2012届高考数学考点回归总复习课件

(共56张PPT)
第十五讲导数的应用
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1.函数的单调性与导数
在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果f′(x)>0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增.(2)如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(3)如果f′(x)=0,那么f(x)在这个区间内为常数.
2.函数的极值与导数
(1)函数极值的定义
若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且f′(a)=0,而且在x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且f′(b)=0,而且在x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则b点叫函数的极大值点,f(b)叫函数的极大值,极大值和极小值统称为极值.
(2)求函数极值的方法
解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,
①如果在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.③如果f′(x)在点x0的左 右两侧符号不变,则f(x0)不是函数极值.
3.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
4.解决优化问题的基本思路
考点陪练
1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在x=-3时取得极值,则a的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:由题意得f′(x)=3x2+2ax+3.又f(x)在x=-3时取得极值,所以f′(-3)=30-6a=0,解得a=5.故选D.
答案:D
2.(2010·重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:f′(x)=3x2-3,当x∈[-2,-1]或[1,2]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.故极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,∴f(x)在[-2,2]上的最大值为2.
答案:C
3.f(x)是定义在(-∞,+∞)上的可导的奇函数,且满足xf′(x)<0,f(1)=0,则不等式f(x)<0的解为()
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,+∞)
解析:由xf′(x)<0知,当x>0时,f′(x)<0,即函数在(0,+∞)内单调递减,而f(1)=0,故当x>0时,由f(x)<0可得x>1,又因为函数为奇函数,故当x<0时,不等式f(x)<0的解集为0>x>-1,故选B.
答案:B
答案:C
5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的有________.
①函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减;
②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减;
③当x=-3时,函数f(x)有极大值;
④当x=7时,f(x)有极小值.
解析:由图象可得,在区间(-3,1)内f(x)的导函数值大于零,所以f(x)单调递增;在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零,所以f(x)单调递减;在x=-3左右的导函数符号不变,所以x=-3不是函数的极大值点;在x=7左右的导函数符号由负到正,所以函数f(x)在x=7处有极小值.故填②④.
答案:②④
类型一 函数的单调性
解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数.
【典例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
[分析]第(1)问由f(x)在R上是增函数知f′(x)≥0在R上恒成立,进而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问.
[解](1)由已知f′(x)=3x2-a,
∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,
∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0,
又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,
∴a≤0.
(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,
得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.
∵-1当a≥3时,f′(x)=3x2-a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)<0,
即f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3.
故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
[反思感悟]容易把f′(x)>0(f′(x)<0)看成是f(x)为增函数(减函数)的充要条件,从而求错参数的范围.
类型二 函数的极值
解题准备:运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤:
(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
【典例2】已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
[分析]第(1)问应用f′(x)>0 f(x)单调递增,f′(x)<0 f(x)单调递减.第(2)问转化为f(x)极小值(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0.∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3.
由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极
大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,
结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(-3,1).
[反思感悟]此题虽是研究两个函数图象的交点个数问题,但实质仍然是研究函数的单调性和极值问题,导数法求单调区间的主要步骤是:求导;解不等式.求极值的一般方法是:求导;求根;讨论根左右导数的符号,确定极值并求值.
类型三 函数的最值
解题准备:1.根据最值的定义,求在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导的函数的最值时,可将过程简化,即不用判断使f′(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)值.
2.定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点.
【典例3】(2010·重庆)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
类型四 生活中的优化问题
解题准备:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
【典例4】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ )x万元.假设桥墩等距离分布,所以桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小
[分析]对(1),先设辅助未知数,再确定函数关系;对(2),先利用导数求出最优解.
[反思感悟]本题将导数应用于工程的最优化问题的解决之中,可以说是一个很好的设计,不仅考查了考生对函数 导数等相关知识的掌握程度,还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力.该题常见的错误有:①不能正确理解各个量之间的正确关系,导致函数关系出错;②求错导函数;③解应用题没有总结,解答不完整.
错源一 混淆导函数与原函数的图象
【典例1】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值5,其导函数的图象经过(1,0),(2,0),如图所示,求:(1)x0的值;(2)a,b,c的值.
[剖析]原题中的图象是导函数的图象,并非是原函数的图象.错解中混淆导函数与原函数的图象,因而产生错误.
[正解]由于f′(x)=3ax2+2bx+c,(1)观察图象,我们可发现当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数;当x∈(1,2)时,f′(x)<0,此时f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数,因此在x=2处函数取得极小值.结合已知,可得x0=2.
错源二 误认为导数为零的点就是极值点
【典例2】求函数f(x)=x4-x3的极值,并说明是极小值还是极大值.
[剖析]错解中的错误有两点,①认为导数为零的点就是极值点,其实,并非如此.导数为零只是该点是极值点的必要不充分条件;②极大值大于极小值,这也是不准确的.极值仅描述函数在该点附近的情况.
技法一 解决与不等式有关的问题
【典例1】当x>0时,证明不等式ln(1+x)>x- x2成立.
[解题切入点]欲证x>0时,ln(1+x)>x- x2,可以证F(x)=ln(1+x)-(x- x2)>0,易知F(0)=0,因此可以考虑F(x)在[0,+∞)上是增函数.
[证明]设f(x)=ln(1+x),
g(x)=x- x2,
F(x)=f(x)-g(x),
F′(x)=f′(x)-g′(x)= .
当x≥0时,F′(x)= ≥0.
所以F(x)在[0,+∞)上是增函数.
