2.2.1不等式及其性质-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.1不等式及其性质-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-29 00:10:10 | ||
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文档简介
2.2.1不等式及其性质
-高中数学人教B版（2019）必修第一册同步提高练习
1．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．若为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
4．下列命题中，一定正确的是
A．若，则， B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．若，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．若，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：
第一种：在前一半路程用速度，在后一半路程用速度，平均速度为；
第二种：在前一半时间用速度，在后一半时间用速度，平均速度为；
则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
11．若，用不等号连接________．
12．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
13．已知a，b为实数，则(a+3)(a﹣5) ______ (a+2)(a﹣4) (填“>”“<”或“=”).
14．设，，则的大小关系为__________．
15．若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
16．若且，，则与的大小关系是________．
17．设，．
（1）证明：介于与之间；
（2）判断，哪个更接近于，并说明理由．
18．试比较与的大小.
19．已知都是正数，且，求证：.
20．已知x，，且，比较与的大小．
21．设，试比较与的大小.
22．若a，，求不等式，同时成立的条件．
23．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
24．当都为正数且时，试比较代数式与的大小.
25．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）当，且时，与.
26．对于的一切值，求使恒成立的a的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】举特值可知都不正确，根据指数函数为增函数可知正确.
【详解】当时，，，故和不正确；
当时，，故不正确；
因为为增函数，所以当时，，故正确.
故选：D.
【点评】本题考查了不等式的性质，考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于基础题.
2．B
【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，即可得出结论.
【详解】解：由题可知，，
对于A，当时，此时，故A错误；
对于B，由于，则，所以，故B正确；
对于C，当时，此时，故C错误；
对于D，由于，当时，则，故D错误.
故选：B.
【点评】本题考查不等式的基本性质的应用，考查学生推理论证的能力，属于基础题.
3．B
【分析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，当时，不符合，故A选项错误.
对于B选项，由于，所以，所以，所以B选项正确.
对于C选项，如，但是，所以C选项错误.
对于D选项，由于的正负不确定，所以无法由，得出，故D选项错误.
故选：B
【点评】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
4．A
【分析】根据不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得答案；
【详解】对A，，，，因此，正确．
对B，时不成立．
对C，取，，，，满足，，而，因此不正确．
对D，取，，，，满足，，则，不正确．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的基本性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
5．D
【分析】令可知A，C错误；由根据同向不等式相加的性质可知B错误；根据以及等号不成立可知D正确.
【详解】因为：
对于A：当，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：当，，故C错误；
对于D：因为，所以，
又因为，则，故不取等，即，故D正确；
故选：D.
【点评】本题考查了不等式的性质，考查了基本不等式取等的条件，属于基础题.
6．C
【分析】由不等式的性质即可得出答案.
【详解】由不等式的性质可知，若，
则： ，，， .
故选：C.
【点评】本题考查了不等式的性质，考查了理解理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
7．C
【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断出结果.
【详解】因为，所以，
又由基本不等式可得：，所以，
又，所以，
因此.
故选：C.
【点评】本题主要考查由不等式的性质，以及基本不等式比较大小，属于基础题型.
8．D
【分析】根据不等式的性质证明即可；
【详解】解：，所以，又，所以，，易得，
因此，，
故选：D.
【点评】本题考查不等式比较大小，属于基础题．
9．B
【分析】由于，利用函数单调性可以比较大小．
【详解】解：∵在单调递减， ，故A成立，不符合题意；
∵在单调递减，，故B不成立，符合题意；
在单调递减，，故C成立，不符合题意；
∵在单调递减，，故D成立，不符合题意.
故选：B．
【点评】本题考查由已知条件判断不等式是否成立，属于基础题.
10．B
【分析】第一种：设总路程为2s，第二种：设时间为2t，分别求出两种速度，再进行作差比较大小，即可得到答案.
【详解】第一种：设总路程为2s，则，
第二种：设时间为2t，则，
.
故选：B.
