2.2.4均值不等式及其应用-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.4均值不等式及其应用-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-29 00:12:20 | ||
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文档简介
2.2.4均值不等式及其应用
-高中数学人教B版（2019）必修第一册同步提高练习
1．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是（ ）
A．3 B．3－2
C．3－2 D．－1
3．已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．2
C．4 D．1
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．已知，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知实数x，y满足x>0，y>0，且，则x＋2y的最小值为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
8．已知，则有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
9．设，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知a>0，b>0，，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为（ ）
A．8 B．7
C．6 D．5
11．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则的最小值为________．
12．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则的最小值为________.
13．若实数满足，则的最小值为______．
14．已知，则的最小值为________.
15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______.
16．已知正数，满足，则的最小值为________．
17．（1）若，求最大值；
（2）已知，求的最大值．
18．已知.
（1）已知x＞0，求y的最小值；
（2）已知x＜0，求y的最大值．
19．已知正实数，满足，求的最小值.
20．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①；②(x>0，y>0)且的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
21．已知为正数，且，证明：.
22．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：.
23．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数值；
（2）若实数，满足，求的最小值.
24．设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值.
25．一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置最多停留多长时间（精确到）？
26．（1）求当时，的最小值；
（2）求当时，的最小值.
27．某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元.若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？
28．已知、、，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）．
参考答案
1．B
【分析】由，根据不等式的性质，以及基本不等式，即可得到结果．
【详解】因为
所以，；
由基本不等式可得；
所以.
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于基础题.
2．C
【分析】化简y＝3－3x－＝3－，再利用基本不等式求解.
【详解】
由题得y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2，
当且仅当x＝时取等号．
所以y＝3－3x－的最大值是3－2.
故选：C
【点评】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．A
【分析】因为，所以，将分离常数既可以用基本不等式求最值.
【详解】因为，所以，
由均值不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为3，
故选：A
【点评】本题主要考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.
4．C
【分析】先根据已知化简为，再求最小值即可，最后判断等号的成立即可.
【详解】解：，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为：9.
故选：C.
【点评】本题考查利用基本不等式“1”的妙用求最值，是基础题.
5．C
【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】，则，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
故选：C.
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
6．D
【分析】对各选项一一分析是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正，二定，三相等”.
【详解】对于A. ,当时，，所以最小值为不是2，A错误；
对于B. ，
所以时，
即，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B错误.
对于C. ，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误；
对于D,，因为，
所以，
当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确；
故选：D.
【点评】本题考查了使用基本不等式的应用条件，属于基础题.
7．D
【分析】由可得x＋2y＝(x＋2y)，展开利用基本不等式求范围.
【详解】因为x>0，y>0，且，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝，
当且仅当，即x＝4，y＝2时等号成立．
故选：D
【点评】本题考查基本不等式求和的最小值，注意不等式成立的条件，属于基础题.
8．D
【分析】将变形为，再利用基本不等式求解.
【详解】
解：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号．
所以有最小值为.
故选：D.
【点评】
本题考查利用基本不等式求最小值问题，是基础题.
9．A
【分析】将变形为，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
因为，所以，所以根据基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为0.
故选：A.
【点评】
本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，是基础题.
10．C
【分析】根据a>0，b>0，，得到，利用“1”的代换转化为2a＋b＝6，利用基本不等式求解.
【详解】因为a>0，b>0，，
所以，
所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，
所以9m≤54，即m≤6，
故选：C.
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题.
11．8
【分析】先将点A直线方程mx＋ny＋1＝0中得，2m＋n＝1，然后用1代换，再利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
所以2m＋n＝1，
由mn>0，所以
所以，
当且仅当n＝2m，即时取等号．
所以的最小值为8，
故答案为：8
【点评】此题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
12．9
【分析】由x＋4y＝1，结合目标式，将x＋4y替换目标式中的“1”即可得到基本不等式的形式，进而求得它的最小值，注意等号成立的条件
【详解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1
∴当且仅当有时取等号
∴的最小值为9
故答案为：9
【点评】本题考查了基本不等式中“1”的代换，注意基本不等式使用条件“一正二定三相等”，属于简单题
13．4
【分析】运用重要不等式（当且仅当取得等号），计算可得所求最小值．
【详解】解：若实数，满足，
则，
当且仅当时，上式取得最小值4．
故答案为：4．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
14．
【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.
15．
【分析】根据，利用基本不等式得出，即，求解即可得到得出的范围.
【详解】因为，
所以（当且仅当时等号成立），
因为恒成立，
所以，解得：.
