梅州中学2020-2021学年高二第二学期数学周考
2021.6
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1.
若实数,满足,则(
)
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
2.
已知某圆柱的轴截面是正方形,且该圆柱的侧面积是,则该圆柱的体积是(
)
A.
B.
C.
D.
3．设是锐角则
（
）
A.
B.
C.
D.
4.
已知平面和两条不同的直线,,则“直线,与平面所成角相等”是“”的(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
5．已知且则等于( )
A．－
B．－7
C．
D．7
6．已知函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于则的单调递增区间是
（
）
A.
B.
C.
D.
7．锐角三角形中分别是三内角的对边设则的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2）
B．（0，2）C．（，2）
D．（，）
8.
如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（
）
（A）
（B）
（C）
(D)
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9.
四张外观相同的奖券让甲,乙,丙,丁四人各随机抽取一张,其中只有一张奖券可以中奖,则(
)
A.
四人中奖概率与抽取顺序无关
B.
在甲未中奖的条件下,乙或丙中奖的概率为
C.
事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥
D.
事件甲中奖与事件乙中奖互相独立
10.
在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则(
)
A.
二项式系数和为64
B.
各项系数和为64
C.
常数项为-135
D.
常数项为135
11.
已知,是两个平面,,是两条直线,则下列结论正确的是()
A.
如果,,那么
B.
如果,,,那么
C.
如果,,那么
D.
如果,且,那么
12.
已知函数,则下列结论正确的是()
A.
的周期为
B.
的图象关于对称
C.
的最大值为
D.
在区间上单调递减
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．已知则____.
14．在中角，，的对边分别是，，，若，则_____
15．已知函数的图象如图所示，则=________.?
16.
在三棱锥中,面面,,,,则三棱锥的外接球的表面积是_____
四、解答题（第17题10分，第18-22题各12分，共6小题70分）
17．已知函数
（1）求函数的单调减区间；
（2）求当时函数的最大值和最小值．
18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班名女同学，名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号
数学成绩
物理成绩
若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取名同学，记名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
19．在中，D为边上一点，，且的面积为．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，二面角为60°，E为PD的中点．
（1）证明：平面PAD．
（2）求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．
21．为了解成都市某区居民对接种新冠疫苗的态度，某机构日前通过社交媒体，进行了问卷调查，结果显示，多达的该区受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了该区1000人进行调查，得到统计数据如下：
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
500
100
600
接种疫苗
总计
800
1000
（1）求列联表中的数据，，，的值，并确定能否有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.
（2）从接种疫苗的人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从4人中随机抽取2人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的2人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，求得分结果总和为11的概率.
附:，
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
22．已知抛物线的焦点为F，直线与y轴交于点M，与抛物线C交于点N.
（1）若且，求抛物线C的方程；
（2）若(定值)，抛物线C上的两个动点E，G满足，求证：直线EG过定点.
试卷第4页，总4页
试卷第1页，总4页2020-2021学年高二第二学期数学周考答案
2021.6
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
B
C
C
D
A
ABC
ABD
AC
ACD
二．填空题
13．
14．
1/3
15．
16．
三．解答题
17．（1）
令，可得
所以函数的单调减区间为
（2）当时，，
所以
即
18.
（1）依据分层抽样的方法，名女同学中应抽取的人数为名，
名男同学中应抽取的人数为名，故不同的样本的个数为；
（2）因为名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为名，所以，随机变量的取值有：、、、，
则，，，
.
所以，随机变量的分布列为
所以，.
19.
（1）由题意，中，D为边上一点，，所以，
因为，且的面积为，
可得，解得，
又因为，所以，
在中，由余弦定理可得
，所以，
又由正弦定理可得，可得.
（2）由（1）知，且为锐角，所以，
所以，，
所以.
20．（1）证明：四边形ABCD为正方形，．
，，
平面PCD．
平面PCD，．
二面角P-AD-B为60°，．
，，为等边三角形．
为PD的中点，．
，平面PAD．
（2）解：过P作，垂足为O，易知O为CD的中点．
平面平面ABCD，
平面平面，平面PDC，
平面ABCD．
设AB的中点为Q，连接OQ，
则，平面PDC．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
正方形ABCD的边长为2，
，，，，，，
，，，
平面PAD，为平面ADE的一个法向量．
设是平面ABE的法向量，
则，令，得．
．
平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为．
21．（1）由题意得：，，
，，
因为.
所以有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.
（2）从接种疫苗的人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，可知4人中无疲乏症状的有3人，记为，有疲乏症状的有1人，记为，从4人中随机抽取2人，总基本事件有：共6件，当这2人中恰有1人有疲乏症状时，得分为11分，记“得分结果总和为11”为事件M，事件M包括了3件基本事件，则.
22．（1）因为，所以直线.
因为抛物线的焦点为F，所以.
因为直线与y轴交于点M，与抛物线C交于点N，所以，.
因为，，所以.
因为，所以，故抛物线C的方程为.
（2）因为，所以.
设，与联立，分别消去x，y得
设，
因为，
则
，
即，亦即，
所以或.
由得，即，显然过定点.
由得，即，恰好过点N，与题设矛盾.
综上，直线EG过定点.
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