【点评】本题考查不等式应用的实际问题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意位移变量和时间变量的引入.
11．
【分析】利用作差法即可比较大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查作差法比较大小，属于基础题．
12．x＜y
【分析】利用作差法即可容易比较出两个代数式的大小关系.
【详解】因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，
∴x＜y.
故答案为：.
【点评】本题考查利用作差法比较代数式的大小关系，属简单题.
13．<
【分析】根据，可得与的大小关系．
【详解】，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查不等式与不等关系，比较两个实数的大小的方法，属于基础题．
14．
【分析】通过比较的大小，即可判断的大小关系.
【详解】解：，，
因为，所以，即.
故答案为: .
【点评】本题考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题.
15．a【分析】先求出，再证明，即得解.
【详解】，
∵，∴
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，
即a故答案为：a【点评】本题主要考查实数大小的比较，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．
【分析】通过两式作差，判断与的大小即可.
【详解】解：,因为，当时，，则，故；当时，，则，故.
综上，.
故答案为：
【点评】本题考查作差法比大小，关键是作差后变形，属于基础题.
17．（1）证明见解析；（2）更接近于，理由见解析
【分析】（1）只要证明即可；
（2）用来刻画与的接近程度，然后比较与的大小即可．
【详解】（1）证：∵，
∴介于，之间；
（2）解：∵，
，
更接近于．
【点评】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题．
18．
【分析】作差，判断差的符号，即可得到答案．
【详解】因为
，
【点评】本题考查的知识点是作差法比较大小，难度不大，属于基础题．
19．证明见解析
【分析】作差证明即可.
【详解】证明：因为，
又都是正数，且，
所以，，
所以.
即.
【点评】本题考查不等关系及其证明，较简单.一般地，可采用作差法进行大小比较.
20．，当且仅当时取等号．
【分析】利用作差法即可比较大小．
【详解】解：∵
，
由，得，又，
∴，
，当且仅当时取等号．
【点评】本题主要考查作差法比较大小，属于基础题．关于比较代数式的大小有两点说明：（1）比较两个实数的大小，一般采用作差比较，或者将这个差变为一个常数；或者将差变形为一个或若干个完全平方和；或者将差变形为若干个可判断正负的因式的积；（2）当比较两个实数大小结果是“”或“”时，要说明取等号的条件．
21．当时两者相等；当时.
【分析】分成、，三种情况进行分类讨论，结合商比较法，判断出两者的大小关系.
【详解】依题意，，
当时，；
当时，：
当时，，所以；
当时，，所以.
故当时，，即.
【点评】本小题主要考查商比较法比较大小，属于基础题.
22．
【分析】，结合，易求解.
【详解】解：．
当时，不等式，同时成立．
【点评】已知两个数的大小关系确定另两个数的大小关系，通常用作差法以及同号得正异号得负的实数性质解决；基础题.
23．（1）证明见解析；（2）1.
【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.
【详解】证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
【点评】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.
24．
【分析】用作差的方法，因式分解，利用，化简可得，进而得出结果.
【详解】
因为，所以
因此
因为为正数，所以
因此，当且仅当时等号成立
【点评】本题考查了用作差的方法比较大小，考查了运算求解能力，属于中档题目.
25．（1）；（2）.
【分析】（1）将代数式与作差，配方后判断差值符号，由此可得出这两个代数式的大小关系；
（2）对代数式与作商得出，对与的大小进行分类讨论，结合指数函数的单调性可得出与的大小关系.
【详解】（1），
因此，；
（2）.
①当时，即，时，，；
②当时，即，时，，.
综上所述，当，且时，.
【点评】本题考查利用作差法与作商法比较代数式的大小关系，考查推理能能力，属于中等题.