故当x>0时,F(x)>F(0)=0,
[方法与技巧]运用导数证明不等式是一类常见题型,主要是根据欲证不等式的题设特点构造函数,利用导数判定函数的单调性进而求解.
技法二 解决与函数周期有关的问题
【典例2】设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2005(x)等于()
A.sinxB.-sinx
C.cosxD.-cosx
[解析]f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x)=cosx,f2(x)=f′1(x)=-sinx,f3(x)=f′2(x)=-cosx,f4(x)=f′3(x)=sinx.
所以fn(x)的周期为4.
所以f2005(x)=f4×501+1=f1(x)=cosx.
故选C.
[答案]C
[方法与技巧]本题是一个关于三角函数的求导问题,这里要利用函数的周期性.刚开始求解不一定能看出周期性,这需要借助我们平时的做题经验,由此可见,在平时的学习中要善于总结.
技法三 解决与方程有关的问题
【典例3】方程x3-3x+a=0(a为常数)在区间[0,1)上()
A.无实根B.有唯一实根
C.至多有一个实根D.有两个实根
[解析]设f(x)=x3-3x+a,则f′(x)=3x2-3在[0,1)上恒为负,
所以f(x)在[0,1)上单调递减.故选C.
[答案]C(共71张PPT)
第四模块　三角函数
第十六讲　
任意角和弧度制及任意角的三角函数
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1.角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止时的射线OB叫做角的终边，按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．
2．象限角
把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角 {α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角 {α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限角 {α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}
3.象限界角(即轴线角)
角α终边位置 角α的集合
在x轴非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
在x轴非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
在y轴非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
在y轴非正半轴上 {α|α＝k·360°－90°，k∈Z}
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，即为象限界角(或轴线角)．
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．
注意：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
(2)一般地，终边相同的角或通式表达形式不唯一，如α＝k·180°＋90°(k∈Z)与β＝k·180°－90°(k∈Z)都表示终边在y轴上的所有角．
(3)应注意整数k为奇数、偶数的讨论．
5．弧度制
(1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度．
(2)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
6．度与弧度的换算关系
∵周角的 为1度的角
即 周角＝1°， 周角＝1rad
∴360°＝2πrad
∴180°=πrad,1°= rad,1rad＝ °≈57°18′.
7．扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为圆心角
弧长l＝αR，即弧长等于该弧所对的圆心角的弧度数乘以半径．扇形面积S＝ l·R＝ α·R2.
8．在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
(3)y,x叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝ (x≠0)．
9．利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数
设直角坐标系中任意大小的角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么任意角的三角函数的定义：
注意：要特别注意三角函数的定义域．
10．各象限角的三角函数值和符号如图所示
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．
11．终边相同的角的同一三角函数的值相等，即
sin(α＋k·2π)＝sinα
cos(α＋k·2π)＝cosα　(其中k∈Z)
tan(α＋k·2π)＝tanα
12．三角函数线
图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线．
注意：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正切值不存在．
考点陪练
1.已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，下列四个命题：①A＝B＝C，②A C，③C A，④A∩C＝B，其中正确命题的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
答案：A
2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是( )
答案:B
答案:B
4.有下列命题:
(1)终边相同的角的同名三角函数的值相等;
(2)终边不同的角的同名三角函数的值不等;
(3)若sinα>0,则α是第一 二象限的角;
(4)若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cosα=
其中正确的命题的个数是( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确;
对(2),我们可举出反例
对(3),可指出 ,但 不是第一 二象限的角;
对(4),因为α是第二象限的角,已有x<0,应是cosα= .
答案:A
5.若sinα<0且tanα>0,则α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:∵sinα<0,∴α是第三 四象限的角或角的终边在y轴负半轴上.又∵tanα>0,∴α是第一 三象限的角.
∴α是第三象限的角.
答案:C
类型一 角的集合表示
解题准备:(1)任意角β都可以表示成β=α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z).
(2)并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时,它就不属于任何象限.
(3)相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.
(4)注意“第一象限角” “锐角” “小于90°的角”是范围不同的三类角,需加以区别.
【典例1】 (1)如果α是第三象限角,那么-α,2α的终边落在何处
(2)写出终边在直线 上的角的集合;
(3)若角θ的终边与 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角.
[分析] 利用终边相同的角的集合进行求解.
[解] (1)由α是第三象限角得
π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z)
? -2kπ<-α<-π-2kπ(k∈Z).
即 +2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z).
∴-α的终边在第二象限;
由π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z)
得2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).
∴角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.
(2)在(0,π)内终边在直线 上的角是
∴终边在直线 上的角的集合为
{α|α= +kπ,k∈Z}.
(3)∵θ= +2kπ(k∈Z),∴ (k∈Z).
[反思感悟] (1)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍,然后判断角α所在的象限.
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
类型二 扇形弧长,面积公式应用
解题准备:设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(弧度),半径为r,则l=|α|·r;S扇形= |α|r2.
注意:这里给出的弧长 扇形面积公式是在弧度制下的,使用时切记将圆心角用弧度来表示.
【典例2】 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径为r.
(1)若α=60°,r=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积
∴当扇形圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值.
类型三 三角函数的定义
解题准备:(1)任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关,而与终边上的点的位置无关;(2)当点P的坐标中含字母时,表达r时要注意分类讨论思想的应用.
【典例3】 已知α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα cosα tanα的值.
[分析] 根据任意角三角函数的定义,应首先求出点P到原点的距离r,由于含有参数a,要注意分类讨论.
[反思感悟] (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.
