1.2.3充分条件、必要条件-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）

1.2.3充分条件、必要条件
1．已知点在椭圆：上，直线：，则“”是“点到直线的距离的最小值是”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．以下说法错误的是（ ）
A．若为假命题，则均为假命题．
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．命题“若则”的逆否命题为“若，则”．
D．若命题p:R，使得则R，则．
4．设i为虚数单位,,“复数是纯虚数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若为实数，则“”是“”的（ ）.
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．设为复数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则“，且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知非零向量、、，则“”是“、、可构成三角形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
10．已知直线和，则“”是“直线的法向量是直线的方向向量”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
11．命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）是命题q：x2+3x﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____.
12．设计如图所示的三个电路图，条件“开关闭合”；条件“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是________.
13．已知，.“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是___________.
14．设分别是的三个内角所对的边，则是的______条件．
15．函数和都不是常值函数且定义域为R，则“和同是奇函数或同是偶函数”是“和的积是偶函数”的_______________条件．
16．记集合，当时，函数的值域为B，若“”是“”的必要条件，则的最小值是______.
17．已知，，其中.
（1）若且为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
18．设是的充分非必要条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的什么条件？
19．已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
20．求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是．
21．已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.
（1）若为假命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.
22．已知命题：“，使等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围.
23．已知A＝{x|x2﹣6x+8≤0}，B＝{x| ≥0}，C＝{x|x2﹣mx+6＜0}且“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
24．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.
25．设证明:的充要条件是.
26．已知集合，，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】“点到直线的距离的最小值是”解得：，即可判断.
【详解】点在椭圆：上，直线：，
考虑“点到直线的距离的最小值是”
设，
点到直线的距离
点到直线的距离的最小值是，即的最小值，
所以符号恒正或恒负，
当时，，
当时，，
综上所述：.
所以“”是“点到直线的距离的最小值是”的充分不必要条件.
故选：B
【点评】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围.
2．D
【分析】先求出在上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案.
【详解】由已知，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调，则或，
故在上不单调时，a的范围为，
A?B是必要不充分条件，C是充要条件，D是充分不必要条件.
故选：D.
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.
3．A
【分析】．由且为假命题，则，至少有一个为假命题，即可判断出正误．
．由，解得，2，即可判断出关系；
．利用逆否命题的定义即可判断出正误；
．利用的定义即可判断出；
【详解】解：．由且为假命题，则，至少有一个为假命题，因此不正确．
．由，解得，2，因此“”是“”的充分不必要，正确；
．“若“，则”的逆否命题为“若，则”，正确；
．命题：存在，使得，则：对任意，都有，正确；
故选：A．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
4．B
【分析】先求得“复数是纯虚数”时的值，再根据充分、必要条件的判断依据，判断出正确选项.
【详解】解：复数是纯虚数,则或,
所以“复数是纯虚数”不是“”的充分条件；
当时,复数为,是纯虚数,“复数是纯虚数”是“”的必要条件,
所以“复数是纯虚数”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点评】本题考查复数的基本概念,属于基础题,直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．
5．C
【分析】先解出A集合，根据“”是“”的充分不必要条件知道A为B的真子集，即可得出答案.
【详解】
集合表示函数在的函数值域，
由函数的图象：
得，
“”是“”的充分不必要条件，即，得.
故选：C.
【点评】
本题考查充分不必要条件，属于基础题.正确解出集合是解本题的基础.
6．B
【分析】先由解得或，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】解：若，则，即“”是“”的充分条件；
但是当时，可得或，即由不能推出，
所以“”不是“”的必要条件.
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故选.
【点评】本题考查充分条件、必要条件的概念，属于基础题.
7．A
【分析】结合复数的运算和性质及概念，利用逻辑条件的定义判断.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，故充分；
因为，
所以，
所以，
即，
解得或，故不必要；
故选：A
【点评】本题主要考查逻辑条件的判断以及复数的运算及概念，还考查了理解辨析、运算求解的能力，属于中档题.
8．B
【分析】根据向量的性质以及线面垂直的性质即可作出判断.
【详解】
若直线在平面内时，此时也能找到向量与垂直，不能得到
反过来，，则直线垂直于平面内所有直线，则，且
故“，且”是“”的必要不充分条件
故选：B
【点评】本题主要考查了判断必要不充分条件，涉及向量的性质以及线面垂直的性质，属于基础题.
