3.4数学建模活动：决定的最佳售出时间-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）

3.4数学建模活动:决定的最佳售出时间
1．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）之间的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）之间的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
2．某种植物生长发育的数量与时间的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某物体一天中的温度T是关于时间t的函数：，时间单位是小时，温度单位是℃，表示中午12：00，其前t值为负，其后t值为正，则上午8时的温度是（ ）
A．8℃ B．12℃ C．58℃ D．18℃
4．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过500元的部分
超过500元的部分
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为　　
A．1500元 B．1550元 C．1750元 D．1800元
5．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为(　　)
A．2元 B．2.5元
C．1元 D．1.5元
6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
7．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数表示，其中是不小于m的最小整数，例如，，那么从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为（ ）
A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元
8．某生产厂家的生产总成本y（万元）与产量x（件）之间的关系式为，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为（ ）
A．52 B．53或54 C．53 D．52或53
9．李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为，（其中x为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（ ）
A．11000 B．22000 C．33000 D．40000
10．如图，某广场要规划一矩形区域ABCD，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1 m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m2，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为(　　)
A．248 m2 B．288 m2
C．328 m2 D．368 m2
11．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少________副.
12．某工厂8年来某产品的总产量y（吨）与时间t（年）的函数关系如图所示，则
①前3年总产量增长速度越来越快；
②前3年总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量持续增长.
上述说法中正确的是________（填序号）
13．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间之间的函数关系的图像，根据图像判断：通话，需付电话费______元；通话，需付电话费______元；如果，电话费（元）与通话时间之间的函数关系式是_______．
14．某校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为________m2.
15．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．
现给出下列说法：

①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(填序号)
16．一件商品成本为元，售价为元时每天能卖出件．若售价每提高元，每天销量就减少件，问商家定价为_______元时，每天的利润最大．
17．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)
（1）求函数的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
18．渔场中鱼群的最大养殖量为，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量应小于，以便留有适当的空闲量.已知鱼群的年增长量与实际养殖量和空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为.
（1）写出关于的函数关系式，并指出该函数的定义域;
（2）求鱼群年增长量的最大值.
19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；　
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
20．某地的出租车价格规定：起步费11元，可行驶3千米；3千米以后按每千米元计价，可再行驶7千米；以后每千米都按3.15元计价.

（1）写出车费（元）与行车里程（千米）之间的函数关系式.
（2）在坐标系中画出（1）中函数的图像.
（3）现某乘客要打车到14千米的地方，有三个不同的方案打出租车.甲方案：每次走完起步费的路程后就重新打出租车，直到走完全部路程；乙方案：先乘出租车走完10千米的路程，再重新打出租车一直走完剩下的路程；丙方案：只乘一辆出租车到底.试比较哪种方案乘客省钱？
21．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）?且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
22． 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立; 恒成立．
(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
23．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系分别如图①、②所示．
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？
24．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．
（1）求及定义域；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
25．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
26．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.旅行社需付给航空公司包机费每团15000元.
（1）写出飞机票的价格y（单位：元）关于人数x（单位：人）的函数关系式；
（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
参考答案
1．C
【分析】根据两个图像，对四个选项逐项分析，由此判断出结论错误的选项.
【详解】对于A选项，在图①中，时，，故A选项结论正确.对于B选项，根据图②，的中点坐标为，故B选项结论正确.对于D选项，由图①知第天销售件，由图①知第天一件产品利润为元，故日销售利润为元，故D选项结论正确.由①知的中点为，即第天和第天的销售量相同，根据图②，第天的一件产品利润高于第天产品利润，故第天与第天这两天的日销售利润不相等，故C选项结论错误.故本小题选C.
【点评】本小题主要考查图像分析与理解能力，考查实际生活的函数案例，属于基础题.
2．D
【分析】将各数据代入选项，依次判断即可得到结论.
【详解】由题知：
当时，，而选项B，当时，，故排除B.
当时，，而选项A，当时，，故排除A，
选项C，当时，，故排除C，
选项D，当时，，时，，D正确.
故选：D
【点评】本题主要考查函数模型的选择，考查学生分析问题的能力，属于简单题.
3．A
【分析】根据题意上午8时，即代入函数表达式即可.
【详解】求上午8时的温度，
即求时函数的值，所以.
故选A.
【点评】本题考查求二次函数值，属于基础题.
4．A
【分析】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，可得到获得的折扣金额元与购物总金额元之间的解析式，结合，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．
【详解】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，
由题设可知：，
因为，所以，所以，解得，
故此人购物实际所付金额为（元），故选A．
【点评】本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．
5．D
【分析】根据经济效益为每件获利×每天卖出商品件数，可构建函数关系式，利用配方法，即可求得所求每件单价．
【详解】设每件降价0.1x元，则每件获利（4-0.1x）元，每天卖出商品件数为（1000+100x）．
经济效益：y=（4-0.1x）（1000+100x）=-10x2+300x+4?000=-10（x2-30x+225-225）+4000
=-10（x-15）2+6?250．
∴x=15时，ymax=6?250．
即每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．
【点评】本题利用数学知识解决实际问题，解题的关键是寻找等量关系，构建函数关系式，利用配方法解决二次函数最值问题．
6．C
【分析】因为第二次加满油箱，加了60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶600公里，从而可得结果.
