不等式解集为R.
当a＜0时，Δ＝－12a＞0，
方程的根为x＝，
即x1＝，x2＝
且x1＜x2，所以＜x＜.
综上所述，当a≥0时，原不等式的解集为R.
当a＜0时，原不等式的解集为
.
对“二次项系数的讨论”
【典例】(2021·荆州高一检测)解关于x的不等式：
(ax－1)(x－1)＞0(a＞0).
【解析】因为a＞0，所以方程(ax－1)(x－1)＝0的两根分别为x1＝，x2＝1.
(1)当0＜a＜1时，＞1，解得x＜1或x＞；
(2)当a＝1时，原不等式即为(x－1)2＞0，解得x≠1；
(3)当a＞1时＜1，解得x＜或x＞1；
综上知，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x<1或x>}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，原不等式的解集为.
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1微提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
【加固训练】
解关于x的不等式ax2－(2＋2a)x＋4＞0.
【解析】(1)当a＝0时，原不等式可化为：x－2＜0.即x＜2.
(2)当a＜0时，＜0＜2，所以＜x＜2.
(3)当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，x≠2.Ｋ
(4)当0＜a＜1时，2＜.所以x＞或x＜2.
(5)a＞1时，2＞，所以x＞2或x＜.
综上可知，不等式的解集为：
a＝0时，{x|x＜2}，
a＜0时，，
a＝1时，{x|x≠2}，
0＜a＜1时，，
a＞1时，.
创新拓展 基本不等式与一元二次不等式的
综合问题(数学抽象)
【典例】已知x>0，y>0，2xy＝x＋4y＋6，求xy的最小值．
【解析】因为2xy＝x＋4y＋6≥4＋6，
即()2－2－3≥0，
所以(＋1)(－3)≥0，
所以≥3，所以xy≥9，
当且仅当x＝4y＝6时等号成立．
所以xy的最小值为9.
应用基本不等式构造关于某代数式的一元二次不等式，通过解一元二次不等式求代数式的取值范围．
创新题型 关于一元二次不等式的新定义
问题(数学运算)
【典例】(2021·北京高一检测)设a，b为实数，定义运算“?”，a?b＝ab＋2a＋b.
(1)计算3?2的值；
(2)求满足x?(x－2)＜0的实数x的取值范围．
【解析】(1)3?2＝3×2＋2×3＋2＝14.
(2)因为x?(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
所以化简得x2＋x－2<0，即(x－1)(x＋2)<0，
所以－2解答此类问题，首先要准确理解新定义，并由此列出不等式，然后解不等式求出有关字母的取值范围．
【加固训练】
对于实数x，当且仅当n≤x)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
【解析】由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，
又当且仅当n≤x)时，[x]＝n，
所以[x]＝2，3，4，5，6，7，
所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}．
答案：{x|2≤x<8}
1．不等式x2－7x<0的解集是( )
A．{x|x<－7或x>0}
B．{x|x<0或x>7}
C．{x|－7D．{x|0【解析】选D.由x2－7x<0知x(x－7)<0，解得02．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|x－n}
C．{x|－nD．{x|m【解析】选C.方程(m－x)(n＋x)＝0的两个根分别为m，－n，
因为m＋n>0，所以m>－n，
结合二次函数y＝(m－x)·(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n3．一元二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是
，则a＋b的值是( )
A．10
B．－10
C．14
D．－14
【解析】选D.方程ax2＋bx＋2＝0的两个根为－和，－＋＝－，－×＝，
所以a＝－12，b＝－2，a＋b＝－14.
4．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．
【解析】由x2－2x－5>2x，
得x2－4x－5>0，
因为x2－4x－5＝0的两根分别为－1，5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．
答案：{x|x>5或x<－1}
5．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1).
【解析】(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，
因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，
所以方程x2－2x＋2＝0无实根，
而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
PAGE第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
基础类型一 解分式不等式(数学运算)
1．不等式≥1的解集是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.不等式≥1，移项得－1≥0，
即≤0，可化为
解得≤x<2，则原不等式的解集为.
2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．{x|x>1或x<－2}
B．{x|1C．{x|x>2或x<－1}
D．{x|－1【解析】选C.x＝1为ax－b＝0的根，所以a－b＝0，
即a＝b.因为ax－b>0的解集为{x|x>1}，所以a>0，
故＝>0，等价为(x＋1)(x－2)>0.
