3.2函数与方程、不等式之间的关系-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2函数与方程、不等式之间的关系-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-29 00:15:45 | ||
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文档简介
3.2函数与方程、不等式之间的关系
-高中数学人教B版（2019）必修第一册同步提高练习
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的方程有两个实根1，2，则函数的零点为（ ）
A．1，2 B．-1，-2 C．1， D．-1，
3．下列图象表示的函数中没有零点的是
A． B．
C． D．
4．函数的零点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设函数，且，则等于（ ）
A． B．3 C． D．5
6．已知函数是奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数的零点有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
8．已知是函数的一个零点，则函数的零点是（ ）
A．-1，1 B．0，-1 C．1，0 D．2，1
9．函数满足，则在（1，2）上的零点（ ）
A．至多有一个 B．有1个或2个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
10．已知函数，并且，是方程的两个根，则的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
12．已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是（ ）
A．2或3 B．3或4 C．3 D．4
13．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
14．函数的值域为__________.
15．若函数只有一个零点，则实数______.
16．若函数的一个零点为，则______.
17．若函数，则函数的零点是______.
18．对于实数和，定义运算“*”：，设函数，，若方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是______.
19．已知是定义在[-1，1]上的奇函数且，若a?b∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.
（1）判断函数在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.
（2）解不等式.
（3）若对所有?， 恒成立，求实数m的取值范围.
20．已知函数，
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）求函数的最大值和最小值.
21．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且.
（1）请指出图中曲线，分别对应的函数；
（2）结合函数图象，判断的大小.
22．若函数为上的奇函数，且当时，．
（1）求在的解析式；
（2）若，，试讨论取何值时，零点的个数最多？最少？
23．求证：函数的零点有且只有一个，且该零点位于区间．
24．设是上的奇函数，，当时，.
（1）求的值；
（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积.
25．已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；
（3）若定义域为，解不等式.
26． 已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解，观察图象可得结果.
【详解】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解.
而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点.
另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点.
根据二分法的理论依据选项B不能用二分法求图中函数零点，
故选：B.
【点评】本题考查二分法求函数零点，关键是理解零点两侧函数值的正负问题，是基础题.
2．C
【分析】由韦达定理得出的关系，代入方程可求得的零点．
【详解】方程有两个实根1，2，则，所以，，于是
所以该函数的零点是1，．
故选C
【点评】本题考查零点的定义，解方程可得函数的零点．本题属于基础题．
3．A
【分析】根据图象观察图象与x轴有无交点，从而判断函数有无零点,据此得出选项.
【详解】根据图象可知：
B选项的图象与x轴有一个交点，B选项的图象表示的函数有一个零点；
C选项的图象与x轴有两个交点，C选项的图象表示的函数有两个零点；
D选项的图象与x轴有两个交点，D选项的图象表示的函数有两个零点；
而A选项的图象与x轴没有交点，所以A选项的图象表示的函数没有零点.
故选A.
【点评】本题考查函数的图象与x轴的交点情况与函数的零点情况之间的关系，属于基础题.
4．A
【分析】二次函数，可用二次方程的判别式判断零点个数．
【详解】令，，所以方程无实数根，故函数无零点．
故选：A.
【点评】本题考查函数的零点个数问题，对二次函数来讲只要用二次方程的判别式就可进行判断，即时，两个零点，时，1个零点，时，没有零点．
5．C
【分析】令，由函数奇偶性的定义可得是奇函数，再由奇函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
所以是奇函数，
又，所以，
所以.
故选：C.
【点评】本题考查了函数奇偶性的证明及应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.
6．A
【分析】计算出的值，利用奇函数的性质可求得的值，由此可求得的值.
【详解】由于函数是奇函数，则，
所以，，因此，.
故选：A.
【点评】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.
7．C
【分析】由根的判别式可得方程有两个不相等的实根，即可得到函数的零点个数；
【详解】解：，
所以方程有两个不相等的实根，故函数有2个零点.
故选：C
【点评】本题考查函数的零点，属于基础题.