26．
【分析】构造函数，利用函数的图像来解决．
【详解】解：令，
①当时，恒成立；
②当时，根据一次函数图像特点（图），要使对一切，恒成立，只要两端点处的函数值且即可．
且．
综上，．
【点评】本题考查通过数形结合将不等式问题转化为函数问题，直观形象，属于基础题．
-高中数学人教B版（2019）必修第一册同步提高练习
1．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．若为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
4．下列命题中，一定正确的是
A．若，则， B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．若，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．若，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：
第一种：在前一半路程用速度，在后一半路程用速度，平均速度为；
第二种：在前一半时间用速度，在后一半时间用速度，平均速度为；
则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
11．若，用不等号连接________．
12．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
13．已知a，b为实数，则(a+3)(a﹣5) ______ (a+2)(a﹣4) (填“>”“<”或“=”).
14．设，，则的大小关系为__________．
15．若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
16．若且，，则与的大小关系是________．
17．设，．
（1）证明：介于与之间；
（2）判断，哪个更接近于，并说明理由．
18．试比较与的大小.
19．已知都是正数，且，求证：.
20．已知x，，且，比较与的大小．
21．设，试比较与的大小.
22．若a，，求不等式，同时成立的条件．
23．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
24．当都为正数且时，试比较代数式与的大小.
25．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）当，且时，与.
26．对于的一切值，求使恒成立的a的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】举特值可知都不正确，根据指数函数为增函数可知正确.
【详解】当时，，，故和不正确；
当时，，故不正确；
因为为增函数，所以当时，，故正确.
故选：D.
【点评】本题考查了不等式的性质，考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于基础题.
2．B
【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，即可得出结论.
【详解】解：由题可知，，
对于A，当时，此时，故A错误；
对于B，由于，则，所以，故B正确；
对于C，当时，此时，故C错误；
对于D，由于，当时，则，故D错误.
故选：B.
【点评】本题考查不等式的基本性质的应用，考查学生推理论证的能力，属于基础题.
3．B
【分析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，当时，不符合，故A选项错误.
对于B选项，由于，所以，所以，所以B选项正确.
对于C选项，如，但是，所以C选项错误.
对于D选项，由于的正负不确定，所以无法由，得出，故D选项错误.
故选：B
【点评】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
4．A
【分析】根据不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得答案；
【详解】对A，，，，因此，正确．
对B，时不成立．
对C，取，，，，满足，，而，因此不正确．
对D，取，，，，满足，，则，不正确．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的基本性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
5．D
【分析】令可知A，C错误；由根据同向不等式相加的性质可知B错误；根据以及等号不成立可知D正确.
【详解】因为：
对于A：当，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：当，，故C错误；
对于D：因为，所以，
又因为，则，故不取等，即，故D正确；
故选：D.
【点评】本题考查了不等式的性质，考查了基本不等式取等的条件，属于基础题.
6．C
【分析】由不等式的性质即可得出答案.
【详解】由不等式的性质可知，若，
则： ，，， .
故选：C.
【点评】本题考查了不等式的性质，考查了理解理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
7．C
【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断出结果.
【详解】因为，所以，
又由基本不等式可得：，所以，
又，所以，
因此.
故选：C.
【点评】本题主要考查由不等式的性质，以及基本不等式比较大小，属于基础题型.
8．D
【分析】根据不等式的性质证明即可；
【详解】解：，所以，又，所以，，易得，
因此，，
故选：D.
【点评】本题考查不等式比较大小，属于基础题．
9．B
【分析】由于，利用函数单调性可以比较大小．
【详解】解：∵在单调递减， ，故A成立，不符合题意；
∵在单调递减，，故B不成立，符合题意；
在单调递减，，故C成立，不符合题意；
∵在单调递减，，故D成立，不符合题意.
故选：B．
【点评】本题考查由已知条件判断不等式是否成立，属于基础题.
10．B
【分析】第一种：设总路程为2s，第二种：设时间为2t，分别求出两种速度，再进行作差比较大小，即可得到答案.
【详解】第一种：设总路程为2s，则，
第二种：设时间为2t，则，
.
故选：B.
【点评】本题考查不等式应用的实际问题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意位移变量和时间变量的引入.