故答案为：
【点评】本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换，应注意基本不等式中等号成立的条件，属于基础题.
16．
【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】
解：因为为正数，且，所以有，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
【点评】
本题考查基本不等式“1”的妙用求最值问题，是基础题.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）将变形为，再根据基本不等式求解即可；
（2）将变形为，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：(1)因为，所以.
所以，
由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
故的最大值是
(2)由得，
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以，即.
所以的最大值为.
【点评】本题考查基本不等式求最值问题，是中档题.本题解题的核心是适当的变形，凑为“和定”或“积定”问题即可，同时还要注意基本不等式的使用条件.
18．（1）2；（2）－2.
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可
（2）由于x＜0，所以先对式子变形，然后再利用基本不等式即可
【详解】（1）因为x＞0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立．
所以y的最小值为2.
（2）因为x＜0，所以－x＞0.所以，当且仅当，即x＝－1时等号成立．
所以y的最大值为－2.
【点评】此题考查基本不等式的应用，属于基础题.
19．
【分析】由，且，为正实数，则，
令，展开可以用基本不等式求最值.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
所以，
当且仅当且即时，等号成立，所以的最小值为.
【点评】本题主要考查了基本不等式求最值，关键是配成可以用基本不等式的形式.属于基础题.
20．存在，a＝2，b＝8或a＝8，b＝2
【分析】利用进行转化，利用基本不等式求最值，并求得取最值的条件，即得到结论
【详解】
因为(x>0，y>0),
所以，
又的最小值为18，所以.
由得或,
故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．
【点评】
本题考查利用基本不等式求最值，关键是运用“乘1”法转化为利用基本不等式求最值，属中档题.
21．证明见解析.
【分析】由，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由为正数，且，
则
，
当且仅当时，等号成立，即.
【点评】本题主要考查了不等式的证明，其中解答中合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
22．证明见解析
【分析】根据基本不等式可得，，，然后根据不等式的性质相乘可证不等式成立
【详解】因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以，
同理，.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
【点评】本题考查了利用基本不等式和不等式的性质证明不等式，属于基础题.
23．（1）；（2）.
【分析】（1）用二次不等式的解集与对应二次方程的根的关系；
（2）“1”的巧用.
【详解】（1），解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：.
（2），则，
当，即时取等号，即时有最小值.
【点评】二次函数的零点二次方程的根二次不等式的解集；，构造“1”，巧用“1”.
24．
【分析】利用已知条件先整理，再利用基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当＝，即y＝2x时取等号；
又∵＋＝3，
∴x＝，y＝；
∴2x＋y的最小值为.
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，注意求解等号成立的条件.属于较易题.
25．
【分析】设该同学抛出此排球秒后球的高度为，可得出，根据题意得出不等式，整理得出，设该不等式的解集为，利用根与系数之间的关系可求出排球能在抛出点以上的位置最多停留的时间长为.
【详解】设该同学抛出此排球秒后球的高度为，则.
排球在抛出点以上时满足不等式，即.
设方程的两根为、，则，，
所以排球在抛出点以上的位置的运动时间为.
答：排球能在抛出点以上的位置最多停留.
【点评】本题考查一元二次不等式的应用，根据题意建立不等式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
26．（1）；（2）.
【分析】（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求出该函数的最小值；
（2）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求出该函数的最小值.
【详解】（1）当时，，当且仅当时等号成立，
所以当时，函数的最小值为；
（2），
当时，，所以，
当且仅当，即在时等号成立，
所以，当时，的最小值为.
【点评】利用基本不等式求最值时，要观察题中代数式的形式，若不能直接利用基本不等式，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能利用基本不等式的条件.
27．要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑台.
【分析】先利用题中条件计算出，然后计算出全年所付运费和保管费之和为（元）关于每批购入的台数的函数关系式为，然后利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出该问题的解答.
【详解】设全年所付运费和保管费之和为元.
由题意，得.
当时，，解得.
所以，，
则.
当且仅当，即时，等号成立.
所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑台.
【点评】本题考查基本不等式的应用，解题的关键就是要求出函数的解析式，并利用基本不等式求出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
28．（1）详见解析；
（2）详见解析；
（3）.
【分析】（1）对不等式分别使用基本不等式即可证明出；
（2）对不等式分别使用基本不等式即可证明出
；
（3）根据（1）（2）不等式的结构特征直接写出一般推广结论.
【详解】（1）（当且仅当=1时取等号）；
（2）（当且仅当时取等号）；
（3）推广：已知，，…，则（当且仅当时取等号）；
【点评】本题考查了基本不等式的应用与推广，考查了类比推理的能力.
