3.1.2函数的单调性-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）

3.1.2函数的单调性
1．已知函数f(x)＝ 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
2．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上（ ）
A．递减 B．递增
C．先减后增 D．先增后减
3．已知幂函数在区间上是单调递增函数,则的值为( )
A． B． C． D．
4．设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（ ）
①若单调递增，单调递增，则单调递增；
②若单调递增，单调递减，则单调递增；
③若单调递减，单调递增，则单调递减；
④若单调递减，单调递减，则单调递减.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．已知函数是上的增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
7．如果在区间上为减函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），且对任意的x1，x2∈（-∞，1]（x1≠x2）有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＜0．则（　　）
A． B．
C． D．
11．已知函数y＝f（x）是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
12．已知函数在上是减函数，且，则满足的实数的取值范围是________.
13．函数在上是减函数，且，则的取值范围是________.
14．已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数且f（1）＝2，当x1、x2∈[－1，1]，且x1＋x2≠0时，有，若对所有、恒成立，则实数m的取值范围是____________.
15．已知函数若对任意的x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
16．已知函数，对一切，都有，则当时，的最大值为______.
17．已知函数.
(1)用函数单调性的定义证明在区间上为增函数;
(2)解不等式.
18．已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.
19．已知定义域在上的函数满足对于任意的，都有，当且仅当时，成立.
（1）设，求证；
（2）设，若，试比较x1与x2的大小；
（3）若，解关于x的不等式.
20．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）若函数的值域为，求实数b的值；
（2）已知，，求函数的单调区间和值域；
（3）对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数c的值.
21．是定义在上的奇函数，且
（1）求，的值；
（2）判断函数的单调性（不需证明），并求使成立的实数的取值范围.
22．一次函数是R上的增函数，，.
（1）求；
（2）对任意，恒有，求实数的取值范围.
23．函数（）：
（1）是否存在实数a使函数为奇函数？
（2）利用函数单调性定义探讨函数的单调性.
24．已知：函数.
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）试用定义判断函数在区间上的单调性.
25．已知函数.判断在上的单调性，并给予证明.
26．试用定义证明：函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.
27．设，画出函数的图象，并通过图象直观判断它的单调性.
28．已知定义在区间上的函数，满足：
i)对任意，都有；ii）当时，.
①判断并证明在区间上的单调性；
②解关于的不等式.
参考答案
1．D
【分析】根据分段函数的单调性可以得出，解出a的范围，从而求出答案.
【详解】由题意知实数a满足
解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0，2]．
故选：D.
【点评】本题考查分段函数的单调性，属于中等题.
2．C
【分析】将绝对值函数转化为分段函数形式，作出函数的图象即可知其区间单调性
【详解】y＝|x＋2|＝，即可作出y＝|x＋2|的图像，如图所示
易知在[－3,－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数
故选：C
【点评】本题考查了函数的单调性，首先将绝对值函数转化为分段函数，再结合各分段的区间及函数性质作图象，最后确定原函数的单调性
3．A
【分析】因为是幂函数,则,解得或,结合在区间上是单调递增函数,即可求得的值.
【详解】 是幂函数,则
解得或
又 在区间上是单调递增函数

故选:A.
【点评】本题考查了幂函数相关知识,掌握幂函数基础知识是解题关键,属于基础题.
4．C
【分析】利用函数单调性定义证明②③正确，举反例说明①④错误.
【详解】对于命题①，令，均为增函数，而为减函数，①错误；
对于命题②，设，则，，∴，∴，故单调递增，命题②正确；
对于命题③，设，则，，
∴，∴，故单调递减，命题③正确.
对于命题④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误.
故选：C
【点评】本题考查函数的单调性，属于基础题.
5．B
【分析】本题先求二次函数的对称轴，再根据题意建立不等式求解即可.
【详解】函数的对称轴为，且开口向上，
因为在上的增函数，
所以，解得：.
故选：B
【点评】本题考查二次函数的图像以及根据函数的单调性求参数，是基础题.
6．A
【分析】先判断函数单调性，然后利用其单调性解不等式.
【详解】
解：当时，，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且
当时，，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且，
所以在上为增函数，
因为，
所以，解得，
故选：A
【点评】
此题考查了分段函数的单调性，由函数的单调性解不等式，属于基础题.
7．B
【分析】当=时，=，符合题意.当时，由题意可得，求得的范围.综合可得的取值范围.
【详解】当时，，满足在区间上为减函数；
当时，由于的对称轴为，且函数在区间上为减函数，
则，解得.
综上可得，.
故选：B
【点评】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.
8．D
【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．
【详解】因为对任意的，有，
所以当时，，所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，即．
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．
9．A
【分析】求得函数在上的解析式，进而可判断出函数在上单调递增，由，可得出不等式对任意的实数恒成立，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由于函数为上的奇函数，则.