(2)熟记几组常用的勾股数组,如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我们解题带来很多方便.
(3)若角α已经给定,不论点P选择在α的终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的;另一方面,如果角α终边上一点坐标已经确定,那么根据三角函数定义,角α的三角函数值也都是确定的.
类型四 象限角与三角函数符号问题
解题准备:三角函数的符号如下表
正值口诀:Ⅰ全正 Ⅱ正弦 Ⅲ正切 Ⅳ余弦.
【典例4】 (1)如果点P(sinθ cosθ,2cosθ)位于第三象限,试判断角θ的终边所在的象限.
(2)若θ是第二象限角,则 的符号是什么
[分析] (1)由点P所在的象限,知道sinθ cosθ,2cosθ的符号,从而可求sinθ与cosθ的符号.
(2)由θ是第二象限角,可求cosθ,sin2θ的范围,进而把cosθ,sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在的象限,从而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号可定.
[解] (1)因为点P在第三象限,
∴sinθ cosθ<0且2cosθ<0,
因此必有sinθ>0,cosθ<0,故θ的终边在第二象限.
(2)因为θ是第二象限角,
所以cosθ<0,且-1≤cosθ<0,
即cosθ是第四象限角,
因此sin(cosθ)<0;
又sin2θ=2sinθ cosθ<0,
所以-1≤sin2θ<0,
即sin2θ也是第四象限角,
因此cos(sin2θ)>0.故
[反思感悟] 此处要正确理解sin(cosθ)的含义,sin(cosθ)中,是把角θ的余弦值(一个实数)作为一个角的弧度数,求该角的正弦值,因此只需研究cosθ这个角的范围(所在象限)即可.
错源一 忽视表示区间角的不等式两端的大小关系
【典例1】 用集合表示终边在阴影部分的角α的集合.
[错解] 由图可知,终边落在射线OA上的角为2kπ+ (k∈Z),终边落在射线OB上的角为2kπ- (k∈Z).
所以终边落在图中阴影部分的集合为α∈{α|2kπ+ ≤α≤2kπ- ,k∈Z}.
[剖析] 上面集合中的关于角的不等式是一个矛盾的不等式,左边的比右边的大.
[正解] 由图知,终边落在射线OA上的角为2kπ+ (k∈Z),终边落在射线OB上的角为2kπ+ (k∈Z).所以终边落在图中阴影部分的集合为α∈{α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z}.
[评析] 利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原则:(1)按逆时针方向书写;(2)表示区域角的不等式两个端点值的差必须是终边落在两条边界射线(或直线)上的最小差值.
错源二 利用三角函数值符号判断角的位置时,忽视轴线角而致错
【典例2】 已知sinα≥0,cosα≥0,试确定α终边的位置.
[错解] 由sinα≥0知,α终边在第一象限,或第二象限,或y轴的非负半轴上;
又由cosα≥0知,α终边在第一象限,或第四象限,或x轴的非负半轴上.
故α终边在第一象限.
[剖析] 错解的解答中由sinα≥0和cosα≥0确定α终边位置时,分别遗漏了x轴和y轴的情形,造成错误.
[正解] 由sinα≥0知,α终边在第一象限或第二象限,或x轴,或y轴的非负半轴上;
由cosα≥0知,α终边在第一象限或第四象限,或y轴,或x轴的非负半轴上.
故α终边在第一象限,或x轴的非负半轴上,或y轴的非负半轴上.
技法一 等分单位圆
一 单位圆的二 四等分法
在单元圆中,当角α=kπ+ 或α=kπ± (k∈R)(此时|sinα|=|cosα|)时,其终边分单位圆为二 四等份的情况如下图1 图2.
表1:
大小关系 sinα>cosα sinα终边范围 图1中Ⅰ 图1中Ⅱ
大小关系 |sinα|>|cosα| |sinα|<|cosα|
终边范围 图2中1 3 图2中2 4
【典例1】 在(0,2π)内,使sinα>cosα成立的α的取值范围为( )
[解析] 由图1和表1可知此题选B.
[答案] B
二 标象限法
在单位圆中,当角α= (k∈Z)时,角的终边和坐标轴重合,其终边分单位圆为四个象限的情况如下图.
表2:
3.单位圆的八等分法
在单位圆中,当α= (k∈Z)时,其终边分单位圆为八等份的情况如上图.
表3:
大小关系 -1终边范围 图4中4 7 图4中3 8
大小关系 -1终边范围 图4中1 6 图4中2 5
特别地,当角α终边与坐标轴重合时,sinα±cosα的值是1或-1.
【典例2】 若sin2α>cos2α,则α的取值范围是( )
A.{α|2kπ- <α<2kπ+ ,k∈Z}
B.{α|2kπ+ <α<2kπ+ ,k∈Z}
C.{α|kπ- <αD.{α|kπ+ <α[解析] sin2α>cos2α?|sinα|>|cosα|,由表1,角α的终边在图2的区域1,3.故选D.
[答案] D
4.结论分析举例
【典例3】 证明:当α∈(2kπ+π,2kπ+ π)(k∈Z时),sinα+cosα∈
[证明] 如右图,根据三角函数的定义,在单位圆中,
sinα=MP,cosα=OM,
在△OPM中,
∵|MP|+|OM|>|OP|,
∴-MP-OM>1,∴MP+OM<-1.
又α=2kπ+ π(k∈Z)时,|OM|=|MP|,
|MP|+|OM|有最大值
即MP+OM有最小值
∴sinα+cosα∈
[方法与技巧] 大家可类似以三角函数线对其他情况加以理解.
