1.1.1集合及其表示方法-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 1.1.1集合及其表示方法-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 811.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-29 00:05:17 | ||
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文档简介
1.1.1集合及其表示方法
1．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
3．若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．连江中全体老师 B．优秀艺术家
C．目前获得诺贝尔奖的公民 D．高中英语的必修课本
5．由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．设集合，，则集合B中元素的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知集合，集合，选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
8．方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合且，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知集合，则实数的取值范围是________．
12．用列举法表示集合________.
13．用列举法表示集合，___________．
14．已知集合，用列举法可表示为_________.
15．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.
16．若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为______ .
17．用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
18．用列举法表示下列集合
（1）{x∈N*|x是15的约数}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}
（5）A＝{x∈N|∈N}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．
19．用列举法把下列集合表示出来：
①A=
②B=
③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
⑤E＝
20．用描述法表示下列集合
（1）小于10的所有有理数组成集合；
（2）所有奇数组成集合；
（3）平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.
21．已知集合，定义集合，求中元素的个数.
22．已知，求中所含元素的个数.
23．是正整数，任取四个正整数，其和组成的集合为，求这五个数.
24．已知由实数构成的集合满足：若，且、0，则．
（1）求证：当时，中还有3个元素；
（2）设、0均不属于，问：非空集合中至少有几个元素？
参考答案
1．C
【分析】先求出集合，再讨论元素包含关系，讨论参数．
【详解】解：因为集合，
所以，
又因为，
则，即
故选：．
【点评】本题考查元素与集合包含关系，属于基础题．
2．A
【分析】根据题设条件，可判断出d（A）的值为1或3，然后研究的根的情况，分类讨论出a可能的取值．
【详解】由题意，，，可得的值为1或3，
若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意
若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．
故选：A．
【点评】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
3．D
【分析】由集合的特征判断集合中元素为整数，，结合元素与集合的关系即可判断
【详解】因为，所以中元素全是整数，因为，所以，
故选：D．
【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，属于基础题
4．B
【分析】根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】根据题意选项A、C、D所述对象均满足集合的三要素：
确定性、互异性和无序性，可构成集合；
而选项B中所述对象不满足确定性，因为什么样的艺术家才算“优秀”，
无法确切界定不能形成集合，故B中对象不能形成集合；
故选：B.
【点评】本题主要考查集合的概念，属于基础题型.
5．A
【分析】分别令、或，再根据集合的互异性即可求解.
【详解】当时，，
当时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性.
所以实数a的值可能为1，只有一个.
故选：A
【点评】本题考查了集合的互异性，考查了基本计算以及基本知识的掌握情况，属于基础题.
6．A
【分析】根据x∈B，－x∈A，可得x只可能是0，－1，－2，－3，逐一检验x的各个可能值，即可得答案.
【详解】因为x∈B，－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，又1－x?A，则
当0∈B时，1－0＝1∈A，不符合题意；
当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A，不符合题意；
当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A，不符合题意；
当－3∈B时，1－(－3)＝4?A，符合题意.
所以，故集合B中元素的个数为1.
故选：A
【点评】本题考查元素与集合的关系，属基础题.
7．C
【分析】集合A为数集，集合B为点集，分别利用元素与集合的关系进行判断.
【详解】因为，所以；又，所以，故C正确.
故选：C
【点评】本题考查判断元素与集合的关系，属于基础题.
8．D
【分析】解出方程组的解，然后用集合表示.
【详解】因为，将代入得，得.
，解得.代入得.
所以方程组的解集.
故选：D.
【点评】本题考查集合的表示，考查用列举法表示方程组解的集合，注意解的表示形式，属于基础题.
9．D
【分析】根据依次可能的取值，且即可求解.
【详解】由题：即取值使，则取值：1,2,3,6
所以的取值：
故选：D
【点评】此题考查根据限制条件求集合中的元素，关键在于根据限制条件不重不漏写出集合中的元素.
10．C
【分析】对由x，y的正负分四种情况去绝对值讨论即可.
【详解】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是.
综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.
故选：C
【点评】本题考查绝对值的运算，属于基础题.
11．
【分析】根据题意可得，解不等式即可得答案；
【详解】，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点评】本题考查集合为空集的概念，属于基础题.
12．
【分析】首先解不等式，再用列举法表示集合即可.
【详解】.
故答案为：
【点评】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题.
13．
【分析】先求解，得集合，然后再列举集合A.
【详解】由可得，因为在内包含的整数由：0,1,2，所以集合.
故答案为：.
【点评】本题考查了用列举法表示集合的形式，属于基础题.
14．
【分析】解方程得或，用列举法表示，即可.
