2.1.1等式的性质与方程的解集-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.1.1等式的性质与方程的解集-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 930.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-29 00:08:16 | ||
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文档简介
2.1.1等式的性质与方程的解集
-高中数学人教B版（2019）必修第一册同步提高练习
1．多项式的一个因式为（ ）
A． B． C． D．
2．设，，对于任意，则M，N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不一定
3．现定义运算“★”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ）
A．3或 B．或1 C． D．
4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ）
A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤
5．关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m的值应为（ ）
A．2 B．-2
C．2或-2 D．1
6．若实数、满足，，则的值是（ ）
A． B．2 C．2或 D．
7．如果集合只有一个元素，则的值是（ ）
A． B．或 C． D．或
8．已知集合，则满足的集合的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
9．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
11．若a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是_____．
12．若集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合是_______.
13．分解因式时，甲看错的值，分解的结果是，乙看错的值，分解的结果是，则________.
14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正整数根，则整数的值是_______.
15．某同学在做作业时发现：方程（ ）不能求解了，因为（ ）处的数字在印刷时被污迹盖住了，经过翻看后面的答案，知道该方程的解为，该同学很快就知道了被污迹盖住的数字.则将该方程复原出来应为______.
16．若，且x＋y＋z＝102，则x＝________.
17．已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求m的值及这个方程的另一个根.
18．已知关于x的方程的解为正整数，求实数a的取值集合.
19．已知：集合，若，求的值.
20．已知关于x的方程与有相同的解集，求a的值及方程的解集.
21．已知，，求代数式的值.
22．已知关于x的方程的解集为R，求a，b的值.
23．已知关于x的方程的解集为，求a的值.
24．已知，求的值.
参考答案
1．B
【分析】将多项式因式分解，由此确定正确选项.
【详解】依题意，所以多项式的因式为，.
故选：B
【点评】本小题主要考查多项式因式分解，属于基础题.
2．A
【分析】结合两数和的立方公式和基本不等式，利用作差法比较大小．
【详解】解：
.
∵，
∴，
∴.
故选：A．
【点评】本题主要考查作差法比较大小，考查基本不等式的应用，考查两数和的立方公式，属于中档题．
3．A
【分析】根据新定义运算列方程，解一元二次方程求得实数的值.
【详解】对于任意实数、，都有，，，
，，因式分解得，，；
故选A
【点评】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查一元二次方程的解法，属于基础题.
4．C
【分析】设总共持金斤,再根据题意列式求解即可.
【详解】设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可.
由题得.
即
故选：C
【点评】本题主要考查了方程列式求解的方法,属于基础题型.
5．B
【分析】将一元二次方程的根代入方程，结合二次项系数不为，可求出m的值．
【详解】∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，
∴m2-4=0且m-2≠0， 解得m=-2.
故选：B.
【点评】本题考查一元二次方程的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
6．C
【分析】当时，计算出所求表达式的值为，当时，根据已知可知是方程的解，由此写出根与系数关系，化简所求表达式，由此求得表达式的值.进而求得正确选项.
【详解】①当时，；
②当时，因为实数、满足，所以、可看成是方程的解，所以，.
，
把，代入得.
综上，的值为2或.
故选C.
【点评】本小题主要考查根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
7．D
【分析】由题意得知关于的方程只有一个实数解，分和两种情况讨论，可得出实数的值.
【详解】由题意得知关于的方程只有一个实数解.
当，，合乎题意；
当时，则，解得.
综上所述：或，故选D.
【点评】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.
8．B
【解析】结合题意可得：，，
令，集合为集合的子集，则，
结合子集个数公式可得，集合的个数为个.
本题选择B选项.
9．D
【详解】求解一元二次方程，得
，易知.
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.
【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
10．B
【分析】利用根与系数关系列方程，通过解方程求得的所有可能取值，由此得出正确选项.
【详解】根据题意得，①，②，③，④，
由②、④可得，解得或，即或.
由①、②、③可得，即.
当时，，解得或，
即或把它们代入原方程的判别式中可知符合题意；
当时，，解得或，即或
把它们代入原方程的判别式中可知不合题意，舍去.所以数对的个数是3，
故选B.