技法二 标扇形法
[解析] ∵sin π= ,又由正弦函数线关于y轴对称可知,角x在如图中的阴影区域,故答案为D.
[答案] D
[方法与技巧] 我们看到上述方法互相关联,形象直观,掌握它有助于简单,快捷,准确地解题,特别适合解答一些“小 巧 活”的三角客观题.名师作业·练全能(共69张PPT)
第二十讲三角函数的图象
回归课本
1.作y=Asin(ωx+φ)的图象主要有以下两种方法:
(1)用“五点法”作图.
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0, π, ,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
(2)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
方法一:先平移后伸缩
y=sinx y=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).
方法二:先伸缩后平移
y=sinx y=sinωx
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).
2.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A叫做振幅,T= 叫做周期, 叫做频率,ωx+φ叫做相位,x=0时的相位φ称为初相.
3.对称问题
y=sinx图象的对称中心是(kπ,0),(k∈Z).
对称轴方程是x= +kπ,(k∈Z).
y=cosx图象的对称中心是 (k∈Z).
对称轴方程是x=kπ,(k∈Z).
考点陪练
答案:A
2.若f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的取值是( )
答案:C
答案:C
4.(2010·四川)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
答案:C
答案:C
类型一 “五点法”作图
解题准备:根据三角函数的图象在一个周期内的最高点 最低点及与x轴的三个交点来作图,即先确定这五个点来作这个函数的图象.其一般步骤是:
(1)令ωx+φ分别等于0, π, ,2π,求出对应的x值和y值,即求出对应的五点;
(2)在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接,得函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的函数图象;
(3)将所得图象向两边扩展,得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.
【典例1】作出函数 的一个周期内的图象.
[分析]考查:“五点法”作图.
[反思感悟]用“五点法”作正 余弦函数的图象要注意以下几点:①先将解析式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式;②周期 ;③振幅A(A>0);④列出一个周期的五个特殊点;⑤描点 用平滑曲线连线.
类型二 三角函数的图象变换
解题准备:三角函数的图象变换包括平移和伸缩两类变换,具体有以下三种变换:
(1)相位变换:y=sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位得到y=sin(x+φ)的图象.
(2)周期变换:y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的 倍(纵坐标不变),得到y=sinωx的图象.
(3)振幅变换:y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0[分析]先化异名为同名,后作变换.
[反思感悟]对于y=f(x)的图象,若将图象平移a(a>0)个单位,当向左平移则把x换成x+a,当向右平移则把x换成x-a,其他任何数值和符号不变,若将图上各点的横坐标伸长到原来的ω倍(ω>1),则只需将x换成 ,若将图象上各点的横坐标缩短到原来的 (ω>1),则只需将x换成ωx即可.
类型三 三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
解题准备:给出图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B的难点在于φ的确定,本质为待定系数法.基本方法是:①“五点法”,运用“五点”中的一点确定.②图象变换法,即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由零值点或最值点确定φ,有时从找“五点法”中的第一零值点
作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零值点的位置.
【典例3】下图为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式.
[分析]确定A.若以N为五点法作图中的第一零点,由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx的图象)所以A<0;若以M点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx的图象)所以A>0.而ω= ,φ可由相位来确定.
(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时,“第一零点”的确定是很重要的,尽量使A取正值,由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段图象,求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:
①如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标,那么由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π)即可求出φ.
②代入点的坐标.利用一些已知点(最高点 最低点或零点)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
(3)利用图象特征确定函数解析式y=Asin(ω+φ)+k或根据代数条件确定解析式时,要注意以下几种常用方法:
①振幅A= (ymax-ymin).
②相邻两个最值对应的横坐标之差,或者一个单调区间的长度为 由此推出ω的值.
③确定φ值,一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.
类型四 三角函数图象的对称性
解题准备:函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称问题
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图形,也就是说波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴.
(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形,也就是说函数图象与x轴的交点(平衡位置点)是其对称中心.
类型五 三角函数模型的常见应用
解题准备:三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题时有着广泛的应用.如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以借助三角函数来描述,三角函数模型的常见类型有:
(1)航海类问题.涉及方位角概念,方位角指的是从指正北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角度.还涉及正 余弦定理.
(2)与三角函数图象有关的应用题.近年全国高考有一解答题正是此类应用题.
(3)引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行推理,解决最优化问题,即求最值.
(4)三角函数在物理学中的应用.
【典例5】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T 振幅A及函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8：00到20：00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动
[解](1)由表中数据,知周期T=12.
∴ω=
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①
由t=3,y=1.0,得b=1.②
由①②得A=0.5,b=1,∴振幅为
∴
(2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放,
∴ ∴
∴2kπ- (k∈Z),
即12k-3∵0≤t≤24,故可令③中k分别为0 1 2,得
0≤t<3或9∴在规定时间8：00至20：00之间,有6个小时的时间可供冲浪者运动,即9:00至15：00.
错源一 未抓住平移对象而致误
【典例1】将函数 的图象沿x轴向左平移
个单位,求所得图象的解析式.
[剖析]此题出错率极高,主要原因是未抓住函数图象平移是针对自变量x而言的.
错源二 伸缩变换中记忆不准而致错
[剖析]“错解一”错在变换公式记忆错误;“错解二”错误较多,不仅变换公式记忆错误,还不清楚变换是针对自变量x的.
