3.1.3函数的奇偶性-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册同步提高练习（Word含答案）

3.1.3函数的奇偶性
1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，是偶函数且在区间上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于（ ）
A．－6 B．6
C．－8 D．8
6．已知函数的定义域为，满足：①对任意，都有，②对任意且，都有，则函数叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数
C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数
8．已知函数，，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．在直角坐标系中，函数（a为大于0的常数）所表示的曲线叫箕舌线.则箕舌线可能是下列图形中的（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是奇函数，，且与图象的交点为，，……，，则（ ）
A．0 B． C． D．
11．设是定义在上的奇函数，当时，为常数），则________．
12．下列几个命题：
①函数的单调减区间是；
②函数是偶函数，但不是奇函数；
③函数的值域是，则函数的值域为；
④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．
⑤已知在上是增函数，若，则有.
⑥若函数是一个定义在R上的函数，则函数h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
⑦函数的图象可由的图象向左平移1个单位得到.
其中正确的有________________．
13．己知是上的奇函数，当时，，则_______.
14．已知函数同时满足：①对于定义域上任意，恒有；②对于定义域上的任意当时，恒有，则称函数为“理想函数”.在下列三个函数中：，，“理想函数”有______________（只填序号）
15．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________.
16．已知函数，给出下列四个命题：（1）为奇函数的充要条件是；（2）的图像关于点对称；（3）当时，方程的解集一定非空；（4）方程的解的个数一定不超过两个．其中所有正确命题的序号是__________．
17．已知函数.
（1）判断的奇偶性；
（2）若在是增函数，求实数的范围.
18．已知定义在上的函数是增函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若函数是奇函数，且，解不等式.
19．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.
（1）求出函数f(x)在R上的解析式；
（2）画出函数f(x)的图象.
20．已知是定义在上的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义加以证明.
21．已知定义在R上的函数f（x）＝kx+log9（9x+1）（k∈R）
（1）若k＝0，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）是偶函数，求实数k的值．
22．已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
23．已知是定义在上的偶函数，当时，函数
（1）求当时，的解析式；
（2）当时，指出函数单调区间.
24．设函数是上的奇函数，当时，．
（1）求的表达式．
（2）求证在区间上是增函数．
25．函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）设，，求函数的值域；
（2）当时，若，求实数的值．
26．已知定义在上的奇函数是增函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式．
27．已知函数是上的奇函数，且当时，，其中.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的单减区间为，求不等式的解集.
28．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示.
（1）请补出完整函数y＝f(x)的图像；
（2）根据图像写出函数y＝f(x)的增区间；
（3）根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合.
参考答案
1．A
【分析】根据选项逐个验证，得出答案.
【详解】由于，是非奇非偶函数，是偶函数但没有零点，只有是偶函数又有零点.
故选：A.
【点评】本题主要考查函数的性质，函数的奇偶性一般利用定义进行判定，属于基础题.
2．A
【分析】考虑时，，利用已知条件求的解析式，又是奇函数，可得时的解析式．
【详解】函数是奇函数，
当时，，
时，，
，
，
．
即时，．
故选：A
【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题．
3．D
【分析】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在定义域上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．
【详解】解：因为函数为偶函数，所以选项不合题意；
函数在定义域上为减函数，所以选项B不合题意；
函数在定义域内不单调，所以选项C不合题意；
函数为奇函数，且，因为在上单调递增，在上单调递增，且与在处函数值都为，所以在定义域内是增函数.
故选：.
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．属于基础题．
4．D
【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和单调性，由此确定正确选项.
【详解】对于A，，为反比例函数，为奇函数，且在上递减，不符合题意；
对于B，为对数函数，定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于C，为指数函数，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于D，为二次函数，对称轴为轴，是偶函数且在区间上是增函数，符合题意；
故选：D
【点评】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
5．C
【分析】由奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)可推出周期为8，对称轴为，画出函数大致图象，由图象分析f(x)＝m的根的分布情况即可
【详解】f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，令得，故周期为8，即，即，函数对称轴为，画出大致图象，如图：
由图可知，两个根关于对称，两个根关于对称，设，
则，故，
故选：C
【点评】结论点睛：本题考查由函数的奇偶性，周期性，对称性求根的分布问题，常用以下结论：
（1），则的周期为；
（2），则函数的对称轴为.
6．B
【分析】根据已知可得判断“成功函数”为定义域上单调递增的奇函数，逐项判断，即可得出结论.
【详解】由任意，都有知是奇函数，
由任意且，
都有，知是增函数，
因为在定义域上是奇函数，
但在定义域上不是单增函数，故A错；
因为是奇函数，，
所以在定义域上是增函数，故B正确；
因为在定义域是减函数，
故C错；
因为在上单调递减，故D错.
故选:B.
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，熟练掌握初等函数单调性，以及应用导数法判断函数的单调性，属于中档题.
7．C
【分析】利用函数的单调性、奇偶性定义等方法判断函数的性质.
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数；
因为在上为减函数，在上的减函数，
所以在上的减函数，
综上：函数为奇函数，在上是减函数.