【详解】方程的解为：或
故答案为：
【点评】本题考查集合的表示方法，属于容易题.
15．
【分析】由题意可知，不含“孤立元”的个元素的集合中，集合中的个元素一定是连续的个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.
【详解】由题意可知，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，
故这样的集合有：、、、、、，共个.
故答案为：.
【点评】本题考查集合中的新定义，列举出符合条件的集合是解题的关键，属于中等题.
16．
【分析】不妨设，可得最大、最小元素之差不超过，而所有元素之和大于，得到，列出方程，即可求解.
【详解】不妨设，可得最大、最小元素之差不超过，
而所有元素之和大于，不符合条件，所以，即为最小元素，
于是，解得.
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）用列举法写出小于10的所有自然数即可；
（2）解方程，求出根，即可得出对应集合.
【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么.
（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么.
【点评】本题主要考查了用列举法表示集合，属于基础题.
18．【解析】（1）{1，3，5，15}；（2）{﹣2，4}；（3）{2，4，6，8，10}；（4）{1，2，3，4}；（5）{1，5，7，8}；（6）{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}.
【分析】（1）根据x是15的约数列举；
（2）根据x2﹣2x﹣8＝0的根列举；
（3）根据x为不大于10的正偶数列举；
（4）根据1≤a＜5且a∈N列举；
（5）根据x∈N且∈N列举；
（6）根据|x∈{1，2}，y∈{1，2}列举；
【详解】（1）{x∈N*|x是15的约数}，列举法表示为{1，3，5，15}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}，列举法表示为{﹣2，4}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}，列举法表示为{1，2，3，4}
（5）A＝{x∈N|∈N}，列举法表示为{1，5，7，8}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．列举法表示为{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}
【点评】本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.
19．①A＝{0，6，8}；②B＝{1，3，9}；③C＝{2，5，6}；④D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}；⑤.
【分析】①利用列举法求得集合.
②由①求得集合.
③利用列举法求得集合.
④利用列举法求得集合.
⑤利用列举法求得集合.
【详解】①由9－x＞0可知，取x＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x＝0，6，8时，3，9也是自然数，∴A＝{0，6，8}
②由①知，B＝{1，3，9}．
③∵y＝－x2＋6≤6，而x∈N，y∈N，
∴x＝0，1，2时，y＝6，5，2符合题意．
∴C＝{2，5，6}．
④点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有
∴D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}．
⑤由p＋q＝5，p∈N，q∈N*得，
又∵，∴.
【点评】本小题主要考查列举法表示集合，属于基础题.
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】根据描述法，由题中条件，可逐问写出结果.
【详解】（1）小于10的所有有理数组成集合；
（2）所有奇数组成集合；
（3）平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.
【点评】本题主要考查描述法表示集合，属于基础题型.
21．45.
【分析】根据题意,利用列举法表示出集合,然后根据新定义中集合中元素的构成,用列举法表示即可.
【详解】由题意知,集合,
集合,
，
因为集合,
所以集合，
，
，
，
含有个元素.
【点评】本题考查新定义和集合的表示法;弄清新定义中元素的构成是求解本题的关键;属于中档题.
22．10.
【分析】由集合B中的元素满足的条件,用列举法写出集合B中含有的所有元素即可求解.
【详解】因为集合,
当时,不存在;当时,;当时,;
当时,;当时,;
所以，
所以集合共有10个元素.
【点评】本题考查集合的表示法——列举法;根据集合B中元素需满足条件做到不重不漏一一列举是求解本题的关键;属于中档题.
23．10，11，11，12，13.
【分析】由题意知五个元素中有相同的，且其和为4的倍数推出相等和数为46，从而求出和总和为57，总数减去四个整数的和即为第5个数的值.
【详解】五个数任取四个可以得到五个和值，故必有两个和值相等.而这五个和值之和为，是4的倍数.又，所以这个相等的和值只可能是46，从而，则这五个数分别为，即10，11，11，12，13.
【点评】本题考查对正整数求和的特征掌握及数学转化的思想应用，属于中档题.
24．（1）中还有3个元素是：.证明见解析；（2）至少有个.
【分析】（1）令，代入中计算，再根据，则进行计算即可，注意集合中的元素是互异的；
（2）当、0时，由，则，进行计算即可，注意集合中的元素是互异的.
【详解】（1）若令，则，
此时即有，则，
即，则，
即，则（出现重复元素2，停止计算），
综上，当时，中还有3个元素是：.
（2）当、0时，由，所以，
所以，
所以，
所以（出现重复元素，停止计算），
所以，非空集合中至少有4个元素.
【点评】本题考查学生阅读信息题的能力，同时考查学生的“整体意识”，即把的计算结果也看成是.在计算过程中要注意集合元素的互异性，有重复元素出现时即停止计算.