8．C
【分析】根据零点的定义求出关系，再解方程得所求零点．
【详解】因为是函数的一个零点，所以，所以，所以，令，得或.
故选：C.
【点评】本题考查零点的定义，解相应方程即可得出．
9．C
【分析】若,则是一次函数，根据条件有函数在（1，2）上只有一个零点，若，根据条件则在上必有零点，假设在上有两个零点，则得到矛盾，从而得出零点个数.
【详解】若，则是一次函数，由，
，可得其在（1，2）上只有一个零点.
若，则是二次函数，由，
则在上必有零点.
若在上有两个零点，
则必有，与已知矛盾.
故在上有且只有一个零点.
综上所述，则在上的零点有且仅有一个.
故选：C.
【点评】本题考查函数零点个数的求解问题，注意对二次项系数的讨论，属于基础题.
10．C
【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.
【详解】由题意得，，而，借助图像可知，
的大小关系可能是，
故选：C.
【点评】本题考查二次函数与二次方程的关系，考查数形结合思想，是中档题.
11．B
【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．A
【分析】由题意可知，函数的零点个数，等价于方程或的根的个数，等价于函数的图象与直线，的交点个数，画图求解，即可.
【详解】如图所示，
因为函数的零点为
所以．
因为，
所以或．
因为函数的最小值为，且，画出直线，．
则直线与必有两个交点，此时有2个实数根.
即函数由两个零点．
直线与可能有一个交点或无交点，此时有一个实数根或无实数根．
综上可知：函数的零点有2个或3个．
故选：A
【点评】本题考查函数零点的个数问题，属于较难题.
13．
【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
14．
【分析】由对勾函数的图象和性质得解.
【详解】
由题得函数的定义域为.
由对勾函数的性质得函数在单调递减，在单调递增，在单调递增，在单调递减.
.
所以函数的值域为.
故答案为：.
【点评】本题主要考查对勾函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．0或
【分析】分为和进行讨论，分别判断函数只有一个零点时，满足的要求，从而得到关于的方程，得到答案.
【详解】当时，，解得，
满足函数只有一个零点的要求；
当时，函数为二次函数，
因为函数只有一个零点，
所以，解得.
故实数或.
【点评】本题考查由函数的零点个数求参数的值，属于简单题.
16．0
【分析】将代入函数得到函数值为，从而求出的值，确定出解析式，再代入，求出的值.
【详解】因为函数的一个零点为，
所以是方程的一个根，
则，
解得，
所以，
则.
【点评】本题考查根据函数的零点求参数的值，求具体函数的函数值，属于简单题.
17．
【分析】先表示出，再令，解出方程的解，得到零点.
【详解】由题意可得
.
令，即，
解得，
则函数的零点是.
【点评】本题考查求具体函数的零点，属于简单题.
18．
【分析】根据给出的新定义运算，得到函数的解析式，画出的示意图，由的图像和的图像有且仅有两个交点，从而得到的取值范围.
【详解】函数
由条件中给出的新定义运算可得
画出的图像如图所示，
要使方程恰有两个不同的实根，
则的图像和的图像有且仅有两个交点
由数形结合可得实数的取值范围是.
【点评】本题考查新定义运算，根据零点个数求参数的范围，数形结合解决函数与方程的问题，属于中档题.
19．（1）是增函数，证明见解析;（2） ;（3）
【分析】（1）要证明在上的单调性，应考虑定义，设出上的两个变量，作差并根据对其变形，判断出它的符号，即得其单调性；
（2）在（1）证明其单调性的基础上，结合其定义域和奇偶性，把不等式转化为关于的不等式组求解；
（3）若对所有?， 恒成立，则，对恒成立，进而构造函数，可得：，解得实数的取值范围．
【详解】（1）任取，且，则，
又∵为奇函数，
∴，
由已知得，，
∴，即.
∴在上单调递增.
（2）∵在上单调递增，
∴，∴，
∴不等式的解集为.
（3）因为在[﹣1，1]上是增函数，
所以，即1是的最大值．
若对所有?恒成立，
则有，对恒成立，
即恒成立．
令，它的图象是一条线段，
那么，
解得：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.