错源三 抓不住对称变换中针对对象而致错
[剖析]错在 前也加了负号,将函数图象关于y轴对称,只是在自变量x前加负号,其他处都不变.
[评析]若将函数y=sin(ωx+φ)的图象关于y轴对称,所得图象的解析式为y=sin(-ωx+φ);若将函数y=sin(ωx+φ)的图象关于x轴对称,所得图象的解析式为y=-sin(ωx+φ).
技法 “四看”解决图象平移问题
一看:平移要求
拿到这类问题,首先要看题目要求由哪个函数图象平移到哪个函数图象,这是判断移动方向的关键点.一般题目会有下面两种常见的叙述.
[解析]上面两题是平移问题两种典型的叙述方法,粗看两题好像差不多,其实两题的要求是不同的.第(1)题是要把函数y=sin2x移到 而第(2)题是要把函数
移到y=sin2x,两题平移的要求不同.第(1)题是基本形式,应该选D,而第(2)题是它的反形式,故选C.
[答案](1)D(2)C
二看:函数形式
我们在解决这类问题时,一定要依赖y=Asin(ωx+φ)的形式,如果题目给定的函数不是这样的形式,就要化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再考虑平移.
[解析]此题主要是函数形式的变化,我们所研究的两个函数必须都是形如y=Asin(ωx+φ)的形式.当实际题目中的两个函数不都是这样的形式时,要先利用函数公式进行转化.所以我们可以改变
[答案]B
三看:移动方向
在学习中,移动的方向一般我们会简记为“左加右减”,其实,这样不理解的记忆是很危险的.上述规则不是简单地看y=Asin(ωx+φ)中φ的正负,而是和它的平移要求有关.正确的理解应该是:平移变换中,将x变换为x+φ,这时才是“左加右减”.
[答案]D
[答案]C(共49张PPT)
第七讲函数的奇偶性与周期性
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1.函数的奇偶性
(1)函数的奇偶性的定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数. 关于y轴对称
奇函数 如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数. 关于原点对称
(2)对函数奇偶性的理解
①函数奇偶性的判断
a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.
b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
②在公共定义域内
a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和是奇函数.
b.两偶函数的和 积与商(分母不为零)为偶函数.
③奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反.
2.函数的周期性
(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期.
(2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上 下界.
考点陪练
答案:B
2.(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()
A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x<0时,解析式为f(x)=2-x-4(x<0),所以当x-2<0时,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得x<0;当x-2≥0时,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得x>4,综上{x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故选B.
答案:B
3.(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A.
答案:A
4.(2010·广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()
A.f(x)与g(x)均为偶函数
B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数.
答案:B
答案:2x+3
类型一 函数奇偶性的判断
解题准备:判断函数奇偶性的一般方法
(1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的.否则,既不是奇函数也不是偶函数.
(2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断:
①定义判断:f(-x)=f(x) f(x)为偶函数,
f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数.
②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0 f(x)为偶函数.
f(-x)+f(x)=0 f(x)为奇函数.
(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.
[分析]判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理判断.
的定义域关于原点对称,
∵当x>0时,-x<0,
∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)
=-f(x)(x>0).
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)
=-f(x)(x<0).
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
类型二 函数的单调性与奇偶性的综合问题
解题准备:1.讨论函数的单调性和奇偶性时,应先确定函数的定义域.
2.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.
3.将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题型.
又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)
=2(x2-x1)>0,
∵1-x2>0,1+x1>0,
∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x2>0.
类型三 函数的周期性
解题准备:三个结论:若a b是非零常数,且a≠b,则有
结论2:(对称性与周期关系结论)
(1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|;
(2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|;
(3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|.
结论3:(奇偶性与周期关系结论)
(1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|;
(2)f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|.
(上述结论中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期).
类型四 函数的奇偶性与周期性的综合问题
解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解决函数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问题.函数的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性质可解决与函数相关的方程 不等式等综合问题.
【典例4】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x,都有f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,则方程f(x+1)=0的第2000个根是多少.(从x轴右半轴开始从左到右数起).
[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周期为2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由x∈R,f(x)是奇函数,且f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,知f(0)=0,∴方程f(x)=0的第2000个根是4000,∴f(x+1)=0的第2000个根是3999.
错源一 忽略定义域出错
[剖析]判断函数奇偶性,首先要看函数的定义域,若定义域是关于原点的对称区间,则函数可能具有奇偶性;否则,函数一定不具有奇偶性.其次,要看f(x)与f(-x)之间的关系.
[正解]函数的定义域为{x|x≠1},定义域不关于原点对称,因此该函数为非奇非偶函数.
错源二 忽视对参数的讨论
【典例2】判断函数f(x)=x2+|x-a|+1(a∈R)的奇偶性.
[错解]显然函数定义域为R.
因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
所以f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a),
所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
[剖析]此解法错在于没有对参数进行讨论,未考虑到a=0这种特殊情形,以致解题出错.
[正解]当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),
此时f(x)为偶函数;
当a≠0时,
f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),
此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
技法一 快速解题(数形结合法)
【典例1】已知定义在R上的函数f(x)不恒为零,且满足f(x+3)=-f(3-x) f(x+4)=f(4-x),则f(x)是()
A.奇函数也是周期函数
B.偶函数也是周期函数
C.奇函数但非周期函数
D.偶函数但非周期函数
[快解]由于本题为选择题,故可用数形结合法,画出符合题意的图象即可选对答案.函数f(x)以点(3,0)为对称中心,以直线x=4为对称轴,如下图所示,点(2k-1,0)都是对称中心,直线x=2k都是对称轴,这里的k∈Z,故选B.