【详解】因为第二次加满油箱，加了60升，
所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶600公里（等于6千米），
所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，所以选C.
【点评】本题主要考查阅读能力、建模能力以及转化与划归思想的应用，属于中档题.
7．B
【分析】首先利用是不小于m的最小整数求出，再直接代入
即可求出结论.
【详解】由是大于或等于m的最小整数可得，
所以.
故选B.
【点评】本题涉及到了对新定义的考查，解决本题的关键在于对是不小于m的最小整数的理解和应用，求出.
8．D
【分析】根据题意，可设所获利润，由此可得到一个二次函数，利用二次函数的顶点式即可求得利润最大时应生产的产品件数.
【详解】因为利润=收入-成本，当产量为件时，利润，
所以，
所以或时，有最大值.
故选D.
【点评】本题是一元二次函数的应用题，解题的关键是得到所获利润与产量的函数关系.
9．C
【解析】试题分析：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售辆，故利润，所以当x=60辆时，有最大利润33000元，故选C．
考点：函数的最大值．
10．B
【解析】设绿化区域小矩形的宽为x，长为y，
则3xy＝200，∴y＝，
故矩形区域ABCD的面积
S＝(3x＋4)(y＋2)＝(3x＋4)
＝208＋6x＋≥208＋2＝288，
当且仅当6x＝，即x＝时取“＝”，
∴矩形区域ABCD的面积的最小值为288 m2.
故答案为B.
点睛：这个题目考查的是函数的实际应用,一般对于函数的实际应用题先由题意构建数学模型，将实际问题转化为数学表达式，注意表达式中的自变量的实际意义，再由数学中的函数知识将问题解决.
11．800
【分析】根据题意列出出厂价格和成本之间的不等关系式，解出即可.
【详解】解:由题知，解得，即日产手套至少800副时才不亏本.
故答案为800
【点评】本题考查一次函数在实际生活中的应用，属于基础题.
12．①③
【分析】分别根据图像的递增速度的变化，判断总产量的增长速度，利用总产量的数值变化判断生产状况.
【详解】解:由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快；
而图像在区间上平行于x轴，说明总产量没有变化，
所以第3年后该产品停止生产：
因此只有①③正确.
故答案为①③
【点评】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用图像的变化趋势，由图像分析相应的量的变化趋势，是解决本题的关键.
13． 6
【分析】（1）根据图像可知通话3分钟以内收费为3.6元，（2）根据时的函数值解答，（3）设与的关系式为，利用待定系数法求出一次函数解析式．
【详解】由题图知，通话3分钟以内收费为3.6元，所以通话，需付电话费元，
根据图像可知，分钟，元，所以通话，需付电话费6元.
当时，设与的关系式为设，
由于图像过点，，则有
解得.
故答案为3.6，6，
【点评】本题考查一次函数的应用，主要利用待定系数法求一次函数的解析式，准确识图确定函数图像经过的点的坐标，并理解射线的意义是解题的关键．
14．
【分析】先设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为，又设占地面积为ym2，依题意，写出函数y的解析式，再利用基本不等式求出此函数的最小值即得游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小．
【详解】设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为，
又设占地面积为ym2，
依题意，得，
当且仅当，即x＝28时，取“＝”．
答：游泳池的长为28m，宽为14m时，占地面积最小为648m2.
故答案为648
【点评】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、基本不等式的知识解决实际问题的能力．
15．②④
【解析】由图像可知前5min中温度增加，但是增加速度越来越慢，所以②对，①错．5min以后温度图像是一条水平线，所以温度保持不变，④对，③错，选②④．
【点评】当图像是一条直线的增函数时，是匀速增加．当图像为上凸的增函数时（如本题），增加速度是越来越慢的．当图像为下凸的增函数时增加速度是越来越快的．
16．55
【详解】设提高元，则销量为，
利润为：.
当时，即定价为55元时每天的利润最大.
故答案为55.
17．（1）；（2）日租金定为元时，日净收入最多，为元.
【分析】（1）分别求出和时，函数的解析式即可.
（2）分别求出和时，函数的最大值，再比较即可得到答案.
【详解】（1）由题知：当时，，
令，解得，因为，所以，.
当时，，，.
所以.
（2）当，且时，为增函数，
所以元.
当，且时，，
当时，元.
综上所述，当每日自行车日租金定为元时，日净收入最多，为元.
【点评】本题主要考查函数的模型，同时考查一次函数和二次函数的最值问题，属于简单题.