20．（1）增函数.证明见解析；（2），.
【分析】（1）设，且，根据单调性的定义，判定函数单调性即可；
（2）根据函数单调性，即可直接得出最值.
【详解】（1）设，且，
所以，
∵，∴，，
∴，即，在上为增函数；
（2）在上为增函数，则，
.
【点评】本题主要考查函数单调性的判定，以及由函数单调性求最值，属于常考题型.
21．（1）对应的函数为，对应的函数为；
（2）.
【分析】（1）根据和的图象和性质可得正确的匹配.
（2）根据图象可得.
【详解】（1）当较大时，总有，故为 的图象，为函数的图象.
（2）由图象可得有两个不同的解，
当或时，有；
当时，有，
令，因为，，，
由零点存在定理可以得到，
所以，，
又为上的增函数，故，所以.
【点评】本题考查图象的性质和应用，注意根据图象得到零点的个数，再根据函数的性质判断零点的范围以及不等式的解，本考题考查学生的数学抽象、数据分析的数学素养，本题为中档题.
22．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）由奇函数的性质得出，并设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的定义得出函数在的表达式，由此可得出函数在上的表达式；
（2）令，得出，作出函数与直线的图象，结合图象得出实数在不同取值下函数的零点个数，由此可得出函数零点最多和最少时，实数的取值.
【详解】（1）由于函数为上的奇函数，则；
当时，，.
综上所述，；
（2）令，得出，作出函数与直线的图象如下图所示：
当时，有个零点；
当或时，有个零点；
当时，有个零点；
当或时，有个零点；
当或时，有个零点；
综上所述，当时，零点的个数最多；当或时，零点的个数最少．
【点评】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查化归与转化思想、数形结合思想的应用，属于中等题.
23．证明见解析.
【分析】利用函数单调性的定义证明出函数在上为增函数，结合零点存在定理可证得结论.
【详解】任取、，且，
则，
，，，，
则函数在上为增函数，
又，，
由零点存在定理可知，函数的零点有且只有一个，且该零点位于区间.
【点评】本题考查函数零点存在性的证明，解答的关键就是利用定义证明出函数的单调性，考查推理能力，属于中等题.
24．（1）；（2）.
【分析】（1）由可得函数的周期为，然后利用周期性确定的值；
（2）根据函数的性质画出的图象，然后计算当时,的图象与轴围成的图象的面积.
【详解】（1）由得，
，
所以是以为周期的周期函数，
所以.
（2）由是奇函数且，
得，
即.
故知函数的图象关于直线对称.
又当时，，且的图象关于原点成中心对称，则在上的图象如下图所示：
当时，的图象与轴围成的图形面积为，则.
【点评】本题考查函数的周期性、对称性的运用，考查函数的图象及应用，难度一般.解答时，确定函数的周期、对称轴是关键.
25．（1）为奇函数，证明见解析；（2）为增函数，证明见解析；
（3）.
【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义，即可得到函数的奇偶性；
（2）根据函数的单调性的定义和判定方法，即可求得函数的单调性；
（3）由（1）、（2）把不等式转化为，结合单调性，得出不等式组，即可求解.
【详解】（1）函数为奇函数.
证明如下：
由函数，可得定义域为，
又由，所以为奇函数.
（2）函数在为单调函数.
证明如下：
任取，则
，
因为，所以，可得，
即，故在上为增函数.
（3）因为，即，
由（1）、（2）可得，
可得，解得，所以原不等式的解集为.
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判定与证明，以及利用函数的性质求解不等式，其中解答中熟记函数的单调性和奇偶性的定义，以及熟练应用函数的单调性转化为不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
26．（1）1和3 (2) b的取值范围为(4，＋∞)
【解析】试题分析：（1）由，得出，再将代入函数，解方程即可；（2）根据二次函数的图象，只需即可.
试题解析：(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，
即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
点睛：二次函数零点的分布问题应结合二次函数的图象，应从开口方向、对称轴的位置、判别式、区间端点函数值的正负四个方面考虑，有的可以省略掉.