[另解切入点]因为f(x+3)=-f(3-x)、f(x+4)=f(4-x),所以函数f(x)以点(3,0)为对称中心,以直线x=4为对称轴.
[分析思维过程]要利用两个条件式,推证出f(x)是奇函数或偶函数,需找到两式的联系.x+4=(x+1)+3,有3-(x+1)=2-x出现,如此推演,有望得到结果.
[解析]∵f(x+3)=-f(3-x)①
f(x+4)=f(4-x)②
∴f(x+4)=f[(x+1)+3]=-f[-(x+1)+3]=-f(2-x)=-f[4-(x+2)]
=-f[4+(x+2)]=-f[3+(x+3)]=f[3-(x+3)]=f(-x).
则f(4-x)=f[(-x)+4]=f(x).
∴f(-x)=f(x),且f(x+4)=f(x).
故函数f(x)是偶函数,也是周期函数,选B.
[答案]B
[方法与技巧]解是由函数满足的关系一步一步推证,步骤较多,不易掌握.而数形结合法简单 直观,好掌握,易理解,对于解选择题非常适宜.
[得分主要步骤]运用好已知的两个条件式是很重要的.首先由②式入手,使之出现①式的形式,再由②到①,每步都需认真思考,是否满足条件,是否可以得到需要的结果.
[易丢分原因]各步变换时,注意符号,稍有不慎将会出错.如由f(x+4)得到f(-x),故f(4-x)=f[(-x)+4]=f(x).
技法二 探寻判断奇偶性的途径
[解]解法一:对于比较复杂的函数解析式,除了用定义法进行判断外,还可以考虑用f(-x)=±f(x)变形式:f(-x)±f(x)=0进行判断,应注意的是在利用这两个式子进行判断之前,应先探求是用f(-x)+f(x)=0还是用f(-x)-f(x)=0来进行判断.
[方法与技巧]本题是用验证法判断函数的奇偶性.关系式f(-x)±f(x)=0实质是函数奇偶性的定义f(-x)=±f(x)的一个变形式,使用这个变形式进行判断时,降低了对函数奇偶性判断的难度,将问题转化为代数式的化简过程,它比用定义法判断更简洁.
[方法与技巧]在用作商比较法进行判断时,容易出现以下错误:①忽略对x=0这一情况的判断;②按x≠0与x=0进行了讨论,当x=0时有f(-0)=0=-f(0)=f(0),就认为函数f(x)既是奇函数又是偶函数,事实上函数的奇偶性是函数的整体性质,因此不能将函数的定义域分割成几部分来确定它的奇偶性.(共50张PPT)
第二讲 命题及其关系 充分条件与必要条件
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1.命题
(1)一般地,我们把用语言 符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题,其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
(2)“若p则q”是数学中常见的命题形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
(3)若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为若q则p,它的否命题为若 p则 q,它的逆否命题为若 q则 p.
(4)互为逆否的命题是等价的,它们同真同假,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数可能为0 2 4个.
(5)否命题与命题的否定的区别:
首先,只有“若p则q”形式的命题才有否命题,其形式为“若 p则 q.”其他形式的命题只有“否定”,而没有否命题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而“若p则q”形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.
2.充要条件
(1)“若p则q”为真命题是指由p通过推理可以得出q,这时我们就说由p可以推出q,记作p q,并说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若既有p q又由q p,则p是q的充分必要条件,记作p q.
(3)从集合的角度认识充分条件 必要条件.
设A B为两个集合,A={x|p(x)},B={x|q(x)}
则①若A B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
②若B A,则p是q的必要条件;
③若A=B,则p是q的充要条件.
3.反证法证明命题的一般步骤
(1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定假设错误,肯定结论成立.
反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中含有“至多” “至少” “惟一” “不可能” “不都”等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.
考点陪练
答案:B
2.“m>2”是“方程x2-mx+m+3=0的两根都大于1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件
(2)m>2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m>2不能推出x1>1且x2>1.
由(1)(2)知m>2是方程的两根都大于1的必要不充分条件.
答案:B
3.(2010·陕西)对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:因为an+1>|an| an+1>an {an}为递增数列,但{an}为递增数列 an+1>an推不出an+1>|an|,故“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件,选B.
答案:B
4.(2010·山东)设{an}是等比数列,则“a1A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由题可知,若a1当a1>0时,解得q>1,此时数列{an}是递增数列,当a1<0时,解得0答案:C
5.(2010·深圳模拟题)若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r,则q是r的( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.以上结论都不对
解析:设p为A B,则q为B A,r为 A B.∴q是r的逆否命题.
答案:C
类型一 判断命题及其真假
解题准备:1.判断一个语句是否是命题的依据是命题的概念.
2.判断命题的真假,首先分清命题的条件和结论,直接判断.如果不易直接判断,可根据互为逆否命题的等价关系来判断.
【典例1】 (反例法)有下列四个命题:
(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
(2)“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
(3)“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题;
(4)“若ab是无理数,则a b是无理数”的逆命题.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解] (1)逆命题为“若x y互为相反数,则x+y=0”是真命题.
(2)∵原命题为假,∴其逆否命题为假.
(3)否命题为“若x>-3,则x2+x-6≤0”,假如x=4>-3,但x2+x-6=14>0,故为假.
(4)逆命题“若a b是无理数,则ab也是无理数”,假如 则ab=2是有理数.故为假.
[答案] B
[反思感悟] 判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需证明.