当时，，则.
所以，对任意的，，则函数为上的增函数.
由可得，即，
由题意可知，不等式对任意的实数恒成立.
①当时，则有，在不恒成立；
②当时，则.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A．
【点评】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中等题.
10．B
【分析】由已知得函数f（x）图象关于x=1对称且在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而可判断出大小关系.
【详解】解：∵当x1，x2∈（-∞，1]（x1≠x2）时有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＜0，
∴f（x）在（-∞，1]上单调递减，
∵f（x）=f（2-x），
∴函数f（x）的图象关于x=1对称，则f（x）在∈（1，+∞）上单调递增，
∴f（-1）=f（3）>f（2）＞f（1）
即f（-1）＞f（2）＞f（1）
故选B．
【点评】本题考查函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．
11．(－∞，1)
【分析】根据函数的单调性，将不等式等价转化为2x－3>5x－6，求解即可.
【详解】∵f（x）在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
故答案为: (－∞，1)．
【点评】本题考查函数单调性的应用，属于基础题.
12．
【分析】利用函数在上是减函数可得，解不等式即可.
【详解】由，若满足，则
又函数在上是减函数，
则，解得，所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点评】本题考查了利用函数的单调性解抽象函数不等式，属于基础题.
13．(－1，1)
【分析】根据函数单调性的性质将不等式进行转化即可．
【详解】解：函数在上是减函数，且，
，
解得，
故答案为：
【点评】本题主要考查函数单调性的逆用，属于基础题．
14． ．
【分析】由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式恒成立进行转化，构造函数即可得到结论．
【详解】∵f(x)是定义在上的奇函数，
∴当x1、x2∈且时，
等价于，
∴f(x)在上单调递增．
∵f（1）＝2，∴f(x)min＝f(－1)＝－f（1）＝－2.
要使对所有、恒成立，
即对所有a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am－3≤0，设g(a)＝m2－2am－3，
则 ， 即，
∴ .
∴实数m的取值范围是．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．
15．或.
【分析】求出分段函数的最大值，把不等式恒成立转化为大于等于的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数的取值范围．
【详解】对于函数
当x≤1时， ；
当x>1时， ，则函数f(x)的最大值为 .
则要使不等式恒成立，
则恒成立，即或.
故答案为：或
【点评】本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，考查运算能力，是中档题．
16．
【分析】推导出，利用绝对值三角不等式求得函数在、和上的最大值，结合已知条件可得出结果.
【详解】，，，
，，，
所以，
，
又对任意的，都有，
所以，当时，；
当时，
.
综上所述，当时，的最大值为.
故答案为：.
【点评】本题考查求含绝对值函数的最值，推导出是解题的关键，考查绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于难题.
17．(1)证明见解析;(2).
【分析】（1）通过计算，证得在区间上为增函数.
（2）利用的单调性，化简不等式，由此求得不等式的解集.
【详解】（1）的定义域为.任取，则.
当时，，而，所以，所以在区间上为增函数.
（2）由于，且由（1）知在区间上为增函数，所以由可得，即，解得.
【点评】本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.
18．（1）2；（2）单调递减，证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据，即可得答案；
（2）易得在上单调递减，再利用定义进行证明；
（3）利用奇偶性和单调性将不等式等价转化为对恒成立；
【详解】（1）为奇函数，；
（2）函数在上单调递减，
，且，
，
，
函数在上单调递减；
（3）为奇函数，
，
对恒成立，
对恒成立，
令，则，
.
【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的应用、不等式恒成立求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
19．（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析
【分析】（1）取，代入已知等式即可证得结果；
（2）由，结合（1）中等式，得到，再根据当且仅当时，成立得到，从而得到；
（3）在已知等式中取特值求出，由（2）可知函数f（x）在定义域上是减函数，在不等式中，用替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求.
【详解】（1）证明：∵，∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
又，所以，
∵当且仅当时，成立，∴当时，，∴，；
（3）解：代入得，即，
∴可得，
由（2）可知函数在定义域上是减函数，∴，
当时，，
所以恒成立；
故只需满足即成立即可；
即.当时，；当时，；
当时，；
综上可得：当时，；当时，；当时，
【点评】本题考查了函数单调性的定义，考查了含参一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知不等式结合函数的单调性得含有参数的不等式.
20．（1）；（2）单调减区间为，单调增区间为，值域为；（3）.
【分析】（1）先对进行讨论，然后根据函数的性质，求出函数的单调性，从而求得此函数的值域，进而可求得实数的值；
（2）令，根据函数的性质，可得函数的单调性，从而求出函数的值域；
（3）对任意，总存在，使得成立可转化成函数的值域为函数值域的子集，建立关系式，解之即可．
【详解】（1）当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则.