-高中数学人教B版（2019）必修第一册同步提高练习
1．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是（ ）
A．3 B．3－2
C．3－2 D．－1
3．已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．2
C．4 D．1
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．已知，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知实数x，y满足x>0，y>0，且，则x＋2y的最小值为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
8．已知，则有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
9．设，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知a>0，b>0，，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为（ ）
A．8 B．7
C．6 D．5
11．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则的最小值为________．
12．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则的最小值为________.
13．若实数满足，则的最小值为______．
14．已知，则的最小值为________.
15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______.
16．已知正数，满足，则的最小值为________．
17．（1）若，求最大值；
（2）已知，求的最大值．
18．已知.
（1）已知x＞0，求y的最小值；
（2）已知x＜0，求y的最大值．
19．已知正实数，满足，求的最小值.
20．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①；②(x>0，y>0)且的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
21．已知为正数，且，证明：.
22．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：.
23．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数值；
（2）若实数，满足，求的最小值.
24．设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值.
25．一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置最多停留多长时间（精确到）？
26．（1）求当时，的最小值；
（2）求当时，的最小值.
27．某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元.若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？
28．已知、、，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）．
参考答案
1．B
【分析】由，根据不等式的性质，以及基本不等式，即可得到结果．
【详解】因为
所以，；
由基本不等式可得；
所以.
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于基础题.
2．C
【分析】化简y＝3－3x－＝3－，再利用基本不等式求解.
【详解】
由题得y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2，
当且仅当x＝时取等号．
所以y＝3－3x－的最大值是3－2.
故选：C
【点评】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．A
【分析】因为，所以，将分离常数既可以用基本不等式求最值.
【详解】因为，所以，
由均值不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为3，
故选：A
【点评】本题主要考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.
4．C
【分析】先根据已知化简为，再求最小值即可，最后判断等号的成立即可.
【详解】解：，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为：9.
故选：C.
【点评】本题考查利用基本不等式“1”的妙用求最值，是基础题.
5．C
【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】，则，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
故选：C.
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
6．D
【分析】对各选项一一分析是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正，二定，三相等”.
【详解】对于A. ,当时，，所以最小值为不是2，A错误；
对于B. ，
所以时，
即，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B错误.
对于C. ，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误；
对于D,，因为，
所以，
当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确；
故选：D.
【点评】本题考查了使用基本不等式的应用条件，属于基础题.
7．D
【分析】由可得x＋2y＝(x＋2y)，展开利用基本不等式求范围.
【详解】因为x>0，y>0，且，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝，
当且仅当，即x＝4，y＝2时等号成立．
故选：D
【点评】本题考查基本不等式求和的最小值，注意不等式成立的条件，属于基础题.
8．D
【分析】将变形为，再利用基本不等式求解.
【详解】
解：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号．
所以有最小值为.
故选：D.
【点评】
本题考查利用基本不等式求最小值问题，是基础题.
9．A
【分析】将变形为，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
因为，所以，所以根据基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为0.
故选：A.
【点评】
本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，是基础题.
10．C
【分析】根据a>0，b>0，，得到，利用“1”的代换转化为2a＋b＝6，利用基本不等式求解.
【详解】因为a>0，b>0，，
所以，
所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，
所以9m≤54，即m≤6，
故选：C.
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题.
11．8
【分析】先将点A直线方程mx＋ny＋1＝0中得，2m＋n＝1，然后用1代换，再利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
所以2m＋n＝1，
由mn>0，所以
所以，
当且仅当n＝2m，即时取等号．
所以的最小值为8，
故答案为：8
【点评】此题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
12．9
【分析】由x＋4y＝1，结合目标式，将x＋4y替换目标式中的“1”即可得到基本不等式的形式，进而求得它的最小值，注意等号成立的条件
【详解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1
∴当且仅当有时取等号
∴的最小值为9
故答案为：9
【点评】本题考查了基本不等式中“1”的代换，注意基本不等式使用条件“一正二定三相等”，属于简单题
13．4
【分析】运用重要不等式（当且仅当取得等号），计算可得所求最小值．
【详解】解：若实数，满足，
则，
当且仅当时，上式取得最小值4．
故答案为：4．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
14．
【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.
15．
【分析】根据，利用基本不等式得出，即，求解即可得到得出的范围.
【详解】因为，
所以（当且仅当时等号成立），
因为恒成立，
所以，解得：.
故答案为：
【点评】本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换，应注意基本不等式中等号成立的条件，属于基础题.
