2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
-高中数学人教B版（2019）必修第一册同步提高练习
1．若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
3．已知关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A． B．3 C． D．2
4．如果方程的两根为、，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是一元二次方程的两实根，则代数式的值是（ ）
A．7 B．1 C．5 D．
6．已知是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．关于的方程，当时的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．一元二次方程的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
11．若关于x的二次方程的两个根分别为，且满足，则m的值为______
12．设集合，集合，若，则实数_____.
13．已知关于x的方程的解都是整数，那么符合条件的整数a的取值集合为__________．
14．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
15．已知m，n是方程的两个实根，则_______．
16．若关于x的一元二次方程的解集中含有两个元素，则实数k的取值范围是______．
17．已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若是方程的两个根，且，求的值.
19．若，是关于的方程的两个实数根，且（是整数），则称方程为“偶系二次方程”.如方程，，，，，都是“偶系二次方程”.
（1）判断方程是不是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数，是否存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，并说明理由.
20．已知关于x的方程．
（1）求证：对于任意实数m方程总有实数根；
（2）若是原方程的两根，且，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，当时，求的值．
22．已知关于x的方程，求证：对于任意实数k，该方程的解集都为非空集合．
23．已知关于x的方程，其中p是常数，用配方法求方程的解集．
24．已知关于的方程的两个根分别为，且满足，求a的值．
25．已知一元二次方程的两根分别是，利用根与系数的关系求下列式子的值：
（1）；（2）（3）．
26．若关于x的方程有两个不相等的实根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】因为，所以利用韦达定理求出后可得的值.
【详解】，故方程必有两根，
又根据二次方程根与系数的关系，可得，
所以.
故选：B.
【点评】本题考查一元二次方程的两根差的绝对值的计算，我们常用来计算两根差的绝对值，本题属于容易题.
2．A
【分析】设另一根为t，结合韦达定理即可求解
【详解】设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题
3．C
【分析】利用韦达定理可求另外一根为，从而可得正确的选项.
【详解】，故方程必有两个不同的根，
设另一个根为，则由韦达定理可知，故，
故选：C.
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理求值时注意检验判别式的符号，本题属于容易题.
4．C
【分析】由题设条件利用根与系数的关系求出，直接变换即可求得答案.
【详解】解：由题意、是关于的方程的两根，
∴，∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查对数运算和根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题型.
5．D
【分析】将目标式展开，利用韦达定理，代值计算即可.
【详解】∵是一元二次方程的两实根，
∴，
∴．
故选：D
【点评】本题考查韦达定理的应用，属基础题.
6．D
【分析】根据韦达定理，以及的正负即可对选项进行判断.
【详解】由韦达定理可得，
故可排除，但因为无法得知的正负，故不正确；
又∵，
∴方程有两个不相等的实根，
故选：D．
【点评】本题考查韦达定理的使用，属基础题.
7．A
【分析】对参数进行分类讨论，当为二次方程时，只需满足即可.
【详解】①，即时，
方程化为，
只有一个实根，符合题意；
②当，即时，
方程有实根的充要条件是，
解得，即且．
综合①②得．
故选：A．
【点评】本题考查由的根的情况，求解参数的范围，属基础题.
8．D
【分析】移项，根据，即可判断方程无根.
【详解】原方程等价于，
因为，故，
则方程无根，方程的解集为：.
故选：D.
【点评】本题考查对含参二次方程根个数的讨论，属基础题.
9．C
【分析】移项，提公因式，即可求得方程的解集.
【详解】原方程，
等价于，
解得或.
故方程的解集为.
故选：C.
【点评】本题考查通过分解因式求解一元二次方程，属基础题.
10．D
【分析】根据，即可求得参数的取值范围.
【详解】关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得且．
故选：D．
【点评】本题考查由二次方程根的个数，求解参数范围的问题，属基础题.
11．
【分析】先求出方程有两根时的范围，再由根与系数关系将用表示，建立关于的方程，求解即可.
【详解】关于x的二次方程有两个根，
则，
，
又，即，
解得或（舍去），
的值为.
【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.
12．-3
【详解】因为集合， ，A={0,3}，故m= -3.
13．
【分析】对参数进行分类讨论，结合解释正数，即可求得.
【详解】分两种情况讨论：①当时，则；
②当时，原方程化为，
∴，∴是方程的一个整数解．
再由，且x是整数，知．
综上，a的取值集合为．
故答案为：
【点评】本题考查形如方程根的情况，求参数范围的问题，属基础题.
14．
【分析】根据，求解不等式即可求得参数的范围.
【详解】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的充要条件是：
，
解得．
故答案为：
【点评】本题考查由二次方程根的个数，求解参数的范围，属基础题.
15．4
【分析】根据韦达定理，对目标式提公因式代值计算即可.
【详解】∵m，n是方程的两个实根，
∴，．
∴．
故答案为：4
【点评】本题考查韦达定理的应用，属基础题.