【点评】本小题主要考查根与系数关系，考查方程的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
11．9或﹣3
【分析】根据完全平方式中间项系数的特点即可求解.
【详解】∵a2+（k-3）a+9是一个完全平方式，
∴k-3=±6，
解得：k=9或-3，
故答案为9或-3
【点评】本题主要考查了完全平方式的知识，属于基础题.
12．
【分析】根据集合只有一个真子集，判断出集合中只有个元素.根据二次项系数或两种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值集合.
【详解】由集合有且仅有1个真子集可得中含有1个元素，当时，，
符合题意；当时，，解得或.所以实数的取值集合是
故答案为
【点评】本小题主要考查根据集合真子集的个数判断集合元素的个数，考查方程有一个解的条件，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
13．-7
【分析】根据甲的分解结果求得，根据乙的分解结果求得，由此求得的值.
【详解】甲分解因式得，
甲看错的值，.
乙分解的因式得，乙看错的值，.
.
故答案为-7
【点评】本小题主要考查多项式乘法展开运算，属于基础题.
14．
【分析】首先判断，然后根据判别式为正数，求得且，利用根与系数关系，结合为整数、两个根为不相等的正整数根，求得的值.
【详解】方程是关于的一元二次方程，.
，
当时方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根.
方程有两个不相等的正整数根，且.
设方程的两个根分别为、，，，
、均为正整数，为正整数，为整数，且，.
故答案为
【点评】本小题主要考查根据一元二次方程的根求参数的值，考查根与系数关系，属于基础题.
15．
【分析】设被污迹盖住的数字为，将代入原方程，由此求得的值，并将该方程复原出来.
【详解】设被污迹盖住的数字为，则原方程为，把代入方程，得，
解得，所以将该方程复原出来为.
故答案为
【点评】本小题主要考查待定系数法求方程的表达式，属于基础题.
16．26
【分析】根据题意列方程组，解方程组求得的值.
【详解】由已知得
由①得，④
由②得，⑤
把④⑤代入③并化简，得12x－6＝306，
解得x＝26.
故答案为：
【点评】本小题主要考查方程组的解法，属于基础题.
17．（1）（2）m=3，方程的另一根为4
【分析】(1)解不等式即得解；（2）先根据已知求出m的值，再解方程求方程的另外一个根.
【详解】(1)由题意得，所以，解得.
(2)由(1)可知k=2，
所以方程的根.
∴方程的一个根为2，
∴，解得m=3.
∴方程，
解得或.
所以方程的另一根为4.
【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况的判定，考查一元二次方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．a的取值集合为
【分析】由题意得，再对分类讨论即可得出结论．
【详解】解：因为方程的解为正整数，可先将方程的解用含a的代数式表示出来，由，去括号得，移项得，整理得.
①当时，方程无解；
②当时，，要使解为正整数，则为正整数，即为8的正因数，所以为1或2或4或8，得a为3或2或0或，即a的取值集合为.
【点评】本题主要考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题．
19．
【分析】先解方程得集合A，再根据集合包含关系确定方程解的情况，最后解得结果.
【详解】
当时，，满足；
当时，，由得；
综上可得
【点评】本题考查集合包含关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．，方程的解集为
【分析】先分别解出两个方程，再根据集合相等求出答案．
【详解】解：方程化为，
整理，得，解得.
方程化为,
整理，得，解得.
由题意，得，解得，所以.
综上，，方程的解集为.
【点评】本题主要考查根据集合相等求参数的值，考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题．
21．
【分析】分解因式，再代值计算．
【详解】解：.
【点评】本题主要考查多项式的求值，通常先分解因式，属于基础题．
22．
【分析】原方程化为，得且，解出即可．
【详解】解：原方程化为，
当且，即时，方程的解集为R.
【点评】本题主要考查根据一元一次方程的解集求参数的值，属于基础题．
23．
【分析】移项合并同类项得，再对分类讨论即可得出解集．
【详解】解：原方程化为，
当且时，即时，方程的解集为.
【点评】本题主要考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题．
24．
【分析】直接利用立方和公式求值．
【详解】解：
.
