高中数学选修2-3第1章1.5.2知能优化训练

[学生用书 P24]
1．C＋C＋…＋C＝________.
解析：C＋C＋…＋C＝＝210.
答案：210
2．(2x＋3y)8中的各项二项式系数的最大值是________，它是二项展开式中的第________项．
解析：∵8为偶数，∴展开式共有9项，中间一项的二项式系数最大，即第5项，C＝＝70.
答案：70　5
3．(x3＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．
解析：因为(x3＋2x)7的展开式中的第4项是T4＝C(x3)4(2x)3＝280x15，故第4项的二项式系数是35(即C)，而第4项的系数是280(即23C)．
答案：35　280
4．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数和为________．
解析：令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
一、填空题
1．若C＋C＋C＋…＋C＝32，则n＝________.
解析：因为C＋C＋C＋C＋…＋C＝2n且C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1，所以2n－1＝32＝25，所以n＝6.
答案：6
2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是第________项．
解析：(x－y)n的展开式中，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5项．
答案：4或5
3.18的展开式中含x15的项的系数为________．(结果用数值表示)
解析：二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx18－rr＝rrCx18－.
令18－＝15，解得r＝2.
∴含x15的项的系数为22C＝17.
答案：17
4．在(x＋y)15的展开式中第七、八、九项的系数分别是a、b、c，则a、b、c的大小关系是________．
解析：由题意展开式共16项，中间两项系数最大为第8项和第9项，所以a答案：a5．5555＋15除以8的余数是________．
解析：5555＋15＝(56－1)55＋15＝C5655－C5654＋…＋C56－C＋15.
容易看出该式中只有－C＋15＝14不能被8整除，因此5555＋15除以8余数为6.
答案：6
6．如果n(n∈N)的展开式中各项系数的和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项应是________．
解析：由题意可得8<2n<32，所以n＝4，故系数最大的项是Cx22＝6x.
答案：6x
7．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.
解析：x8的系数为Ck4＝15k4.
∵15k4<120，∴k4<8.
∵k是正整数，∴k＝1.
答案：1
8．若n的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x的项为________．
解析：由题意知，展开式各项的系数即为各项的二项式系数．
第六项系数最大，即第六项为中间项，故n＝10.
∴通项为Tr＋1＝C·(x3)10－r·()r＝C·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴常数项为T7＝C＝210.
答案：210
9．(2011年高考课标全国卷改编)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．
解析：令x＝1得5＝1＋a＝2，所以a＝1.
∴5展开式中的常数项即为5展开式中的系数与x的系数的和.5展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r·x－r＝C25－rx5－2r·r.
令5－2r＝1，得r＝2，∴5展开式中x的系数为C25－22＝80.令5－2r＝－1，得r＝3，∴5展开式中的系数为C25－3·3＝－40.
∴5展开式中的常数项为80－40＝40.
答案：40
二、解答题
10．已知(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012x2012(x∈R)，求a0＋a1＋a2＋…＋a2012的值．
解：∵(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012x2012，
令x＝1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a2012
＝(1－2)2012＝1.
11．已知：(x＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：令x＝1，
则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n，
又展开式中二项式系数和为2n，
∴22n－2n＝992，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x，
(2)设展开式中第r＋1项系数最大，则
Tr＋1＝C(x)5－r(3x2)r＝3rCx，
∴，∴≤r≤，∴r＝4.
即展开式中第5项系数最大，
T5＝C(x)(3x2)4＝405x.
12．在(－)8的展开式中，
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项；
(4)求系数最小的项．
解：(1)设第r＋1项系数的绝对值最大，
即∴
从而有5≤r≤6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
∴T5＝C()4·4＝＝1120x－6.
(3)由(1)知展开式中的第6项及第7项的系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．
则系数最大的项为T7＝C()2·(－)6
＝＝1792x－11.
(4)系数最小的项为T6＝C()3·5
＝－1792＝－1792x－.
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