9．D
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合平面向量加法法则判断即可.
【详解】已知非零向量、、，若且、、都共线，则、、不能构成三角形，
即“”不是“、、可构成三角形”的充分条件；
在中，设，，，则、、可构成三角形，
但,
所以，“”不是“、、可构成三角形”的必要条件.
因此，“”是“、、可构成三角形”的既非充分又非必要条件.
故选：D.
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了平面向量加法法则的应用，考查推理能力，属于中等题.
10．A
【分析】由题意结合直线法向量、方向向量的求解可得直线的法向量与直线的方向向量，若直线的法向量是直线的方向向量，由向量共线的坐标表示可得或，再由充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】直线和,
直线的一个法向量为，直线的一个方向向量为，
若直线的法向量是直线的方向向量，则直线的法向量与直线的方向向量共线，
，解得或，
“”是“直线的法向量是直线的方向向量” 充分非必要条件.
故选：A.
【点评】本题考查了直线方向向量、法向量的求解，考查了平面向量共线的坐标表示及充分条件、必要条件的判断，属于中档题.
11．m≥1或m≤﹣7
【分析】先求出命题p和命题q中不等式的解，再根据必要不充分条件列不等式求解.
【详解】解：由x2+3x﹣4＜0得﹣4＜x＜1，
由（x﹣m）2＞3（x﹣m）得（x﹣m﹣3）（x﹣m）＞0，
即x＞m+3或x＜m，
若p是q的必要不充分条件，
则1≤m或m+3≤﹣4，
即m≥1或m≤﹣7，
故答案为：m≥1或m≤﹣7.
【点评】本题考查二次不等式的求解，考查充分性，必要性的应用，是中档题.
12．（1）
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合物理知识判断即可.
【详解】对于（1），当开关闭合时，灯泡亮；当灯泡亮时，开关、至少一个闭合.
是的充分不必要条件；
对于（2），当开关闭合时，灯泡亮；当灯泡亮时，开关闭合，是的充要条件；
对于（3），当开关闭合且不闭合时，灯泡不亮；当灯泡亮时，开关必闭合，是的必要不充分条件.
故答案为：（1）.
【点评】本题考查充分不必要条件的判断，考查充分条件和必要条件定义的应用，考查推理能力，属于中等题.
13．
【分析】由
“”是“”的必要条件，得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，集合，，
因为“”是“”的必要条件，可得，
所以，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了必要条件的应用，以及利用集合的包含关系求参数，其中解答中把题设条件转化为两集合的包含关系，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
14．充要
【分析】先根据余弦定理化简，再根据正弦定理化边为角，最后根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得，即证得充分性；逆推可得必要性成立.
【详解】
由正弦定理得
,即充分性成立；
,,即必要性成立
所以是的充要条件
故答案为：充要
【点评】本题考查充要关系判断、正弦定理与余弦定理应用、两角和正弦公式，考查综合分析论证与判断能力，属中档题.
15．充分不必要
【分析】设，则定义域为R.根据函数奇偶性的定义，可得和同是奇函数或同是偶函数时，都是偶函数.反之，当和的积是偶函数时，不妨设，，可得是偶函数，但和都是非奇非偶函数，即得答案.
【详解】设，则定义域为R.
当和同是奇函数时，
是偶函数；
当和同是偶函数时，
是偶函数.
“和同是奇函数或同是偶函数”是“和的积是偶函数”的充分条件.
当和的积是偶函数时，不妨设，，
此时是偶函数，
但和都是非奇非偶函数.
“和同是奇函数或同是偶函数”不是“和的积是偶函数”的必要条件.
综上，“和同是奇函数或同是偶函数”是“和的积是偶函数”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
【点评】本题考查充分必要条件和函数的奇偶性，属于基础题.
16．3
【分析】利用倍角公式、和差公式化简，利用三角函数的单调性可得，根据“”是“”的必要条件，可得，即可得出结论．
【详解】根据题意可得：.
∵
∴，即
“”是“”的必要条件，则
∴
∴，即.
故答案为：3.
【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（1）；（2）.
