1.2.1常用逻辑用语-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）

1.2常用逻辑用语
1．对于非零复数a，b，下列命题成立的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
2．下列说法正确的是（ ）
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
3．下列命题正确的是（ ）
A．若点为角终边上一点，则
B．同时满足的角有且只有一个
C．当的值恒为正
D．三角方程的解集为
4．以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数，使
5．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是（ ）
A．若方程有实根，则
B．若方程有实根，则
C．若方程没有实根，则
D．若方程没有实根，则
7．在△ABC中，给出下列命题：
①“若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题；
②“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；
③若△ABC是锐角三角形，则sinA＞cosB；
④cosA＋cosB＞0.
则正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
9．设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）
A．原命题与逆命题均为真命题 B．原命题真，逆命题假
C．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为真命题
10．下列命题中错误的是（ ）
A．对于任意向量，有 B．若，则或
C．对于任意向量，有 D．若共线，则
11．若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______.
12．设常数，命题“存在，使”为假命题，则a的取值范围为_________.
13．若“使得”是假命题，则实数的取值范围为________.
14．有下列四个命题：①若“,则互为倒数的逆命题；②面积相等的三角形全等的否命题；③“若,则有实数解”的逆否命题；④“若,则”的逆否命题.其中真命题为_____
15．命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是______．
16．对于，有如下命题：
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为钝角三角形．
若，则一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是______ 把所有正确的命题序号都填上
17．已知集合且.
（1）若“命题”是真命题，求的取值范围.
（2）“命题”是真命题，求的取值范围
18．命题:,成立；命题:,成立.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围；
(2)若命题为真命题,求实数的取值范围；
(3)若命题?至少有一个为真命题,求实数的取值范围.
19．判断下列命题的真假：
（1）如果，则；（2）如果，则；
（3）如果，则.
20．将下列性质定理写成“若，则”的形式，并用必要条件的语言表述：
（1）平面四边形的外角和为；
（2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等.
21．（1）：，，若为真命题，求的取值范围；
（2）：，，若为真命题，求的取值范围.
22．已知命题：，恒成立；命题：，.
（1）若是真命题，求的取值范围；
（2）若、一真一假，求的取值范围.
23．已知命题p：若关于x的方程x2＋2mx－4m－3＝0无实数根，则－3＜m＜－1；命题q：若关于x的方程x2＋tx＋1＝0有两个不相等的正实数根，则t＜－2.
(1)写出命题p的否命题r，并判断命题r的真假；
(2)判断命题“p且q”的真假，并说明理由．
24．给定两个命题，对任意实数都有恒成立；关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
25．命题：已知为实数，若关于的不等式有非空解集，则，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.
26．已知p：方程有两个不相等的负实数根；q：方程无实数根．若p为假命题，q为真命题，求实数m的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】对选项A、C分别举出特例，对D直接根据复数不能比较大小进行判断.
【详解】对于A，当时，，故A不成立；
对于B，易知对于非零复数a，b仍然成立；
对于C，当，时，，但，故C不成立；
对于D，复数不能比较大小，故D不成立.
故选：B.
【点评】本题考查复数的概念及其运算律，考查运算求解能力，属于基础题.
2．D
【分析】将其改写为“若p，则q”的形式，从而判断A；根据命题的定义判断B；举反例判断C，D；
【详解】对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”，则A错误；
对于B，所给语句是命题，则B错误；
对于C，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C错误；
对于D，当时，，方程x2－4x＋a＝0无实根，则D正确；
故选：D
【点评】本题主要考查了命题的概念以及判断命题的真假，属于中档题.
3．D
【分析】①由三角函数的定义进行判断；②根据三角函数的性质进行判断；③根据反三角函数的性质进行判断；④根据正切函数的性质进行求解即可
【详解】①若点为角终边上一点，则，则，若,得，若，则,故①错误；
②同时满足，的角，，有无数多个，故②错误；③当时，，所以，故③错误；
④方程，则，即，即方程的解集为，故④正确，
故答案为:D
【点评】本题考查三角函数的基础知识，命题的判断，属于基础题
4．B
【分析】由题意逐一考查所给的命题是否是存在量词命题和真命题即可.
【详解】逐一考查所给的命题：
A选项为全称量词命题，且所给的命题为假命题；
B选项为存在量词命题，且所给的命题为真命题；
C选项为全称量词命题，取，则为有理数，所给的命题为假命题；
D选项为存在量词命题，若，则，所给的命题为假命题.
故选B.
【点评】本题主要考查命题真假的判定，全称命题、存在命题的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．A
【分析】依题意写出命题的否定，即解集非空，，结合二次函数的性质求解．
【详解】“”是假命题，
则成立，
即不等式解集非空，
即解集非空，
则或，解得，
故选A.
【点评】本题考查全称命题的否定及一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．
6．D
【解析】【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可.