1．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
3．若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．连江中全体老师 B．优秀艺术家
C．目前获得诺贝尔奖的公民 D．高中英语的必修课本
5．由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．设集合，，则集合B中元素的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知集合，集合，选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
8．方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合且，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知集合，则实数的取值范围是________．
12．用列举法表示集合________.
13．用列举法表示集合，___________．
14．已知集合，用列举法可表示为_________.
15．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.
16．若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为______ .
17．用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
18．用列举法表示下列集合
（1）{x∈N*|x是15的约数}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}
（5）A＝{x∈N|∈N}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．
19．用列举法把下列集合表示出来：
①A=
②B=
③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
⑤E＝
20．用描述法表示下列集合
（1）小于10的所有有理数组成集合；
（2）所有奇数组成集合；
（3）平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.
21．已知集合，定义集合，求中元素的个数.
22．已知，求中所含元素的个数.
23．是正整数，任取四个正整数，其和组成的集合为，求这五个数.
24．已知由实数构成的集合满足：若，且、0，则．
（1）求证：当时，中还有3个元素；
（2）设、0均不属于，问：非空集合中至少有几个元素？
参考答案
1．C
【分析】先求出集合，再讨论元素包含关系，讨论参数．
【详解】解：因为集合，
所以，
又因为，
则，即
故选：．
【点评】本题考查元素与集合包含关系，属于基础题．
2．A
【分析】根据题设条件，可判断出d（A）的值为1或3，然后研究的根的情况，分类讨论出a可能的取值．
【详解】由题意，，，可得的值为1或3，
若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意
若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．
故选：A．
【点评】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
3．D
【分析】由集合的特征判断集合中元素为整数，，结合元素与集合的关系即可判断
【详解】因为，所以中元素全是整数，因为，所以，
故选：D．
【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，属于基础题
4．B
【分析】根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】根据题意选项A、C、D所述对象均满足集合的三要素：
确定性、互异性和无序性，可构成集合；
而选项B中所述对象不满足确定性，因为什么样的艺术家才算“优秀”，
无法确切界定不能形成集合，故B中对象不能形成集合；
故选：B.
【点评】本题主要考查集合的概念，属于基础题型.
5．A
【分析】分别令、或，再根据集合的互异性即可求解.
【详解】当时，，
当时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性.
所以实数a的值可能为1，只有一个.
故选：A
【点评】本题考查了集合的互异性，考查了基本计算以及基本知识的掌握情况，属于基础题.
6．A
【分析】根据x∈B，－x∈A，可得x只可能是0，－1，－2，－3，逐一检验x的各个可能值，即可得答案.
【详解】因为x∈B，－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，又1－x?A，则
当0∈B时，1－0＝1∈A，不符合题意；
当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A，不符合题意；
当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A，不符合题意；
当－3∈B时，1－(－3)＝4?A，符合题意.
所以，故集合B中元素的个数为1.
故选：A
【点评】本题考查元素与集合的关系，属基础题.
7．C
【分析】集合A为数集，集合B为点集，分别利用元素与集合的关系进行判断.
【详解】因为，所以；又，所以，故C正确.
故选：C
【点评】本题考查判断元素与集合的关系，属于基础题.
8．D
【分析】解出方程组的解，然后用集合表示.
【详解】因为，将代入得，得.
，解得.代入得.
所以方程组的解集.
故选：D.
【点评】本题考查集合的表示，考查用列举法表示方程组解的集合，注意解的表示形式，属于基础题.
9．D
【分析】根据依次可能的取值，且即可求解.
【详解】由题：即取值使，则取值：1,2,3,6
所以的取值：
故选：D
【点评】此题考查根据限制条件求集合中的元素，关键在于根据限制条件不重不漏写出集合中的元素.
10．C
【分析】对由x，y的正负分四种情况去绝对值讨论即可.
【详解】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是.
综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.
故选：C
【点评】本题考查绝对值的运算，属于基础题.
11．
【分析】根据题意可得，解不等式即可得答案；
【详解】，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点评】本题考查集合为空集的概念，属于基础题.
12．
【分析】首先解不等式，再用列举法表示集合即可.
【详解】.
故答案为：
【点评】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题.
13．
【分析】先求解，得集合，然后再列举集合A.
【详解】由可得，因为在内包含的整数由：0,1,2，所以集合.
故答案为：.
【点评】本题考查了用列举法表示集合的形式，属于基础题.
14．
【分析】解方程得或，用列举法表示，即可.
【详解】方程的解为：或
故答案为：
【点评】本题考查集合的表示方法，属于容易题.