类型二 四种命题及其关系
解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:①当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;②原命题 逆命题 否命题 逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个 2个 4个.
【典例2】 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 命题的否定,并判断它们的真假:
(1)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根;
(2)若xy=0,则x=0或y=0;
(3)若x2+y2=0,则x、y全为0.
[解] (1)原命题是真命题;
逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q≤1,为真命题;
否命题:若q>1,则方程x2+2x+q=0无实根,为真命题;
逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q>1,为真命题;
命题的否定:若q≤1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题.
(2)原命题为真命题;
逆命题:若x=0或y=0,则xy=0,是真命题;
否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0,是真命题;
逆否命题:若x≠0且y≠0,则xy≠0,是真命题;
命题的否定:若xy=0,则x≠0且y≠0,是假命题.
(3)原命题为真命题.
逆命题:若x、y全为0,则x2+y2=0,为真命题;
否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为0,为真命题;
逆否命题:若x、y不全为0,则x2+y2≠0,为真命题;
命题的否定:若x2+y2=0,则x、y不全为0,是假命题.
[反思感悟] (1)注意:①“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数” “x不是奇数y是奇数” “x、y都不是奇数”三种情况;②“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”,而不是“x≠0或y≠0”,因为“x=0或y=0”包含“x=0且y≠0”、“x≠0且y=0” “x=0且y=0”三种情况.
(2)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.
类型三 充分必要条件的判定与证明
解题准备:判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义:如果p q,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件;如果q p,则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件;如果既有p q,又有q p,记作p q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
【典例3】 求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负实数根的充要条件是a≤0或a=1.
[思路点拨] 首先应从充分性和必要性两个方面进行证明,其次要注意对参数a的分类讨论.
[证明] 充分性:
当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=- ,方程只有一负根.
当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1.
方程只有一负根.
当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且
,方程有一正一负根.
必要性:
若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根.
当a=0时,适合条件.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,
则Δ=4-4a≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一负根x=-1.
若方程有且仅有一负根,
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a=1.
[反思感悟] (1)这类证明问题需要证明充分性和必要性两个方面,因此应分清条件和结论,由条件证明结论成立是充分性,由结论证明条件成立是必要性,不能将二者混淆;(2)涉及一元二次方程根的问题,主要利用根的判别式进行求解,同时不能忘记对x2项系数的分类讨论.
[探究] 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件 如果存在,求出p的取值范围.
[分析] “4x+p<0”是条件,“x2-x-2>0”是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的p的范围.
[反思感悟] 本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结合数轴确定p的范围.
错源一 判断充分必要条件时不注意设问方式
【典例1】 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{-1,3,5} D.x≤- 或x≥3
[错解] 由2x2-5x-3≥0得x≥3或x≤- ,当x≥3或x≤ - 时能推出B选项,
但当B选项成立时,不一定能推出x≥3或x≤ - ,所以选B.
[剖析] 本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式,混淆了条件和结论而导致的.正确的理解是所选选项是2x2-5x-3≥0成立的充分不必要条件.
[正解] 依题意所选选项能使不等式2x2-5x-3≥0成立,但当不等式2x2-5x-3≥0成立时,却不一定能推出所选选项.由于不等式2x2-5x-3≥0的解为:x≥3或x≤- ,所以应选C.
[答案] C
错源二 四种命题的结构不明致误
【典例2】 写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
[剖析] 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命题 否命题 逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.
[正解] 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命题;
否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题;
逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.
[评析]四种命题的结构与等价关系
如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则A”,否命题是“若 A,则 B”,逆否命题是“若 B,则 A”.这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系.
技法一 等价命题转化法
【典例1】 若p:x+y≠3,q:x≠1或y≠2.则p是q的什么条件
[解] 直接判断原命题“若p,则q”的真假比较难,但它的逆否命题即“若x=1且y=2,则x+y=3”显然为真,故原命题也为真,即p q.
逆命题的真假较难判断,但它的等价命题否命题“若x+y=3,则x=1且y=2”显然为假,故逆命题也为假,即q p.所以p是q的充分不必要条件.
[方法与技巧] 当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四种命题的关系,对命题进行等价转换.常利用“原命题 逆否命题”,“否命题 逆命题”.一些否定形式的命题常用这种方法判定.
技法二 快速解题(列表法)
【典例2】 有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛,组委会只设一名特别奖.赛前观众A猜:不是1号就是2号能获特别奖;B猜:3号不可能获特别获:C猜:4 5 6号都不可能获特别奖;D猜;能获特别奖的是4 5 6号中的一个,赛后结果表明,四人中只有一人猜对了.问:谁猜对了 几号歌手获特别奖
[快解] 将所猜能获奖的记为√,不能获奖记为×,由题意得下表:
歌手
观众 1 2 3 4 5 6
A √ √ × × × ×
B √ √ × √ √ √
C √ √ √ × × ×
D × × × √ √ √
从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对,是C猜对的,3号歌手得了特别奖.
[解题切入点] 可由C D所猜入手.这两人所猜是对立的,但D与B不能都对,因此,可以C猜对为前提进行推证.
[分析思维过程] 可以明显看出C D所猜是对立的.若C猜对了,则B D都没猜对.再看A,A猜1号或2号,因为只有一个猜对,就不可能是1号或2号,只能是3号.如果是3号获特别奖,那么A B D都没有猜对,只有C猜对了.