-高中数学人教B版（2019）必修第一册同步提高练习
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的方程有两个实根1，2，则函数的零点为（ ）
A．1，2 B．-1，-2 C．1， D．-1，
3．下列图象表示的函数中没有零点的是
A． B．
C． D．
4．函数的零点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设函数，且，则等于（ ）
A． B．3 C． D．5
6．已知函数是奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数的零点有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
8．已知是函数的一个零点，则函数的零点是（ ）
A．-1，1 B．0，-1 C．1，0 D．2，1
9．函数满足，则在（1，2）上的零点（ ）
A．至多有一个 B．有1个或2个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
10．已知函数，并且，是方程的两个根，则的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
12．已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是（ ）
A．2或3 B．3或4 C．3 D．4
13．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
14．函数的值域为__________.
15．若函数只有一个零点，则实数______.
16．若函数的一个零点为，则______.
17．若函数，则函数的零点是______.
18．对于实数和，定义运算“*”：，设函数，，若方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是______.
19．已知是定义在[-1，1]上的奇函数且，若a?b∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.
（1）判断函数在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.
（2）解不等式.
（3）若对所有?， 恒成立，求实数m的取值范围.
20．已知函数，
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）求函数的最大值和最小值.
21．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且.
（1）请指出图中曲线，分别对应的函数；
（2）结合函数图象，判断的大小.
22．若函数为上的奇函数，且当时，．
（1）求在的解析式；
（2）若，，试讨论取何值时，零点的个数最多？最少？
23．求证：函数的零点有且只有一个，且该零点位于区间．
24．设是上的奇函数，，当时，.
（1）求的值；
（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积.
25．已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；
（3）若定义域为，解不等式.
26． 已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解，观察图象可得结果.
【详解】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解.
而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点.
另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点.
根据二分法的理论依据选项B不能用二分法求图中函数零点，
故选：B.
【点评】本题考查二分法求函数零点，关键是理解零点两侧函数值的正负问题，是基础题.
2．C
【分析】由韦达定理得出的关系，代入方程可求得的零点．
【详解】方程有两个实根1，2，则，所以，，于是
所以该函数的零点是1，．
故选C
【点评】本题考查零点的定义，解方程可得函数的零点．本题属于基础题．
3．A
【分析】根据图象观察图象与x轴有无交点，从而判断函数有无零点,据此得出选项.
【详解】根据图象可知：
B选项的图象与x轴有一个交点，B选项的图象表示的函数有一个零点；
C选项的图象与x轴有两个交点，C选项的图象表示的函数有两个零点；
D选项的图象与x轴有两个交点，D选项的图象表示的函数有两个零点；
而A选项的图象与x轴没有交点，所以A选项的图象表示的函数没有零点.
故选A.
【点评】本题考查函数的图象与x轴的交点情况与函数的零点情况之间的关系，属于基础题.
4．A
【分析】二次函数，可用二次方程的判别式判断零点个数．
【详解】令，，所以方程无实数根，故函数无零点．
故选：A.
【点评】本题考查函数的零点个数问题，对二次函数来讲只要用二次方程的判别式就可进行判断，即时，两个零点，时，1个零点，时，没有零点．
5．C
【分析】令，由函数奇偶性的定义可得是奇函数，再由奇函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
所以是奇函数，
又，所以，
所以.
故选：C.
【点评】本题考查了函数奇偶性的证明及应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.
6．A
【分析】计算出的值，利用奇函数的性质可求得的值，由此可求得的值.
【详解】由于函数是奇函数，则，
所以，，因此，.
故选：A.
【点评】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.
7．C
【分析】由根的判别式可得方程有两个不相等的实根，即可得到函数的零点个数；
【详解】解：，
所以方程有两个不相等的实根，故函数有2个零点.
故选：C
【点评】本题考查函数的零点，属于基础题.
8．C
【分析】根据零点的定义求出关系，再解方程得所求零点．
【详解】因为是函数的一个零点，所以，所以，所以，令，得或.