【点评】本题主要考查立方和公式的应用，属于基础题．
-高中数学人教B版（2019）必修第一册同步提高练习
1．多项式的一个因式为（ ）
A． B． C． D．
2．设，，对于任意，则M，N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不一定
3．现定义运算“★”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ）
A．3或 B．或1 C． D．
4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ）
A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤
5．关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m的值应为（ ）
A．2 B．-2
C．2或-2 D．1
6．若实数、满足，，则的值是（ ）
A． B．2 C．2或 D．
7．如果集合只有一个元素，则的值是（ ）
A． B．或 C． D．或
8．已知集合，则满足的集合的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
9．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
11．若a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是_____．
12．若集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合是_______.
13．分解因式时，甲看错的值，分解的结果是，乙看错的值，分解的结果是，则________.
14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正整数根，则整数的值是_______.
15．某同学在做作业时发现：方程（ ）不能求解了，因为（ ）处的数字在印刷时被污迹盖住了，经过翻看后面的答案，知道该方程的解为，该同学很快就知道了被污迹盖住的数字.则将该方程复原出来应为______.
16．若，且x＋y＋z＝102，则x＝________.
17．已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求m的值及这个方程的另一个根.
18．已知关于x的方程的解为正整数，求实数a的取值集合.
19．已知：集合，若，求的值.
20．已知关于x的方程与有相同的解集，求a的值及方程的解集.
21．已知，，求代数式的值.
22．已知关于x的方程的解集为R，求a，b的值.
23．已知关于x的方程的解集为，求a的值.
24．已知，求的值.
参考答案
1．B
【分析】将多项式因式分解，由此确定正确选项.
【详解】依题意，所以多项式的因式为，.
故选：B
【点评】本小题主要考查多项式因式分解，属于基础题.
2．A
【分析】结合两数和的立方公式和基本不等式，利用作差法比较大小．
【详解】解：
.
∵，
∴，
∴.
故选：A．
【点评】本题主要考查作差法比较大小，考查基本不等式的应用，考查两数和的立方公式，属于中档题．
3．A
【分析】根据新定义运算列方程，解一元二次方程求得实数的值.
【详解】对于任意实数、，都有，，，
，，因式分解得，，；
故选A
【点评】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查一元二次方程的解法，属于基础题.
4．C
【分析】设总共持金斤,再根据题意列式求解即可.
【详解】设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可.
由题得.
即
故选：C
【点评】本题主要考查了方程列式求解的方法,属于基础题型.
5．B
【分析】将一元二次方程的根代入方程，结合二次项系数不为，可求出m的值．
【详解】∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，
∴m2-4=0且m-2≠0， 解得m=-2.
故选：B.
【点评】本题考查一元二次方程的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
6．C
【分析】当时，计算出所求表达式的值为，当时，根据已知可知是方程的解，由此写出根与系数关系，化简所求表达式，由此求得表达式的值.进而求得正确选项.
【详解】①当时，；
②当时，因为实数、满足，所以、可看成是方程的解，所以，.
，
把，代入得.
综上，的值为2或.
故选C.
【点评】本小题主要考查根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
7．D
【分析】由题意得知关于的方程只有一个实数解，分和两种情况讨论，可得出实数的值.
【详解】由题意得知关于的方程只有一个实数解.
当，，合乎题意；
当时，则，解得.
综上所述：或，故选D.
【点评】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.
8．B
【解析】结合题意可得：，，
令，集合为集合的子集，则，
结合子集个数公式可得，集合的个数为个.
本题选择B选项.
9．D
【详解】求解一元二次方程，得
，易知.
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.
【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
10．B
【分析】利用根与系数关系列方程，通过解方程求得的所有可能取值，由此得出正确选项.
【详解】根据题意得，①，②，③，④，
由②、④可得，解得或，即或.
由①、②、③可得，即.
当时，，解得或，
即或把它们代入原方程的判别式中可知符合题意；
当时，，解得或，即或
把它们代入原方程的判别式中可知不合题意，舍去.所以数对的个数是3，
故选B.