16．
【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】
解：因为为正数，且，所以有，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
【点评】
本题考查基本不等式“1”的妙用求最值问题，是基础题.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）将变形为，再根据基本不等式求解即可；
（2）将变形为，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：(1)因为，所以.
所以，
由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
故的最大值是
(2)由得，
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以，即.
所以的最大值为.
【点评】本题考查基本不等式求最值问题，是中档题.本题解题的核心是适当的变形，凑为“和定”或“积定”问题即可，同时还要注意基本不等式的使用条件.
18．（1）2；（2）－2.
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可
（2）由于x＜0，所以先对式子变形，然后再利用基本不等式即可
【详解】（1）因为x＞0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立．
所以y的最小值为2.
（2）因为x＜0，所以－x＞0.所以，当且仅当，即x＝－1时等号成立．
所以y的最大值为－2.
【点评】此题考查基本不等式的应用，属于基础题.
19．
【分析】由，且，为正实数，则，
令，展开可以用基本不等式求最值.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
所以，
当且仅当且即时，等号成立，所以的最小值为.
【点评】本题主要考查了基本不等式求最值，关键是配成可以用基本不等式的形式.属于基础题.
20．存在，a＝2，b＝8或a＝8，b＝2
【分析】利用进行转化，利用基本不等式求最值，并求得取最值的条件，即得到结论
【详解】
因为(x>0，y>0),
所以，
又的最小值为18，所以.
由得或,
故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．
【点评】
本题考查利用基本不等式求最值，关键是运用“乘1”法转化为利用基本不等式求最值，属中档题.
21．证明见解析.
【分析】由，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由为正数，且，
则
，
当且仅当时，等号成立，即.
【点评】本题主要考查了不等式的证明，其中解答中合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
22．证明见解析
【分析】根据基本不等式可得，，，然后根据不等式的性质相乘可证不等式成立
【详解】因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以，
同理，.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
【点评】本题考查了利用基本不等式和不等式的性质证明不等式，属于基础题.
23．（1）；（2）.
【分析】（1）用二次不等式的解集与对应二次方程的根的关系；
（2）“1”的巧用.
【详解】（1），解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：.
（2），则，
当，即时取等号，即时有最小值.
【点评】二次函数的零点二次方程的根二次不等式的解集；，构造“1”，巧用“1”.
24．
【分析】利用已知条件先整理，再利用基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当＝，即y＝2x时取等号；
又∵＋＝3，
∴x＝，y＝；
∴2x＋y的最小值为.
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，注意求解等号成立的条件.属于较易题.
25．
【分析】设该同学抛出此排球秒后球的高度为，可得出，根据题意得出不等式，整理得出，设该不等式的解集为，利用根与系数之间的关系可求出排球能在抛出点以上的位置最多停留的时间长为.
【详解】设该同学抛出此排球秒后球的高度为，则.
排球在抛出点以上时满足不等式，即.
设方程的两根为、，则，，
所以排球在抛出点以上的位置的运动时间为.
答：排球能在抛出点以上的位置最多停留.
【点评】本题考查一元二次不等式的应用，根据题意建立不等式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
26．（1）；（2）.
【分析】（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求出该函数的最小值；
（2）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求出该函数的最小值.
【详解】（1）当时，，当且仅当时等号成立，
所以当时，函数的最小值为；
（2），
当时，，所以，
当且仅当，即在时等号成立，
所以，当时，的最小值为.
【点评】利用基本不等式求最值时，要观察题中代数式的形式，若不能直接利用基本不等式，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能利用基本不等式的条件.
27．要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑台.
【分析】先利用题中条件计算出，然后计算出全年所付运费和保管费之和为（元）关于每批购入的台数的函数关系式为，然后利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出该问题的解答.
【详解】设全年所付运费和保管费之和为元.
由题意，得.
当时，，解得.
所以，，
则.
当且仅当，即时，等号成立.
所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑台.
【点评】本题考查基本不等式的应用，解题的关键就是要求出函数的解析式，并利用基本不等式求出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
28．（1）详见解析；
（2）详见解析；
（3）.
【分析】（1）对不等式分别使用基本不等式即可证明出；
（2）对不等式分别使用基本不等式即可证明出
；
（3）根据（1）（2）不等式的结构特征直接写出一般推广结论.
【详解】（1）（当且仅当=1时取等号）；
（2）（当且仅当时取等号）；
（3）推广：已知，，…，则（当且仅当时取等号）；
【点评】本题考查了基本不等式的应用与推广，考查了类比推理的能力.