故选：C.
【点评】本题考查零点的定义，解相应方程即可得出．
9．C
【分析】若,则是一次函数，根据条件有函数在（1，2）上只有一个零点，若，根据条件则在上必有零点，假设在上有两个零点，则得到矛盾，从而得出零点个数.
【详解】若，则是一次函数，由，
，可得其在（1，2）上只有一个零点.
若，则是二次函数，由，
则在上必有零点.
若在上有两个零点，
则必有，与已知矛盾.
故在上有且只有一个零点.
综上所述，则在上的零点有且仅有一个.
故选：C.
【点评】本题考查函数零点个数的求解问题，注意对二次项系数的讨论，属于基础题.
10．C
【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.
【详解】由题意得，，而，借助图像可知，
的大小关系可能是，
故选：C.
【点评】本题考查二次函数与二次方程的关系，考查数形结合思想，是中档题.
11．B
【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．A
【分析】由题意可知，函数的零点个数，等价于方程或的根的个数，等价于函数的图象与直线，的交点个数，画图求解，即可.
【详解】如图所示，
因为函数的零点为
所以．
因为，
所以或．
因为函数的最小值为，且，画出直线，．
则直线与必有两个交点，此时有2个实数根.
即函数由两个零点．
直线与可能有一个交点或无交点，此时有一个实数根或无实数根．
综上可知：函数的零点有2个或3个．
故选：A
【点评】本题考查函数零点的个数问题，属于较难题.
13．
【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
14．
【分析】由对勾函数的图象和性质得解.
【详解】
由题得函数的定义域为.
由对勾函数的性质得函数在单调递减，在单调递增，在单调递增，在单调递减.
.
所以函数的值域为.
故答案为：.
【点评】本题主要考查对勾函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．0或
【分析】分为和进行讨论，分别判断函数只有一个零点时，满足的要求，从而得到关于的方程，得到答案.
【详解】当时，，解得，
满足函数只有一个零点的要求；
当时，函数为二次函数，
因为函数只有一个零点，
所以，解得.
故实数或.
【点评】本题考查由函数的零点个数求参数的值，属于简单题.
16．0
【分析】将代入函数得到函数值为，从而求出的值，确定出解析式，再代入，求出的值.
【详解】因为函数的一个零点为，
所以是方程的一个根，
则，
解得，
所以，
则.
【点评】本题考查根据函数的零点求参数的值，求具体函数的函数值，属于简单题.
17．
【分析】先表示出，再令，解出方程的解，得到零点.
【详解】由题意可得
.
令，即，
解得，
则函数的零点是.
【点评】本题考查求具体函数的零点，属于简单题.
18．
【分析】根据给出的新定义运算，得到函数的解析式，画出的示意图，由的图像和的图像有且仅有两个交点，从而得到的取值范围.
【详解】函数
由条件中给出的新定义运算可得
画出的图像如图所示，
要使方程恰有两个不同的实根，
则的图像和的图像有且仅有两个交点
由数形结合可得实数的取值范围是.
【点评】本题考查新定义运算，根据零点个数求参数的范围，数形结合解决函数与方程的问题，属于中档题.
19．（1）是增函数，证明见解析;（2） ;（3）
【分析】（1）要证明在上的单调性，应考虑定义，设出上的两个变量，作差并根据对其变形，判断出它的符号，即得其单调性；
（2）在（1）证明其单调性的基础上，结合其定义域和奇偶性，把不等式转化为关于的不等式组求解；
（3）若对所有?， 恒成立，则，对恒成立，进而构造函数，可得：，解得实数的取值范围．
【详解】（1）任取，且，则，
又∵为奇函数，
∴，
由已知得，，
∴，即.
∴在上单调递增.
（2）∵在上单调递增，
∴，∴，
∴不等式的解集为.
（3）因为在[﹣1，1]上是增函数，
所以，即1是的最大值．
若对所有?恒成立，
则有，对恒成立，
即恒成立．
令，它的图象是一条线段，
那么，
解得：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.