16．且
【分析】容易知方程为二次方程，且，据此求解即可.
【详解】由题意，得
解得且
故答案为：且
【点评】本题考查由形如的解集情况，求参数的取值范围，属基础题.
17．（1）k＞﹣且k≠0；（2）2020.
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）k＝1．方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2016的值．
【详解】（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，
∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，
∴α+β＝1，αβ＝﹣1，
∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，
∴β2＝β+1，α2＝α+1
∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，
α3+β2+β+2016
＝2α+1+β+1+β+2016
＝2（α+β）+2018
＝2×1+2018
＝2020．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
18．（1）（2）
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根时满足,代入即可求得的取值范围.
（2）将完全平方式展开,再配方成韦达定理的形式,结合一元二次方程韦达定理表达式,即可求得的值.
【详解】（1）由题意可得：
解得
的取值范围为
（2）一元二次方程
是方程的两个根
解得
【点评】本题考查了一元二次方程的根与判别式关系,韦达定理的简单应用,属于基础题.
19．（1）不是.理由见解析；（2）存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”，理由见解析
【分析】（1）求出方程的根，代入验证即可；
（2）由条件，是偶系二次方程建模，设，就可以表示出，然后根据公式法就可以求出其根，再代入就可以得出结论.
【详解】（1）不是.理由如下：
解方程得，，，
3.5不是整数，不是“偶系二次方程”.
（2）存在.理由如下：
解法一：和是“偶系二次方程”，
假设，当，时，，
是“偶系二次方程”，当时，，，
是“偶系二次方程”，
当时，，符合题意，可设.
对于任意一个整数，当时，，，
，，，是整数，
对于任意一个整数，存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”.
解法二：由题可知，，，
假设对于任意一个整数，存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，则，
，
，
当时，，与题意不符，舍去；
当时，. 为任意一个整数，为整数，
设，则，，又，符合题意，
对于任意一个整数，存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用、根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用，解答本题时根据条件特征建立模型是关键.
20．（1）证明见详解；（2）或
【分析】（1）对参数进行分类讨论，当为二次方程时，关注的正负即可；
（2）根据韦达定理，将目标式进行转化，代值即可求得.
【详解】（1）证明：当时，方程化为，即，方程有一个实根；
当时，，方程有两个实根．
综上，对于任意实数m方程总有实数根．
（2）∵是方程的两根，
∴．
又∵，
∴，
∴，
整理，得，
解得或．
【点评】本题考查二次方程根的情况与参数之间的关系，以及韦达定理的应用，属基础题.
21．（1）；（2）17
【分析】（1）根据，列出不等式，求解即可；
（2）根据韦达定理，将目标式转化为，代值计算即可.
【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得．
（2）当时，方程为，
∴，
∴．
【点评】本题考查根据二次方程根的个数，求参数的范围，以及韦达定理的应用，属基础题.
22．证明见详解
【分析】对参数进行分类讨论，当方程为二次方程时，只需判断的正负即可.
【详解】①当时，
方程为，解得，
方程的解集为，符合题意．
②当时，
，
方程有两个实根，即解集中含有一个或两个元素，符合题意．
综上，对于任意实数k，方程的解集都为非空集合．
【点评】本题考查对形如的方程根的讨论，属基础题.
23．当时，方程的解集为；当时，方程的解集为；当时，方程的解集为．
【分析】移项，配方后，讨论的正负，从而写出不同情况下方程的解集.
【详解】移项，等号两边同除以3，得；配方，得．
当时，方程的解集为；
当时，方程的解集为；
当时，方程的解集为．
【点评】本题考查用配方法解方程时，对参数的分类讨论，属基础题.
24．
【分析】利用韦达定理求出两根之和与两根之积，再代入目标式即可求得.
【详解】∵关于x的方程的两个根分别为，
∴．∵，
∴，
解得．
又∵，
即，
∴．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，注意参数取值的检验.
25．（1）；（2）11；（3）-36
【分析】利用韦达定理写出两根之和与两根之积.
（1）应用，代值计算即可；
（2）将目标式转化为，代值计算即可；
（3）利用公式，将目标式转化为，代值计算即可.
【详解】根据一元二次方程根与系数的关系，得．
（1）∵
∴．
（2）．
（3）．
【点评】本题考查利用韦达定理，求解的混合式的值，需要注意第三问中的转化，需要牢记三次方公式.
26．（1）且；（2）不存在，理由见详解.
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实根，结合即可求得；
（2）利用韦达定理，结合方程根的倒数和为0，解方程即可，注意结果的验证.
【详解】（1）要使方程有两个不相等的实根，
则
即
解得且．
（2）不存在．理由如下：
设方程的两根分别是和，
则，
，
∴，即．
∵且，∴不符合题意，
故不存在满足条件的实数k．
【点评】本题考查韦达定理的应用，以及由方程根的情况，求解参数的范围.