【详解】“”的否定是“”，
“方程有实根”的否定是“方程没有实根”，
因此原命题的逆否命题是“若方程没有实根，则”，
故选D．
【点评】该题考查的是有关写出命题的逆否命题的问题，在解题的过程中，注意原命题与逆否命题之间的关系，原命题确定之后，其逆否命题的形式，属于简单题目.
7．D
【分析】根据正弦定理可知①命题的真假；命题②的真假可由余弦函数的单调性判断；命题③的真假可由锐角三角形两角和的关系判断；命题④可根据和差化积公式判断真假.
【详解】解：∵在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件，
∴“若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题．
∵A，B都在(0，π)内，余弦函数在该区间是单调递减函数，
∴A＞B是cosA＜cosB的充要条件．
∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B＞，∴A＞－B
∴，∴sinA＞cosB
∵.
∴＞0，综上，四个命题均正确.
故选D.
【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用，解题关键是根据三角函数的相关公式对命题真假进行判断.
8．A
【解析】试题分析：由为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若为递减数列，则，；若为递减数列，则，即，所以逆命题为真；否命题：若，，则不为递减数列；由不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题.
故选A.
考点：命题及命题的真假.
9．B
【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真.
【详解】原命题的逆否命题为：若中没有一个大于等于1，则，
等价于“若，则”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；
原命题的逆命题为：“若中至少有一个不小于1，则”，取则中至少有一个不小于1，但，所以原命题的逆命题不正确.
【点评】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.
10．B
【解析】分析：先根据向量加法法则以及向量数量积定义说明A，C,D正确，再举反例说明B错误.
详解：根据向量加法法则以及三角形三边大小关系得，
因为，所以
因为，共线时，所以，
因为，所以B错误.
选B.
点睛：向量中不等式关系：.
11．；
【分析】根据命题为假得到恒成立，计算得到答案.
【详解】命题“，”为假命题，故恒成立.
，故.
故答案为：.
【点评】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的推断能力.
12．
【分析】将条件转化为任意，恒成立，此时有，从而解出实数a的取值范围.
【详解】命题：“存在，使”为假命题，
即恒成立，必须，
即：，解得，
故实数a的取值范围为，
故答案为：.
【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.
13．
【分析】根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可.
【详解】因为“使得”是假命题,
所以其否定:“,”是真命题,
又时,,
所以,
故答案为:.
【点评】本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等.
14．①②④
【分析】逐个对每个命题真假性进行判断即可
【详解】对于①“若，则互为倒数”的逆命题；即为若互为倒数，则，成立．
对于②“面积相等的三角形全等”的否命题是：面积不等的三角形不全等，成立．
对于③“若，则方程有实根”的逆否命题的真值即为原命题的真值，而原命题中，方程有实根,，因此条件和结论不相同，不成立．
对于④“若，则”的逆否命题的真值即为原命题的真值，由于，故正确．
正确的命题为：①②④
【点评】命题的真假性判断中，原命题和逆否命题同真同假．命题的否定为条件和结论同时否定．
15．
【分析】按照命题甲为真，命题乙为真，得到对应的的取值范围，然后由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，分为甲真乙假和甲假乙真两种情况进行讨论，得到答案.
【详解】命题甲：集合为空集，
即方程没有实数解，
当时，方程变为，故无解，符合题意
当时，，即，
综上命题甲为真，则.
命题乙：关于的不等式的解集为
则，解得，
所以命题乙为真，则，
因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题，
所以当甲真乙假时，得，此时，
当甲假乙真时，得，即
综上所述，的取值范围为.
【点评】本题考查复合命题的真假，二次函数的性质和分类讨论的思想，属于中档题.
16．，，
【分析】三角形中首先想到内角和为，每个内角都在内，然后根据每一个命题的条件进行判定
【详解】或，为等腰或直角三角形
正确；
由可得
由正弦定理可得
再由余弦定理可得，为钝角，命题正确
全为锐角，命题正确
故其中正确命题的序号是，，
【点评】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为，然后代入化简
17．（1）；（2）.
【分析】先解不等式对进行化简得.
(1)由是真命题可得，从而可列出关于的不等式，进而可求的取值范围.
(2) 由为真，得，从而可列出关于的不等式，进而可求的取值范围.
【详解】解：解得，则，
（1）“命题”是真命题，，
，解得
（2），，；由为真，则，
，.
【点评】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了由集合的关系求参数的取值范围.
18．（1）；（2）或；（3）或
【分析】（1）只需恒成立,即可；
（2）只需即可；
（3）只需（1）（2）两种情况实数的取值范围的并集即可.
【详解】解:(1)若命题为真命题,则恒成立,因此,解得.
因此实数的取值范围是；
(2)若命题为真命题,则,即,
解得或.
因此实数的取值范围是或；.
(3)若命题?至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得：
或或，
所以实数的取值范围是或.
【点评】此题考查根据命题的真假性求参数的范围，涉及全称命题和特称命题真假性的判断，关键在于准确判断并求出不等式的解集.