11．
【分析】利用作差法即可比较大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查作差法比较大小，属于基础题．
12．x＜y
【分析】利用作差法即可容易比较出两个代数式的大小关系.
【详解】因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，
∴x＜y.
故答案为：.
【点评】本题考查利用作差法比较代数式的大小关系，属简单题.
13．<
【分析】根据，可得与的大小关系．
【详解】，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查不等式与不等关系，比较两个实数的大小的方法，属于基础题．
14．
【分析】通过比较的大小，即可判断的大小关系.
【详解】解：，，
因为，所以，即.
故答案为: .
【点评】本题考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题.
15．a【分析】先求出，再证明，即得解.
【详解】，
∵，∴
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，
即a
16．
【分析】通过两式作差，判断与的大小即可.
【详解】解：,因为，当时，，则，故；当时，，则，故.
综上，.
故答案为：
【点评】本题考查作差法比大小，关键是作差后变形，属于基础题.
17．（1）证明见解析；（2）更接近于，理由见解析
【分析】（1）只要证明即可；
（2）用来刻画与的接近程度，然后比较与的大小即可．
【详解】（1）证：∵，
∴介于，之间；
（2）解：∵，
，
更接近于．
【点评】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题．
18．
【分析】作差，判断差的符号，即可得到答案．
【详解】因为
，
【点评】本题考查的知识点是作差法比较大小，难度不大，属于基础题．
19．证明见解析
【分析】作差证明即可.
【详解】证明：因为，
又都是正数，且，
所以，，
所以.
即.
【点评】本题考查不等关系及其证明，较简单.一般地，可采用作差法进行大小比较.
20．，当且仅当时取等号．
【分析】利用作差法即可比较大小．
【详解】解：∵
，
由，得，又，
∴，
，当且仅当时取等号．
【点评】本题主要考查作差法比较大小，属于基础题．关于比较代数式的大小有两点说明：（1）比较两个实数的大小，一般采用作差比较，或者将这个差变为一个常数；或者将差变形为一个或若干个完全平方和；或者将差变形为若干个可判断正负的因式的积；（2）当比较两个实数大小结果是“”或“”时，要说明取等号的条件．
21．当时两者相等；当时.
【分析】分成、，三种情况进行分类讨论，结合商比较法，判断出两者的大小关系.
【详解】依题意，，
当时，；
当时，：
当时，，所以；
当时，，所以.
故当时，，即.
【点评】本小题主要考查商比较法比较大小，属于基础题.
22．
【分析】，结合，易求解.
【详解】解：．
当时，不等式，同时成立．
【点评】已知两个数的大小关系确定另两个数的大小关系，通常用作差法以及同号得正异号得负的实数性质解决；基础题.
23．（1）证明见解析；（2）1.
【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.
【详解】证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
【点评】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.
24．
【分析】用作差的方法，因式分解，利用，化简可得，进而得出结果.
【详解】
因为，所以
因此
因为为正数，所以
因此，当且仅当时等号成立
【点评】本题考查了用作差的方法比较大小，考查了运算求解能力，属于中档题目.
25．（1）；（2）.
【分析】（1）将代数式与作差，配方后判断差值符号，由此可得出这两个代数式的大小关系；
（2）对代数式与作商得出，对与的大小进行分类讨论，结合指数函数的单调性可得出与的大小关系.
【详解】（1），
因此，；
（2）.
①当时，即，时，，；
②当时，即，时，，.
综上所述，当，且时，.
【点评】本题考查利用作差法与作商法比较代数式的大小关系，考查推理能能力，属于中等题.
26．
【分析】构造函数，利用函数的图像来解决．
【详解】解：令，
①当时，恒成立；
②当时，根据一次函数图像特点（图），要使对一切，恒成立，只要两端点处的函数值且即可．
且．
综上，．
【点评】本题考查通过数形结合将不等式问题转化为函数问题，直观形象，属于基础题．