2012年中考第一轮复习精品教学案：十、相似形

十、相 似 形 （王瓜店中学 郭剑 王艳花）
一、学习目标
1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件；4、了解图形的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题.
二、知识要点
1、比例的基本性质、线段的比、成比例线段；
2、三角形相似的概念和性质，三角形相似的条件；
3、相似多边形的性质；
4、图形的放大与缩小.
三、考点再现
１、（（2011浙江台州）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（ ）
A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:16
2、（2011广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝
A． 7 B． 7.5 C． 8 D． 8.5
3、（2011广东中山）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（ ）
4、（2011湖南怀化）如图3所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为（ ）
A.9 B.6 C.3 D.4
5、（2011浙江省嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）
（A） （B） （C） （D）
6、．（2011浙江省）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）
A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21
四、典例剖析
【例1】（2010 广东）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
求证：△ADF∽△DEC
若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴ ∴ AF=
【例2】（2011四川绵阳）
已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1.
(1)若BD是AC的中线，如图2，求的值；
(2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值；
(3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由.
【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD=x,∵△ABD∽△CDE, ,可得CE= EQ \f(2,)x,所以=
（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=x，AB=x+x,由
勾股定理可知BD= EQ \r(,（4+2）x ) △ABD∽△CDE，,∴EC=,
=2,
(3)由前面两步的结论可以看出，,所以这样的点是存在的，D在AC边的五等分点和点A之间
五、达标训练
(一)、选择题
1．（2011台湾台北）图(十)为一，其中D、E两点分别在、上，且＝31，＝29，＝30，＝32。若，则图中、、、的大小关系，下列何者正确？
A．＞ B．＝ C．＞ D．＝
2（ 2011重庆江津）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )
A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似
3．如图，（2011山东潍坊）如图，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ）
A . 0 个 B.1个 C . 2 个 D.3个
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36 ，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在
下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（ ）.
A．△ABC B．△DAB C．△ADE D．△BDC
5．（2011山东泰安）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是
A.= B.= C. = D.=
6．（2011山东东营）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2011江苏无锡）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下
列结论中一定正确的是 ( )
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．②和④相似
8．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度（ ）.
A．变短3.5米 B．变长1.5米 C．变长3.5米 D．变短1.5米
9．如图，梯形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若SΔAOD：SΔACD=1：4，则SΔAOD：SΔBOC的值为（ ）.
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：1
(二)、填空题 9题
1、（2011江苏苏州）如图，已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.
1题
2、若如图所示的两个四边形相似，则的度数是_________.
3、（2011深圳）.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长 ，面积 ．
4.如图，一油桶高0.8 m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油的高度为_________.
5、（2010兰州） 如上图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.
6．（2010 重庆）已知△与△相似且对应中线的比为，则△与△的周长比为 ．
(三)、解答下列各题
1．（2011杭州）如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。连结EB，过E作EF⊥ AB，交AB的延长线为F。
（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想。
（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比。
2．（2010 台州）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：AB2＝AE AC．
3．（2011河北）如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2；
（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）
4.如图，正方形MNPQ的顶点在三角形ABC的边上，当边BC=a与高AD=h
满足什么条件时，正方形MNPQ的面积是三角形ABC面积的一半？
5．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上
种植花木（如图所示），他们想在地带种植单价为10元/米2的太阳花，
当地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在地带种植
同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
6．（2010江苏淮安）如(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．
(1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；
(2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值
时，S最大；
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如(b)图，若点E与点D同时
出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以
点A．O为对应顶点的情况)：
题6(a)图 题6(b)图
六、学习感悟
十、相似形 参考答案
考点再现：A B A B B B
达标训练
一 D A D B; C; D; B; A; A;
二 1 2. 87°； 3.90,270； 0.64m; 6米; 2:3
三 （1）【答案】解：(1)猜测BE和直线AC垂直 …………1分
证明△AEB≌△CEB(SSS) …………2分
说明EB是∠AEC的平分线，再利用等腰△三线合一即可 …………2分
（2）证明∠EBF=45°即可证明△BEF∽△ABC \…………2分
延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=,
所以
（2）【答案】
证明：（1）在△ADE和△ACD中
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE
∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE
∠ADC＝180°－∠DAE－∠C
∴∠AED=∠ADC
∵∠AED+∠DEC=180°
∠ADB+∠ADC=180°
∴∠DEC=∠ADB
又∵AB=AD
∴∠ADB=∠B
∴∠DEC=∠B
（2）在△ADE和△ACD中
由（1）知∠ADE＝∠C，∠DAE=∠DAE
∴△ADE∽△ACD
∴
即AD2=AE AC
又∵AB=AD
∴AB2＝AE AC
（3）【答案】（1）如下图.
（2）四边形AA′C′C的周长=4+6
（4） 略（5） 略
（6）【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）
（2）当D在OA上运动时，（0＜t＜6）；
当D在AB上运动时，过点O作OE⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E和F，过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，如图：
设D点运动的时间为t秒，所以DA=2t-12，BD=22-2t，
又因为C为OB的中点，
所以BF为△BOE的中位线，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为BN⊥OA，DM⊥OA，
所以△ADM∽△ABN，
所以，
所以，
又因为，
所以，
即（6≤t＜11），
所以当t=6时，△OCD面积最大，为；
当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0（11≤t≤16）.
（3）设当运动t秒时，△OCD∽△ADE，则，即，所以t=3.5；
设当运动t秒时，△OCD∽△AED，则，即，所以，所以，（舍去），
所以当t为3.5秒或秒时两三角形相似.
a
b
c
A
B
C
D
E
F
m
n
（第5题）
35°
75°
75°
70°
(1)
A
B
C
D
O
4
3
6
8
(2)
A
B
C
D
O
①
②⊙o⊙
③⊙o⊙
④⊙o⊙
（第7题）
B′
A′
第6题
-1
x
1
O
-1
1
y
B
A
C
4题
O
D
C
B
A
O
B
N
A
M
8题
EMBED Equation.DSMT4
2题
10米
20米
B
M
D
A