20．（1）增函数.证明见解析；（2），.
【分析】（1）设，且，根据单调性的定义，判定函数单调性即可；
（2）根据函数单调性，即可直接得出最值.
【详解】（1）设，且，
所以，
∵，∴，，
∴，即，在上为增函数；
（2）在上为增函数，则，
.
【点评】本题主要考查函数单调性的判定，以及由函数单调性求最值，属于常考题型.
21．（1）对应的函数为，对应的函数为；
（2）.
【分析】（1）根据和的图象和性质可得正确的匹配.
（2）根据图象可得.
【详解】（1）当较大时，总有，故为 的图象，为函数的图象.
（2）由图象可得有两个不同的解，
当或时，有；
当时，有，
令，因为，，，
由零点存在定理可以得到，
所以，，
又为上的增函数，故，所以.
【点评】本题考查图象的性质和应用，注意根据图象得到零点的个数，再根据函数的性质判断零点的范围以及不等式的解，本考题考查学生的数学抽象、数据分析的数学素养，本题为中档题.
22．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）由奇函数的性质得出，并设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的定义得出函数在的表达式，由此可得出函数在上的表达式；
（2）令，得出，作出函数与直线的图象，结合图象得出实数在不同取值下函数的零点个数，由此可得出函数零点最多和最少时，实数的取值.
【详解】（1）由于函数为上的奇函数，则；
当时，，.
综上所述，；
（2）令，得出，作出函数与直线的图象如下图所示：
当时，有个零点；
当或时，有个零点；
当时，有个零点；
当或时，有个零点；
当或时，有个零点；
综上所述，当时，零点的个数最多；当或时，零点的个数最少．
【点评】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查化归与转化思想、数形结合思想的应用，属于中等题.
23．证明见解析.
【分析】利用函数单调性的定义证明出函数在上为增函数，结合零点存在定理可证得结论.
【详解】任取、，且，
则，
，，，，
则函数在上为增函数，
又，，
由零点存在定理可知，函数的零点有且只有一个，且该零点位于区间.
【点评】本题考查函数零点存在性的证明，解答的关键就是利用定义证明出函数的单调性，考查推理能力，属于中等题.
24．（1）；（2）.
【分析】（1）由可得函数的周期为，然后利用周期性确定的值；
（2）根据函数的性质画出的图象，然后计算当时,的图象与轴围成的图象的面积.
【详解】（1）由得，
，
所以是以为周期的周期函数，
所以.
（2）由是奇函数且，
得，
即.
故知函数的图象关于直线对称.
又当时，，且的图象关于原点成中心对称，则在上的图象如下图所示：
当时，的图象与轴围成的图形面积为，则.
【点评】本题考查函数的周期性、对称性的运用，考查函数的图象及应用，难度一般.解答时，确定函数的周期、对称轴是关键.
25．（1）为奇函数，证明见解析；（2）为增函数，证明见解析；
（3）.
【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义，即可得到函数的奇偶性；
（2）根据函数的单调性的定义和判定方法，即可求得函数的单调性；
（3）由（1）、（2）把不等式转化为，结合单调性，得出不等式组，即可求解.
【详解】（1）函数为奇函数.
证明如下：
由函数，可得定义域为，
又由，所以为奇函数.
（2）函数在为单调函数.
证明如下：
任取，则
，
因为，所以，可得，
即，故在上为增函数.
（3）因为，即，
由（1）、（2）可得，
可得，解得，所以原不等式的解集为.
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判定与证明，以及利用函数的性质求解不等式，其中解答中熟记函数的单调性和奇偶性的定义，以及熟练应用函数的单调性转化为不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
26．（1）1和3 (2) b的取值范围为(4，＋∞)
【解析】试题分析：（1）由，得出，再将代入函数，解方程即可；（2）根据二次函数的图象，只需即可.
试题解析：(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，
即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
点睛：二次函数零点的分布问题应结合二次函数的图象，应从开口方向、对称轴的位置、判别式、区间端点函数值的正负四个方面考虑，有的可以省略掉.