所以x>2或x<－1.
3．已知集合M＝，且－3∈M，则k的取值范围是________．
【解析】因为＞－1?＞0?x(x＋k)＞0，
因为－3∈M，所以(－3)(－3＋k)＞0?k＜3，
所以k的取值范围是{k|k<3}．
答案：{k|k<3}
解分式不等式的策略
(1)对于形如＞0(＜0)的不等式可等价转化为f(x)g(x)＞0(＜0)来解决；对于形如≥0(≤0)的不等式可等价转化为来解决．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
基础类型二 一元二次不等式的
实际应用(数学建模)
【典例】某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距
400
km.该热带风暴中心B以40
km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350
km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
【解析】如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．
因为AB＝400，∠BAx＝30°，
所以热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，
x
h后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处．
由已知，A市受热带风暴影响时，有AP≤350，
即(200)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，
解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，
A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h).
故在3.75
h后A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5
h.
解不等式应用题的步骤
某单位在对一个长800
m、宽600
m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．
【解析】设花坛的宽度为x
m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，
根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600，
整理得x2－700x＋60
000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
由题意知x＞0，所以0＜x≤100.
当x在(0，100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．
【加固训练】
某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
【解析】(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%).
依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).
(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元).
依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得，x2＋40x－84≤0，所以－42≤x≤2.
又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2，
所以x的取值范围是{x|0综合类型 一元二次不等式恒成立问题
(逻辑推理、数学运算)
在R上的恒成立问题
①对?x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．
②对?x∈R，不等式mx2－mx－1>0，求m的取值范围．
【解析】①若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则，解得－4综上，m的取值范围为{m|－4②当m＝0时不等式不成立；
若m≠0，由题意可得解得m∈?，
点拨：这两题貌似相同，区别在于不等号的方向．对于二次项含参数的不等式恒成立问题，首先要考虑二次项系数是否为零，还要特别注意不等号的方向，因为它决定二次项系数的正负问题．
一元二次不等式在R上恒成立问题的解法
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?
【加固训练】
已知命题p:?x∈R,x2-x+a>0,若p是真命题,则实数a的取值范围是
( )
A.B.0C.a≤
D.a≥
【解析】选C.由题意可得,命题“任意实数x,使x2-x+a>0”的否定是存在实数x,使x2-x+a≤0,由命题的否定是真命题,可知Δ=1-4a≥0,所以a≤.
在给定区间上的恒成立问题
【典例】若x∈{x|1【解析】设y＝x2＋mx＋4，图象开口向上，
因为当x∈{x|1解得m≤－5.
在给定区间上的恒成立问题
(1)a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；
(2)a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
创新题型 “新定义”问题(数学运算)
【典例】“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1【解析】由ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1得a＋b＋c＞0的解集为，
即关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为.
参考上述解法：若关于x的不等式＋＜0的解集为
，则关于x的不等式－＞0的解集为( )
A．{x|－1B．
C．
D．
【解析】选B.根据题意，由＋＜0的解集，
得＋＜0的解集为，
即－＞0的解集为.
“新定义”问题，给出一个定义或一种解法，对所给问题进行转化，转化为可以利用这种定义或解法的形式，从而解决问题．
【加固训练】
在R上定义运算:x
y=x(1-y).若不等式(x-a)
(x+a)<1对任意实数x恒成立,则( )
A.-1B.0C.-D.-【解析】选C.依题意得x-a-x2+a2<1恒成立,
即(x-)2+(a+-a2)>0恒成立?a2-a-<0恒成立?-1．不等式≤0的解集是( )
A．{x|x<－1或－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1或x≥2}
D．{x|－1【解析】选D.此不等式等价于所以－12．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集的条件是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.要使关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，
则.
3．不等式＞2的解集是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.不等式＞2，转化为－2>0，
即＝>0，
亦即(x－3)(3x－4)＜0，
解得＜x＜3，
故不等式的解集是.
4．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
即不等式x2＋ax＋4<0有解，
所以Δ＝a2－4×1×4>0，
解得a>4或a<－4.
答案：a>4或a<－4
5．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10
(0【解析】z＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15，t∈N，
所以解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
答案：{t|10≤t≤15，t∈N}
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