故选：C.
【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的研究，解决问题的关键是熟练运用函数性质的定义.
8．C
【分析】先根据函数的奇偶性，判断函数为偶函数，再根据偶函数的性质及单调性，即可得答案；
【详解】解：依题意，有，
则为奇函数，且在上单调递增，
所以为偶函数．
当时，有，
任取，则，
由不等式的性质可得，
即，
所以函数在上递增，
因此，．
∴ ，
故选：C.
【点评】本题考查偶函数的性质及利用函数的单调性比较大小，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
9．A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后根据特殊值即可判断；
【详解】解：因为定义域为，，故函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除D；
又函数在上单调递增，函数在上单调递减，
根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，故排除B；
当时，，故排除C；
故选：A
【点评】本题考查函数图象的识别，函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.
10．C
【分析】首先判断出函数的图象关于对称，然后判断出函数的图象也关于对称，由此求得的值.
【详解】令，则，则，
即，故函数的图象关于对称，又∵关于对称，
∴两个函数图象的交点都关于对称，设关于对称的两个点的纵坐标分别为，，则，
即．
故选：C
【点评】本小题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数图象的对称性，属于中档题.
11．-3
【分析】根据函数是奇函数，求得参数，再结合已知函数解析式，求得的解析式，代值计算即可.
【详解】是定义在上的奇函数，
当时，为常数），
，
解得，
．
当时，，
，．
故答案为：
【点评】本题考查利用函数奇偶性求参数值，以及函数解析式，属综合基础题.
12．④⑤⑥
【分析】根据复合函数的单调区间的求法可判断①；根据函数奇偶性的定义可判断②；根据函数图像的平移变换可判断③；根据的图像可判断④；根据增函数的定义以及不等式的性质可判断⑤；根据奇函数的定义可判断⑥；根据函数的平移变换法则可判断⑦.
【详解】函数，则，
解得，所以函数的定义域为，所以函数的单调减区间是，故①错；
函数，定义域为，
则，函数即是偶函数也是奇函数，故②错；
函数向左平移一个单位可得，的值域是，
则的值域也是，故③错；
作出的大致图像，
由图像可知，曲线和直线的
公共点个数是，故④正确；
若，则或，因为在上是增函数，
所以，，所以，故⑤正确；
函数是一个定义在R上的函数，所以函数h(x)=f(x)-f(-x)是一个定义在R上的函数，
又，所以函数为奇函数，故⑥正确；
的图象向左平移1个单位得到，故⑦错；
故答案为：④⑤⑥
13．
【分析】由函数奇偶性，结合时函数解析式，即可求解.
【详解】由是上的奇函数，当时，，
则，
故答案为：.
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求值问题，其中熟记函数奇偶性的转化作用是解答的关键，属于基础题.
14．
【分析】根据题中条件，先判断函数是奇函数，且单调递减；再逐项判断所给函数，即可得出结果.
【详解】因为对于定义域上任意，恒有，即，
所以是奇函数；
又对于定义域上的任意当时，恒有，所以函数在定义域内单调递减；
函数的定义域为，取，，则，，此时，不满足在定义域内单调递减；排除；
由得，所以是偶函数，排除；
对于函数，根据二次函数的单调性，可得时，单调递减；时，单调递增，且，所以函数在定义域内单调递减；
又当时，，所以；
当时，，所以；
综上为奇函数；故满足题意.
故答案为：.
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，以及简单函数的单调性，属于基础题型.
15．4
【分析】由已知可得函数的图象关于点对称，由可得函数的周期为2，且图象关于直线对称，从而画出函数的图像，结合图像可得出结果
【详解】∵函数是奇函数，∴函数的图象关于点对称，
∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，
即函数的图象关于点对称，
则，
又∵，
∴，从而，
∴，即，
∴函数的周期为2，且图象关于直线对称，
画出函数的图象如图所示：

∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.
故答案为：4.
【点评】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题.
16．（1）（2）（3）
【分析】根据函数奇偶性性质，中心对称，函数零点性质，依次判断每个选项得到答案.
【详解】若函数为奇函数，则，即，
若，则，函数为奇函数，故（1）正确；
，故函数关于对称，（2）正确；
时，，即，函数的值域为，故（3）正确；
取，，则，则，，，（4）错误.
故答案为：（1）（2）（3）.
【点评】本题考查了函数的奇偶性，充要条件，函数的中心对称，对应方程的解，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
17．（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）分和两种情况讨论，结合函数奇偶性的定义可得出结论；
（2）任取，由可得出，进而可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，，
此时，函数为偶函数；
当时，的定义域为，，
此时且，
此时，函数既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）设，则，
，可得，，
为上的增函数，，
则，可得，，
因此，实数的取值范围是.
【点评】本题考查函数奇偶性的判定，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）根据函数定义域，结合函数单调性，列出不等式组，求解即可；
（2）根据函数奇偶性得到，再利用函数单调性，结合函数定义域，即可求得不等式.
【详解】（1）由题意可得，，
求得，
即的范围是.
（2）∵函数是奇函数，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴不等式的解集为.