15．
【分析】由题意可知，不含“孤立元”的个元素的集合中，集合中的个元素一定是连续的个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.
【详解】由题意可知，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，
故这样的集合有：、、、、、，共个.
故答案为：.
【点评】本题考查集合中的新定义，列举出符合条件的集合是解题的关键，属于中等题.
16．
【分析】不妨设，可得最大、最小元素之差不超过，而所有元素之和大于，得到，列出方程，即可求解.
【详解】不妨设，可得最大、最小元素之差不超过，
而所有元素之和大于，不符合条件，所以，即为最小元素，
于是，解得.
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）用列举法写出小于10的所有自然数即可；
（2）解方程，求出根，即可得出对应集合.
【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么.
（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么.
【点评】本题主要考查了用列举法表示集合，属于基础题.
18．【解析】（1）{1，3，5，15}；（2）{﹣2，4}；（3）{2，4，6，8，10}；（4）{1，2，3，4}；（5）{1，5，7，8}；（6）{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}.
【分析】（1）根据x是15的约数列举；
（2）根据x2﹣2x﹣8＝0的根列举；
（3）根据x为不大于10的正偶数列举；
（4）根据1≤a＜5且a∈N列举；
（5）根据x∈N且∈N列举；
（6）根据|x∈{1，2}，y∈{1，2}列举；
【详解】（1）{x∈N*|x是15的约数}，列举法表示为{1，3，5，15}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}，列举法表示为{﹣2，4}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}，列举法表示为{1，2，3，4}
（5）A＝{x∈N|∈N}，列举法表示为{1，5，7，8}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．列举法表示为{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}
【点评】本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.
19．①A＝{0，6，8}；②B＝{1，3，9}；③C＝{2，5，6}；④D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}；⑤.
【分析】①利用列举法求得集合.
②由①求得集合.
③利用列举法求得集合.
④利用列举法求得集合.
⑤利用列举法求得集合.
【详解】①由9－x＞0可知，取x＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x＝0，6，8时，3，9也是自然数，∴A＝{0，6，8}
②由①知，B＝{1，3，9}．
③∵y＝－x2＋6≤6，而x∈N，y∈N，
∴x＝0，1，2时，y＝6，5，2符合题意．
∴C＝{2，5，6}．
④点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有
∴D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}．
⑤由p＋q＝5，p∈N，q∈N*得，
又∵，∴.
【点评】本小题主要考查列举法表示集合，属于基础题.
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】根据描述法，由题中条件，可逐问写出结果.
【详解】（1）小于10的所有有理数组成集合；
（2）所有奇数组成集合；
（3）平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.
【点评】本题主要考查描述法表示集合，属于基础题型.
21．45.
【分析】根据题意,利用列举法表示出集合,然后根据新定义中集合中元素的构成,用列举法表示即可.
【详解】由题意知,集合,
集合,
，
因为集合,
所以集合，
，
，
，
含有个元素.
【点评】本题考查新定义和集合的表示法;弄清新定义中元素的构成是求解本题的关键;属于中档题.
22．10.
【分析】由集合B中的元素满足的条件,用列举法写出集合B中含有的所有元素即可求解.
【详解】因为集合,
当时,不存在;当时,;当时,;
当时,;当时,;
所以，
所以集合共有10个元素.
【点评】本题考查集合的表示法——列举法;根据集合B中元素需满足条件做到不重不漏一一列举是求解本题的关键;属于中档题.
23．10，11，11，12，13.
【分析】由题意知五个元素中有相同的，且其和为4的倍数推出相等和数为46，从而求出和总和为57，总数减去四个整数的和即为第5个数的值.
【详解】五个数任取四个可以得到五个和值，故必有两个和值相等.而这五个和值之和为，是4的倍数.又，所以这个相等的和值只可能是46，从而，则这五个数分别为，即10，11，11，12，13.
【点评】本题考查对正整数求和的特征掌握及数学转化的思想应用，属于中档题.
24．（1）中还有3个元素是：.证明见解析；（2）至少有个.
【分析】（1）令，代入中计算，再根据，则进行计算即可，注意集合中的元素是互异的；
（2）当、0时，由，则，进行计算即可，注意集合中的元素是互异的.
【详解】（1）若令，则，
此时即有，则，
即，则，
即，则（出现重复元素2，停止计算），
综上，当时，中还有3个元素是：.
（2）当、0时，由，所以，
所以，
所以，
所以（出现重复元素，停止计算），
所以，非空集合中至少有4个元素.
【点评】本题考查学生阅读信息题的能力，同时考查学生的“整体意识”，即把的计算结果也看成是.在计算过程中要注意集合元素的互异性，有重复元素出现时即停止计算.