【点评】本小题主要考查根与系数关系，考查方程的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
11．9或﹣3
【分析】根据完全平方式中间项系数的特点即可求解.
【详解】∵a2+（k-3）a+9是一个完全平方式，
∴k-3=±6，
解得：k=9或-3，
故答案为9或-3
【点评】本题主要考查了完全平方式的知识，属于基础题.
12．
【分析】根据集合只有一个真子集，判断出集合中只有个元素.根据二次项系数或两种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值集合.
【详解】由集合有且仅有1个真子集可得中含有1个元素，当时，，
符合题意；当时，，解得或.所以实数的取值集合是
故答案为
【点评】本小题主要考查根据集合真子集的个数判断集合元素的个数，考查方程有一个解的条件，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
13．-7
【分析】根据甲的分解结果求得，根据乙的分解结果求得，由此求得的值.
【详解】甲分解因式得，
甲看错的值，.
乙分解的因式得，乙看错的值，.
.
故答案为-7
【点评】本小题主要考查多项式乘法展开运算，属于基础题.
14．
【分析】首先判断，然后根据判别式为正数，求得且，利用根与系数关系，结合为整数、两个根为不相等的正整数根，求得的值.
【详解】方程是关于的一元二次方程，.
，
当时方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根.
方程有两个不相等的正整数根，且.
设方程的两个根分别为、，，，
、均为正整数，为正整数，为整数，且，.
故答案为
【点评】本小题主要考查根据一元二次方程的根求参数的值，考查根与系数关系，属于基础题.
15．
【分析】设被污迹盖住的数字为，将代入原方程，由此求得的值，并将该方程复原出来.
【详解】设被污迹盖住的数字为，则原方程为，把代入方程，得，
解得，所以将该方程复原出来为.
故答案为
【点评】本小题主要考查待定系数法求方程的表达式，属于基础题.
16．26
【分析】根据题意列方程组，解方程组求得的值.
【详解】由已知得
由①得，④
由②得，⑤
把④⑤代入③并化简，得12x－6＝306，
解得x＝26.
故答案为：
【点评】本小题主要考查方程组的解法，属于基础题.
17．（1）（2）m=3，方程的另一根为4
【分析】(1)解不等式即得解；（2）先根据已知求出m的值，再解方程求方程的另外一个根.
【详解】(1)由题意得，所以，解得.
(2)由(1)可知k=2，
所以方程的根.
∴方程的一个根为2，
∴，解得m=3.
∴方程，
解得或.
所以方程的另一根为4.
【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况的判定，考查一元二次方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．a的取值集合为
【分析】由题意得，再对分类讨论即可得出结论．
【详解】解：因为方程的解为正整数，可先将方程的解用含a的代数式表示出来，由，去括号得，移项得，整理得.
①当时，方程无解；
②当时，，要使解为正整数，则为正整数，即为8的正因数，所以为1或2或4或8，得a为3或2或0或，即a的取值集合为.
【点评】本题主要考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题．
19．
【分析】先解方程得集合A，再根据集合包含关系确定方程解的情况，最后解得结果.
【详解】
当时，，满足；
当时，，由得；
综上可得
【点评】本题考查集合包含关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．，方程的解集为
【分析】先分别解出两个方程，再根据集合相等求出答案．
【详解】解：方程化为，
整理，得，解得.
方程化为,
整理，得，解得.
由题意，得，解得，所以.
综上，，方程的解集为.
【点评】本题主要考查根据集合相等求参数的值，考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题．
21．
【分析】分解因式，再代值计算．
【详解】解：.
【点评】本题主要考查多项式的求值，通常先分解因式，属于基础题．
22．
【分析】原方程化为，得且，解出即可．
【详解】解：原方程化为，
当且，即时，方程的解集为R.
【点评】本题主要考查根据一元一次方程的解集求参数的值，属于基础题．
23．
【分析】移项合并同类项得，再对分类讨论即可得出解集．
【详解】解：原方程化为，
当且时，即时，方程的解集为.
【点评】本题主要考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题．
24．
【分析】直接利用立方和公式求值．
【详解】解：
.
【点评】本题主要考查立方和公式的应用，属于基础题．