【分析】（1）求出两个命题为真命题时的解集，然后利用为真，求解的取值范围．
（2）依题意可得，，所以，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：（1）由，解得，所以
又，
因为，解得，所以．
当时，，
又为真，，都为真，所以．即
（2）由p是q的充分不必要条件，即，，所以
所以解得，即
【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，属于中档题．
18．必要非充分条件
【分析】本题条件是，结论是，关键是要根据题意找到与的推出关系.
【详解】因为是的必要非充分条件，所以，.又因为是的充要条件即，∴，.所以是的必要非充分条件.
又因为是的充分非必要条件即，，∴.假设，则，与矛盾，∴.所以是的必要非充分条件.
【点评】本题考查充分条件与必要条件的应用，关键是分清条件与结论的推出关系，属于基础题.
19．证明见解析.
【分析】由a＋b＝1结合完全平方和公式证明充分性，利用完全平方和公式，提公因式对a2＋b2－a－b＋2ab＝0进行变形，结合a＋b≠0证明必要性.
【详解】
证明：先证充分性：
若a＋b＝1
则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．
必要性：
若a2＋b2－a－b＋2ab＝0
则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0
因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0
即a＋b＝1，成立
综上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
【点评】
本题主要考查了充要条件的证明，属于中档题.
20．详见解析
【分析】根据韦达定理证明充分性，必要性，从而得出它们的正确性，进而得出结论．
【详解】充分性：
，，
方程有实根，设的两根为，，
由韦达定理知：，、同号，
又，
，同为负根；
必要性：
的两个实根，均为负，且，
，
．
所以命题得证．
【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查逻辑推理能力和运算能力，属于常考题.
21．（1） （2）
【分析】（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参数的取值，得出答案；
（2）由必要不充分条件的定义得出，讨论的取值结合包含关系得出的范围.
【详解】解：（1）因为为假命题，所以为真命题，所以对恒成立.
当时，不符合题意；
当时，则有，则.
综上，k的取值范围为.
（2）由，得.
由（1）知，当为真命题时，则
令令
因为p是q的必要不充分条件，所以
当时，，，解得
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
所以的取值范围是
【点评】本题主要考查了不等式的恒成立问题以及根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题.
22．（1）（2）或
【分析】（1）利用参数分离法将用表示，结合二次函数的性质求出的取值范围，从而可求集合；
（2）若是的必要条件，则分类讨论①当即时，，②当即时，，两种情况进行求解；
【详解】解：（1）由题意，方程在上有解
令.只需在值域内
易知值域为.的取值集合
（2）由题意，，显然不为空集.
①当即时，.
②当即时，.
.
综合：或
【点评】本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．
23．
【分析】首先求解集合，和，根据条件可知，结合二次函数的图像，将端点值代入建立不等关系得到的取值范围.
【详解】解：A＝{x|x2﹣6x+8≤0}＝[2，4]；
B＝{x|≥0}＝[1，+∞）；
∴A∩B＝[2，4]．
∵“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，
∴A∩B?C．
设f（x）＝x2﹣mx+6，
则f（2）＝4﹣2m+6＜0，f（4）＝16﹣4m+6＜0，
解得．
∴m的取值范围是
【点评】本题考查了充分必要条件求参数取值范围，涉及不等式的解法，以及利用充分必要性转化为两集合间的包含关系，涉及一元二次不等式给定区间恒成立的问题，考查了转化与化归的思想，属于中档题型.
24．为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析
【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.再分别证明充分与必要性即可.
【详解】解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是.
证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1).
显然
,即.
充分性:在中,,不是直角.
假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D.
则
.
即,与“”矛盾.
故为锐角,即为锐角三角形.

(2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是.
证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然:
.即.
充分性:在中,,
不是直角,假设为锐角,如图(1),
则
.即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形.
【点评】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明,证明时注意用反证法,属于中等题型.
25．见解析
【分析】分别证明充分性与必要性即可.
【详解】证明:(1)充分性:如果,
那么,
.
(2)必要性:如果,
那么,
,.
由(1)(2)知,的充要条件是.
【点评】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.
26．
【分析】“”是“”的充分条件，即由能得到.
【详解】，，当，，若，则有或，即或．
所以时，.
【点评】本题考查对充分条件定义的理解，同时考查学生的推理与计算能力，属于中档题.
因为包含的情况较多，所以用“正难则反”的思想，先求出时的的取值范围，再对该范围求其补集即可.