18．（1）； （2）鱼群年增长量的最大值为.
【分析】（1）根据空闲率可得.
（2）利用二次函数的性质可得鱼群年增长量的最大值.
【详解】（1）由已知得空闲率为，
所以.
（2）.
因为，所以当时，y取得最大值.
即鱼群年增长量的最大值为.
【点评】本题考查二次函数在实际问题中的应用，注意审题并根据题设条件建立数学模型，本题属于基础题.
19．（1），，；（2）从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
【分析】（1）由题意，根据分段函数与二次函数的图像，分别求出函数解析式即可；
（2）设上市时间为时的纯收益为，根据题意，由（1）的结果得到，分别求出每一段的最大值，即可得出结果.
【详解】（1）由图1可得，当时，；
当时，，
即图1表示的市场售价与时间的函数关系式；
由图2，设对应的二次函数解析式为，
又该函数过点，所以，解得，
则，；
（2）设上市时间为时的纯收益为，
则由题意，得，
即，
当时，，
当时，取得最大值；
当时，，
当时，取得最大值.
综上，当，即从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
【点评】本题主要考查二次函数模型与分段函数模型的应用，属于常考题型.
20．（1）（2）见解析；（3）丙方案乘客省钱
【分析】（1）根据题意列出在不同范围内的函数表达式，得出分段函数；
（2）分段画出函数图像即可．
（3）分别计算不同的函数值，比较即可．
【详解】（1）
（2）
参考点：A、横纵坐标单位刻度可以不一致，要标注 、轴的单位；B、要体现出关键点对应的横、纵坐标；C、要是三条折线（段）；D、与轴的交点要画小圆圈.
（3）甲方案：需要5次打车，共计打车费用为55元；
乙方案：10千米的路程费用为（元），
剩下的4千米的费用：（元）
乙方案共计费用为25.7+13.1=38.8（元）
丙方案：（元）
所以，丙方案乘客省钱.
【点评】考查了利用分段函数模型解决实际问题，难点是对分段函数的理解和应用．
21．（1）16天（2）
【分析】(1)由题意首先得到该药剂在水中释放的浓度的解析式，然后求解不等式即可确定自来水达到有效净化一共可持续的天数.
（2）由确定各段的单调性，求出值域，然后将原问题转化为恒成立的问题可得m的最小值.
【详解】（1）由题意，当药剂质量为m=4，所以
当时，显然符合题意．
当x＞4时，解得，
综上，
所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
（2）由，得：
在区间（0，4]上单调递增，即；
在区间（4，7]上单调递减，即，
综上，
为使恒成立，只要且即可，
即所以应该投放的药剂质量m的最小值为
【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各段解析式，属于中档题．
22．(1) 函数模型，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2]
【分析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a的范围，取交集即可.
【详解】(1)对于函数模型,
当x∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数恒成立，即,解得x≥60．∴不恒成立，
综上所述，函数模型，满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型，不符合公司要求．
(2)当x∈[25，1600]时，单调递增，
∴最大值∴
设恒成立，∴恒成立，即,
∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4
∵a≥1, ∴1≤a≤2, 故a的取值范围为[1，2]
【点评】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.
23．（1）y1＝x＋29，y2＝x；（2）见解析.
【分析】（1）由图可知，与通话时间成一次函数，与通话时间成正比例函数，设出函数解析式，代入点的坐标得答案；
（2）当两种卡的收费相等时，可求出值，当通话时间小于此值，便民卡便宜，当通话时间大于此值，如意卡便宜．
【详解】(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29，y2＝x.
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，即使用“便民卡”便宜；
当x>96时，y1【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查了利用待定系数法求一次函数解析式，是基础题．
24．（1）；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.
【分析】（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资万元，，即可求出答案．
（2）令，则．．利用二次函数的单调性即可得出答案．
【详解】解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120-x万元．
∴，
依题意得，解得．
故．
（2）令，则．
∴．
当，即万元时，y的最大值为44万元
∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．
【点评】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
25．（1）；（2）甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大, 且最大收益为万元.
【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，此时直接计算即可；（2）列出总收益的函数式得，令，换元将函数转换为关于的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的值.
试题解析： （1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
∴
（2），
依题得，即，
故.
令，则，
当时，即时，，
∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.
考点：1.函数建模；2.二次函数.
26．（1）；（2）当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
【分析】（1）根据题意将表示为分段函数的形式.
（2）根据一次函数、二次函数的性质求得利润最大时每团的人数.
【详解】(1)由题意，得即.
(2)设旅行社获利S(x)元，则，
即
因为S(x)＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，所以当x＝30时，S(x)取最大值12000元，
又S(x)＝－10(x－60)2＋21000在区间(30,75]上，当x＝60时，S(x)取得最大值21000.
故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
【点评】本小题主要考查分段函数模型的应用，属于中档题.