∵函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
∴在上是减函数，在上是增函数.
∴函数的值域为
∵函数的值域为
∴，即.
（2）∵
∴令，，则，.
∵函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
∴当，即时，函数单调递减，则单调减区间为；
当，即时，，函数单调递增，则单调增区间为.
∵，，
∴函数为的值域为.
（3）∵为减函数，
∴
∵对任意，总存在，使得成立
∴函数的值域为函数值域的子集
∴，解得
【点评】本题主要考查了利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．
21．（1），；（2）是定义在上的奇函数；的取值范围是[0，1)．
【分析】（1）由于是定义在上的奇函数，且，可得，从而可求出，的值，或利用奇函数的定义先求出的值，再用求出的值；
（2）由于为奇函数，所以可化为，
利用函数在上为增函数可得，再结合和可求出的取值范围.
【详解】解：（1）法一：是定义在上的奇函数，
则，得，解得，
经检验，时，是定义在上的奇函数，
法二：是定义在上的奇函数，
则，
即，则，
所以，又因为，得，
所以，.
（2）由（1）知，在上是增函数，
又因为是定义在上的奇函数，
由，
得，
所以，即①，
又，即②，
，即③，
由①②③得解得．故的取值范围是[0，1).
【点评】此题考查奇函数的性质，函数的单调性，利用奇函数的性质和单调性解不等式，属于中档题.
22．（1）；（2）.
【分析】（1）直接设，代入计算；
（2）求出在的最大值和最小值，由两者之差不大于24可得结论．
【详解】解：（1）∵一次函数是上的增函数，
∴设，
，
∴，解得， ∴.
（2）对任意，恒有等价于在上的最大值与最小值之差，由（1）知，
的对称轴为且开口向上，
在上单调递增，
，，
,解得，
综上可知，.
【点评】本题考查求函数解析式，考查二次函数的性质．在已知函数类型时可用待定系数法求函数解析式，二次函数是高中数学的一个重要函数，它贯穿整个高中数学的始终，必须熟练掌握．
23．（1）存在，；（2）定义域上的增函数
【分析】（1）因为的定义域为,所以由,代入函数解析式即可计算得出的值；
（2）根据函数单调性的定义，设，，且，判断出的符号，可得结论.
【详解】（1）因为的定义域为,所以由得，
即，解得，
∴当时，函数为奇函数；
（2）设，，且，则，
由可知，所以，，，
所以，即，
所以当a取任意实数，都为其定义域上的增函数.
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义运用，在考查函数的奇偶性时，注意需先考虑函数的定义域是否关于原点对称，属于中档题.
24．（1）；（2）函数在区间上单调递增.
【分析】（1）由函数是奇函数，则，即可求出参数的值；
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
【详解】解：（1）因为函数为奇函数，
所以
所以，当时，即
（2）设任意的，
则
因为，所以∴
所以
所以函数在区间上单调递增
【点评】本题考查函数的奇偶性求参数的值，利用定义法证明函数的单调性，属于基础题.
25．单调递减，证明见解析.
【分析】直接利用单调性的定义，作差比较即可判断.
【详解】在上单调递减.
证明如下：
设，则
，
由，则，，，
所以，即，
故在上单调递减.
【点评】本题主要考查了单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础题.
26．证明见解析.
【分析】由函数单调性的定义任取，设，通过作差得，当时，可证明；当时，可证明；即可得证.
【详解】证明：任取，设，
则
；
当时，，所以，
又即，所以，
所以，所以函数在区间上是减函数；
当时，，所以，
又即，所以，
所以，所以函数在区间上是增函数.
【点评】本题考查了定义法证明函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
27．图象见解析；函数在上单调递减，无单调增区间.
【分析】由反比例函数的图象结合函数图象的变换可得函数的图象；数形结合即可判断函数的单调性.
【详解】由题意，函数的图象为反比例函数图象的一支，
函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位得到，如图，
由函数图象可知，函数在上单调递减，无单调增区间.
【点评】本题考查了函数图象的变换及利用函数图象判断函数的单调性，属于基础题.
28．①单调递减；证明见解析；②.
【分析】①令，可得；进而可得对于任意的，，任取，设，可证明，即可得解；
②由函数的定义域及单调性可得，解不等式即可得解.
【详解】①函数在区间上单调递减，证明如下：
令，则，所以，
所以对于任意的，
均满足，所以，
任取，设，
则，
因为，所以，
所以，所以函数在区间上单调递减；
②由①得函数是定义在区间上的减函数，
因为，所以，
所以，解得，
所以原不等式的解集为.
【点评】本题考查了抽象函数单调性的证明及应用，考查了运算求解能力及转化化归思想，属于中档题.