高中数学选修2-3数学苏教版选修2-3第2章2.5.2知能优化训练

1．下面说法中正确的是________(填题号)．
(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率平均值；
(2)离散型随机变量ξ的方差V(ξ)反映了ξ取值的平均水平；
(3)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平；
(4)离散型随机变量ξ的方差V(ξ)反映了ξ取值概率的平均值；
解析：E(ξ)反映了ξ取值的平均水平；
V(ξ)反映了ξ取值的稳定与波动、集中与离散的程度．
答案：(3)
2．设随机变量X服从二项分布B，则V(X)＝________.
解析：V(X)＝4××＝.
答案：
3．设掷一枚骰子的点数为X，则E(X)＝________，V(X)＝________.
解析：E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝＝3.5，
V(X)＝(xi－3.5)2×＝(2.52＋1.52＋0.52＋0.52＋1.52＋2.52)＝.
答案：3.5　
4．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为X，则V(X)等于________．
解析：X～B(10,0.02)，所以V(X)＝10×(1－0.02)×0.02＝0.196.
答案：0.196
一、填空题
1．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，V(ξ)＝1.6，则n＝________，p＝________.
解析：∵ξ～B(n，p)，∴E(ξ)＝np＝8，　①
V(ξ)＝np(1－p)＝1.6.　②
由①②可得n＝10，p＝0.8.
答案：10　0.8
2．已知随机变量X的分布列为：
X 0 1 x
P p
且E(X)＝1.1，则V(X)的值为________．
解析：p＝1－－＝，由E(X)＝1.1得x＝2，所以
V(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
答案：0.49
3．一批数量较大的商品的次品率为3%，从中任意取出30件，则其中次品数X的方差V(X)等于________．
解析：商品数量较大时可看做是二项分布，所以V(X)＝30×0.03×0.97＝0.873.
答案：0.873
4．已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
则V(ξ)＝________.
解析：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＋＋＋1＝，
V(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
答案：
5．甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，若命中目标的人数为X，则V(X)等于________．
解析：X＝0,1,2，P(X＝0)＝×＝；P(X＝1)＝×＋×＝；P(X＝2)＝×＝，所以E(X)＝，V(X)＝.
答案：
6．已知随机变量ξ的方差V(ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则V(η)＝________.
解析：由V(aξ＋b)＝a2V(ξ)
得V(η)＝V(2ξ＋5)＝4V(ξ)＝4×4＝16.
答案：16
7．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a、b、c成等差数列，若E(ξ)＝，则V(ξ)＝________.
解析：由题意得
2b＝a＋c，①a＋b＋c＝1，②c－a＝.③
以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，∴V(ξ)＝.
答案：
8．设随机变量X的概率分布为：
X 0 1 2
P 1－p
则V(X)的最大值为________．
解析：E(X)＝＋＝p,0≤1－≤1，所以0≤p≤.
又V(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2·＋(2－p)2·＝－p2，所以当p＝时，V(X)max＝×－()2＝.
答案：
9．设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝且x1解析：由题意可知ξ的分布列为
ξ x1 x2
P
∴E(ξ)＝x1＋x2＝，
∴x2＝4－2x1，
V(ξ)＝2×＋2×＝，
∴22＋2＝，
∴62＝，
即x1＝或x1＝1.
若x1＝，则x2＝(舍去)，
若x1＝1，则x2＝2.∴x1＋x2＝3.
答案：3
二、解答题
10．已知η的分布列为：
η 0 10 20 50 60
P
(1)求V(η)，；
(2)设Y＝2η－E(η)，求V(Y)的值．
解：(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴V(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴＝8.
(2)∵Y＝2η－E(η)＝2η－16，
∴V(Y)＝22V(η)＝4×384＝1536.
11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和V(ξ)．
解：这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上标有2，
则P(ξ＝6)＝＝.
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，
则P(ξ＝9)＝＝.
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，
则P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ 6 9 12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
V(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
12．有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：若甲、乙单位不同职位的月工资分别为X1(元)，X2(元)，获得甲、乙单位的职位的概率分别为P1和P2.(如下表)
甲单位的信息如下：
X1 1200 1400 1600 1800
P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位的信息如下：
X2 1000 1400 1800 2200
P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的概率分布，所以
E(X1)＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0.2＋1800×0.1＝1400，
V(X1)＝(1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0.1＝40000；
E(X2)＝1000×0.4＋1400×0.3＋1800×0.2＋2200×0.1＝1400，
V(X2)＝(1000－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1800－1400)2×0.2＋(2200－1400)2×0.1＝160000.
因为E(X1)＝E(X2)，V(X1)www.