【点评】本题考查利用函数单调性求解不等式，涉及函数奇偶性的应用，注意考虑函数定义域即可，属综合基础题.
19．（1）（2）作图见解析；
【分析】（1）根据函数为定义域为的奇函数，当时，，我们根据定义域为的奇函数的图象必过原点，且，即可求出函数在上的解析式；
（2）根据（1）中分段函数的解析式，我们易画出函数的图象．
【详解】解：（1）①当时，；
②当时，，
是奇函数，
综上：
（2）函数的图象如下图所示：
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质及函数的图象，其中根据函数奇偶性的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键．
20．（1） ；（2）在上单调递增，证明见解析.
【分析】（1）根据函数奇偶性，以及题中条件，求出参数，即可得出函数解析式；
（2）根据函数单调性的定义，直接证明，即可证明结论成立.
【详解】（1）∵为奇函数，∴，∴.
由，得，
∴.
（2）在上单调递增.
证明如下:
设，则

∵，∴，，∴，
∴，
∴在上单调递增.
【点评】本题主要考查由函数奇偶性求参数，以及函数单调性的证明，属于常考题型.
21．（1）（0，+∞）；
（2）k．
【分析】（1）利用指数函数、对数函数的单调性进行求解即可；
（2）利用偶函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）k＝0时，，
∵9x＞0，
∴9x+1＞1，
∴，
∴f（x）的值域为（0，+∞）；
（2）∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
∴，
∴﹣（k+1）x＝kx，
∴﹣（k+1）＝k，解得k．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了偶函数的性质，考查了数学运算能力.
22．（1）；（2）.
【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数的解析式分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，∴.
又当时，，∴.
又为奇函数，∴，∴，
∴.
（2）当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得.
综上，不等式的解集用区间表示为.
【点评】本题考查了奇函数的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
23．（1）；（2）增区间为；减区间为.
【分析】（1）利用函数奇偶性，结合的解析式，即可求得的解析式；
（2）根据二次函数的单调性，即可容易求得单调区间.
【详解】（1）设，则，
时，.
又是上的偶函数
；
（2），其对称轴为，根据其单调性可得：
函数的单调递增区间为；单调递减区间为
【点评】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，涉及二次函数单调区间的求解，属综合基础题.
24．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求的解析式，由，可代入求得，再由是上的奇函数，得到的解析式，从而求得的表达式；
（2）直接用定义法证明在区间上是增函数.
【详解】（1）当时，，∴．
∵是奇函数，∴，
∴，
∴
（2）设任意的，，且，则
．
∵，∴，，
∴，∴，
∴是上的增函数．
【点评】本题考查了由奇偶性求函数的解析式，定义法判断函数的单调性，属于基础题.
25．（1）；（2），或，或.
【分析】（1）先由奇函数的性质求出时，，从而可得的函数解析式，然后利用二次函数的性质和奇函数的性质可求出的值域；
（2）由（1）可得时，，然后当时，令，当时，令，分别求出的值
【详解】（1）设时，则，
因为是定义在上的奇函数，且时，，
所以，即，
因为，
所以
所以当时，得关于直线对称，在上递增，在上递减，
所以，得，
当时，由奇函数关于原点对称，得．
所以的值域为；
（2）由（1）知，，
所以时，，
i）当时，令，解得或；
ii）当时，令，解得或（舍去）
综上：或或
【点评】此题考查奇函数的性质，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题
26．（1）；（2）.
【分析】（1）利用及即可确定与的值，则可得到的解析式；
（2）利用为奇函数，且在上为增函数将不等式转化为求解.
【详解】解：（1）∵是区间上的奇函数，
∴,又，
∴∴，此时，
为奇函数；
（2）∵，且为奇函数，
∴
又函数在区间上是增函数
∴，解得
故关于的不等式的解集为．
【点评】本题考查利用函数的奇偶性求参，考查利用函数的单调性与奇偶性综合求解不等式问题，难度一般，灵活转化是关键.
27．（1）；（2）或.
【分析】（1）根据奇函数的定义求得时的表达式，再由可得得函数解析式；
（2）利用奇函数性质问题转化为只讨论时单调性，利用二次函数的性质可得的值，从而得函数解析式，不等式可化为或，由此可求得解集．
【详解】解：（1） 函数是定义在上的奇函数，设，则
.
又函数为奇函数，，上式即为
得
所以函数；
（2）函数的单减区间为，则在区间上单减，得的对称轴，得
∴，
由得或，即或，
解得或．∴原不等式的解集为或.
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查求奇函数的函数解析式，解函数不等式．掌握奇函数的定义是求解析式的关键．对分段函数而言，解不等式时要注意分类讨论．
28．（1）作图见解析；（2）单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)；（3）(－2，0)∪(0，2).
【分析】（1）根据函数是偶函数补充完整函数y＝f(x)的图像；
（2）根据函数的图象写出函数的单调增区间；
（3）根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合.
【详解】（1）由题意作出函数图像如图：
（2）据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
（3）据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2).
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调区间的写法，考查函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.