19．（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.
【分析】（1）等式左右同时加上1，化简得到答案.
（2）等式左右同时减去1，化简得到答案.
（3）设，，代入化简得到答案.
【详解】（1）如果，则；
，真命题；
（2）如果，则；
，真命题；
（3）如果，则.
设， ，
故，真命题；
【点评】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.
20．（1）若平面多边形是四边形，则它的外角和为，“外角和为”是“平面多边形是四边形”的必要条件；
（2）在平面直角坐标系中，若两个点关于轴对称，则两个点的横坐标相等，“两个点的横坐标相等”是“两个点关于轴对称”的必要条件.
【分析】先把原命题改造成“若p则q”形式，然后再改成必要条件的形式．
【详解】（1））平面四边形的外角和为，写成“若，则”的形式：若平面多边形是四边形，则它的外角和为，“外角和为”是“平面多边形是四边形”的必要条件；
（2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等，写成“若，则”的形式：在平面直角坐标系中，若两个点关于轴对称，则两个点的横坐标相等，“两个点的横坐标相等”是“两个点关于轴对称”的必要条件.
【点评】本题主要考查命题及必要条件，属基础题.
21．（1）；（2）
【分析】（1）依题意得，对恒成立，对分类讨论即可；
（2）先写出命题，从而有对恒成立，对分类讨论即可．
【详解】解：（1）依题意得，对恒成立，
当时，不等式为，解集不是，不符合题意；
当时，有即，，
因此的取值范围是；
（2）依题意得，：，，为真命题，即对恒成立，
当时，不等式为，解集不是，不符合题意；
当时，有即，
，
故的取值范围是．
【点评】本题主要考查根据命题的真假性求参数的取值范围，考查含参的一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．
22．（1）；（2）．
【分析】（1）由题意得对恒成立，根据基本不等式即可得出结论；
（2）若为真命题，则，求出的取值范围，再分类讨论求出答案．
【详解】解：（1）当时，，
又，当且仅当即时取等号，
的最小值为2，
依题意得，即，
综上：的取值范围是；
（2）假设为真，可得，即，解得或，
由（1）知，当为真时，，
、一真一假，
当真假时，的取值范围是；
当假真时，的取值范围是；
综上：的取值范围是．
【点评】本题主要考查根据命题的真假性求参数的取值范围，考查含参的一元二次不等式恒成立、能成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）若命题p为真命题，解得实数m的取值范围，对其求补集.
（2）命题“p且q”为真，需要p，q都是真命题，当p，q一真一假或都假时，则“p且q”为假．
【详解】(1)命题p的否命题r：若关于x的方程x2＋2mx－4m－3＝0有实数根，则m≤－3或m≥－1.
∵关于x的方程x2＋2mx－4m－3＝0有实数根，∴Δ≥0.
∵Δ＝(2m)2－4×(－4m－3)＝4m2＋16m＋12≥0，化简，得m2＋4m＋3≥0.
解得m≤－3或m≥－1.
∴命题r为真命题．
(2)对于命题p：若关于x的方程x2＋2mx－4m－3＝0无实数根，
则Δ＝(2m)2－4×(－4m－3)＝4m2＋16m＋12＜0.
化简，得m2＋4m＋3＜0.解得－3＜m＜－1.
∴命题p为真命题．
对于命题q：关于x的方程x2＋tx＋1＝0有两个不相等的正实数根，有，解得t＜－2.
∴命题q为真命题．
∴命题“p且q”为真命题．
【点评】本题考查四种命题关系及复合命题真假的判断，属于基础题.
24．
【分析】先根据命题均为真命题时，求出对应的取值范围，再根据与一真一假讨论即可得答案.
【详解】解：对于命题，若，显然满足，若，则且，即所以当命题为真命题时，实数的取值范围为；
对于命题，根据题意得，解得，
所以当命题为真命题时，实数的取值范围为.
由于与中有且仅有一个为真命题，
所以当真假时，实数的取值范围为；
当假真时，实数的取值范围为.
综上，实数的取值范围是
【点评】本题考查根据命题真假求参数的求值范围，涉及一元二次不等式恒成立等，考查分类讨论思想和运算能力，是中档题.
25．见解析
【详解】逆命题：已知为实数，若，则关于的不等式有非空解集.
否命题：已知为实数，若关于的不等式没有非空解集，则.
逆否命题：已知为实数，若，则关于的不等式没有非空解集.
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
26．
【分析】根据零点范围问题方法列式求解中的范围,再根据判别式求解中的范围.再根据p为假命题,q为真命题,求对应和中m的取值范围取交集即可.
【详解】若方程有两个不相等的负实数根,
则
解得．
若方程无实数根,
则,解得．
∵p为假命题,q为真命题,
∴
∴．
故实数m的取值范围是．
【点评】本题主要考查二次函数零点问题与命题的真假性,属于中等难度问题.