2012年中考第一轮复习精品教学案：九、四边形

九、四边形
一、学习目标
1．理解多边形，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念，理解多边形的内角和定理，掌握四边形的内角和和外角和都是360°的性质；
2．了解两点间的距离。点到直线的距离与两条平行线之间的距离及三者之间的联系，了解平行四边形不稳定性的应用，理解两条平行线间的距离概念；
3． 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等概念，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定以及梯形的中位线定理。
二、知识要点
四边形、四边形的内角和与外角和、多边形、多边形的内角和与外角和、平行四边形、平行四边形的性质和判定、两条平行线间的距离，矩形、菱形、正方形、梯形的性质和判定、梯形中位线定理。
三、考点再现
1．（2011广西来宾）如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（ ）
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
2. （2011江苏泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3. （2011辽宁沈阳）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个 B．4个 C． 6个 D．8个
4. （2011四川内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足（ ）条件时，四边形EFGH是菱形．
A．AC=BD B．AC⊥BD C．四边形ABCD 是菱形 D．四边形ABCD 是梯形
5．（2011广西贵港）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则AE的长是（ ）
A． B．C． 1 D．1.5
6. （2011湖北武汉市）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是（ ）
A．40°．　　 B．45°． C．50°．　　 　D．60°．
7．如图所示，菱形中，对角线相交于点，为边中点，菱形的周长为24，则的长等于( )．
A.1 B.2 C.3 D.4
四、典型剖析
例题：（2011广东肇庆）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB＝30，菱形OCED的面积为，求AC的长．
【标准解答】（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO＝OC＝BO＝OD
∴四边形OCED是菱形．
（2）∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°— 30°＝60°
又∵OD＝ OC， ∴△OCD是等边三角形
过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x
在Rt△DFC中，tan 60°＝ ∴DF＝FC tan 60°
由已知菱形OCED的面积为得OC DF＝，即 ，
解得 x＝2， ∴ AC＝42＝8
五、达标训练
（一）选择题
1、如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2.（2011山东聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2
3、（2011内蒙古乌兰察布）如图，已知矩形ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N ，则 M + N 不可能是（ ）
A . 360 B . 540 C. 720 D . 630
4、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2011湖北宜昌）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ).
A. ∠HGF = ∠GHE B. ∠GHE = ∠HEF
C. ∠HEF = ∠EFG D. ∠HGF = ∠HEF
6.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
7、（2011山东烟台）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点. 已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ）
A.8 B.9 C.10 D.12
8、如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．四边形ABEC的形状是（ ）
A. 矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
9、如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，DE：AD=3:5A＝，则下列结论正确的个数有①DE＝3cm;②BE＝1cm;③菱形的面积为15cm2 ④BD＝cm( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
（二）填空题
1、（ 2011年重庆市江津区）在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是___________.
2、（2011辽宁沈阳）如图，在□ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45 ，则∠EDF的度数是___________度。
3、 如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：
①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果且，那么四边形是菱形.
其中，正确的有 .（只填写序号）
4、如图，（2011山东聊城）如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，则AD的长是__________cm．
5、等腰梯形ABCD中，，，则梯形ABCD的周长是 ．
6、一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C 之间的距离）.若AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高_______cm ．
7、如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以
、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推，第六个平行四边形的面积是____________．
8、如图，梯形中，，，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是 ．
（三）解答题
1、（2011广东肇庆）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140，求∠AFE的度数．
2、两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线上左右平移，如图⑵所示.
⑴ 四边形ACFD是平行四边形吗？说明理由;
⑵ 怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形;
3、（2011山东滨州改编）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．
(1)那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
(2) 当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？
4、（2011山东泰安）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，连接AE、AC
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：△AOE∽△COF
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱形。
六、学习感悟
九、四边形 参考答案：
考点再现：D 、C 、B、B、B、C、C.
达标训练：
一、选择 1、 C；2、B；3、D；4、C；5、D；6、A；7、B；8、A；9、C。
二、填空1、 30；2、45°；3、①②③④；4、6；5、17；6、；7、3；8、S22＝S12+S32
三、解答题
1.解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD＝CB，
∵AC是正方形的对角线 ∴∠DCA＝∠BCA
又 CE＝CE ∴△BEC≌△DEC
(2）∵∠DEB＝140
由△BEC≌△DEC可得∠DEC＝∠BEC＝1402＝70，
∴∠AEF＝∠BEC＝70，
又∵AC是正方形的对角线， ∠DAB＝90 ∴∠DAC＝∠BAC＝902＝45，
在△AEF中，∠AFE＝180— 70— 45＝65
2. （1）是
因为△ABC≌△DEF，所以AC=DF,∠ACB=∠DFE，所以AC∥DF，所以四边形ACFD是平行四边形；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四边形ACFD为菱形，则AC=CF，由勾股定理得出AC＝＝＝10cm.所以可将Rt△ABC向左平移10cm或向右平移10cm；
3. 解：（1）当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，
四边形AECF是矩形．
因为CE平分∠BCA，所以∠1=∠2．
又因为MN∥BC，所以∠1=∠3．
所以∠3=∠2，所以EO=CO．
同理，FO=CO．
所以EO=FO．
又OA=OC，所以四边形AECF是平行四边形．
方法一：又因为∠1=∠2，∠4=∠5，
所以∠1+∠5=∠2+∠4．
又因为∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
所以∠2+∠4=90°．
所以四边形AECF是矩形．
方法二：因为EO=CO，FO=CO，OA=OC，所以EO=CO=FO=OA，即AC＝EF．
所以平行四边形AECF是矩形．
(2) 当点O运动到AC的中点（或OA=OC）且∠ACB=90°时，四边形AECF是菱形．
由（1）知，当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是平行四边形．因为MN∥BC∠，ACB=90°，所以MN⊥AC，所以四边形AECF是四边形AECF是菱形．
4. 证明：（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，
∴EC=BE= BC=AD，
又∵AD∥EC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE∥DC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE∽△COF；
（2）连接DE，
∵AD∥BE，AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD= BD= AE，
∴E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF、GE是△CBD的两条中位线，
∴EF= BD=GD，GE= CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四边形EFDG是菱形．
（命题人：仪阳 司强、辛显顺、赵爱华、鹿向明、刘倩）
A
B
C
D
E
F
G 第4题 题题
H
BA
A
CA
DA
OA
第3题图
第5题
A
B
C
D
E
O
B
A
H
C
C
O
第7题图
第6题图
A
B
C
D
A
B
C
D
E
O
A
C
B
D
第3题图
1
2
B
C
D
A
O
第1题图
A
D
E
P
B
C
第6题图
第5题图
A′
G
D
B
C
A
第4题图
A
B
C
D
E
F
第8题图
第9题图
A
B
C
D
E
F
G
第7题图
第4题图
Ａ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
第3题图
A
BA
CA
DA
EA
FA
第2题图
第7题图
A
B
D
C
第8题图
第6题图
1题图
3题图