[解] 将A B C D四人猜的结果分别记为命题PA PB PC PD,则PC与PD必一真一假.若PD为真,则PB也真,不合题意,则PC应为真.由题意,则PA必为假.当PA假时,只有3号能获特别奖.此时再看PA PB PC PD四命题,只有PC是真的,符合题意.故C猜对了,3号获得特别奖.
[得分主要步骤] 本题主要是入手抓住C D所猜结果对立,必有一人猜对.假设其中一人是对的,若推下去不合题意,则另一人必对,于是思路清晰,结果渐趋明朗.
[易丢分原因] 如果切入点抓不准,则解答起来很乱,无头绪,当然花费时间也较多,也难以得分.比较以上两种解法,前者显然比后者优越得多.(共55张PPT)
第十九讲
三角恒等变换
回归课本
1.三角恒等变换主要包括
角的变换 函数名称的变换 常数的变换 幂的变换和式子结构的变换.
3.万能公式
4.积化和差公式
(1)sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)];
(2)cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)];
(3)cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)];
(4)sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)].
5.和差化积公式
(1)sinθ+sinφ=2sin
(2)sinθ-sinφ=2cos
(3)cosθ+cosφ=2cos
(4)cosθ-cosφ=-2sin
考点陪练
答案:B
答案:A
答案:C
4.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于()
A.3-cos2x B.3-sin2x
C.3+cos2x D.3+sin2x
解析:∵f(sinx)=2+2sin2x,
∴f(x)=2+2x2.
∴f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.
答案:C
答案:2
类型一 三角函数式的化简
解题准备:化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一 减少角的个数);二是三角函数名称的变换(即尽量减少 统一函数名称,如“切化弦”).具体问题中可双管齐下,整体变换.
[反思感悟]三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值.
类型二 三角函数式的求值
解题准备:三角函数式的求值
三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值 给值求值 给值求角.
①给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.
[反思感悟]给值求值问题是给出某个角(或两个角)的三角函数(式)的值,要求其他角的三角函数值.解决此类问题的关键是利用角的变换,把待求角用已知角表示出来,利用两角和 差或倍角公式把待求角的三角函数值求出,如果条件所给的式子比较复杂,则需先将其化简.在三角函数求值过程中,同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是常用工具.
类型三 已知三角函数值求角
解题准备:已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤:第一,定角的范围,很多时候我们需要根据题中给出的三角函数值或中间结果中的三角函数值进一步缩小角的范围;第二,求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调);第三,根据角的范围写出所求的角.其中在第二步中,具体选用哪个三角函数,一般可由条件中的函数确定,一般已知正切函数值,选正切函数;已知正 余弦函数值,选正 余弦函数;
若角的范围是 正 余弦函数均可;若角的范围是(0,π),一般选余弦函数;若角的范围是 则一般选正弦函数等.
[答案]A
类型四 三角函数式的证明
解题准备:三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.
①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.
②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径对条件等式进行变形,直到得到所证等式,或者将欲证等式及条件进行变式,创造机会代入条件,最终推导出所证等式.
错源一 合理运用公式的能力差
[错解]由sinα+cosα= 得
(sinα+cosα)2=1+sin2α=
所以sin2α= .
因为0<α<π,所以0<2α<2π.
由sin22α+cos22α=1
得cos2α=±
故选C.
[剖析]由于选择了sin22α+cos22α=1,求cos2α的值时符号不能确定,造成解题错误.
[正解]由sinα+cosα= ①
得(sinα+cosα)2=1+sin2α= 所以sin2α= .
因为sin2α=2sinαcosα<0,且0<α<π,所以 <α<π.
所以sinα-cosα>0.
因为(sinα-cosα)2=1-sin2α= ,
所以sinα-cosα= ②
由①×②得:sin2α-cos2α= ,
即cos2α=cos2α-sin2α= 故选B.
[答案]B
错源二 忽视角的范围
【典例2】若α、β是锐角,且sinα-sinβ=- ,cosα-cosβ= ,求tan(α-β).
技法 三角恒等变换的六种意识
一 降幂意识
主要针对sinx,cosx出现高次幂的情况,常常通过配方或者利用倍角公式进行求解.
【典例1】当α+β=30°时,求sin2α+cos2β+cosαsinβ的值.
二 统一意识
三角变换的实质归结到一点就是化异为同.解三角题时,应敏锐地观察题目中角 名称 运算等之间的差异,然后设法消除差异 实现统一.
【典例2】已知sin(2α+β)+2sinβ=0,且cosαcos(α+β)≠0,求证:tanα=3tan(α+β).
[证明]因为2α+β=α+β+α,β=α+β-α,
所以sin(α+β+α)+2sin(α+β-α)=0,
即sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα+2sin(α+β)cosα-2cos(α+β)sinα=0,
所以3sin(α+β)cosα=cos(α+β)sinα,
又因为cosαcos(α+β)≠0,可两边同时除以cosαcos(α+β)即可得证.
三 整体意识
如果所涉及的三角问题中已知式和待求式的结构类似,则可用整体代换,即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换.
【典例3】化简:
cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)- cos2θ.
[解题切入点]由于观察到此式中的角出现θ+15°,θ-15°与2θ,要达到角的统一,需将角θ+15°,θ-15°向角2θ进行转化,因此,可考虑二倍角的变形公式.
四 代换意识
代换是解三角题经常用到的技巧,如特殊值与三角函数的代换 1的代换等,恰当地进行代换有利于迅速解题,又如在一个函数式中同时出现sinx±cosx与sinx cosx,可考虑设t=sinx±cosx等.
五 消元意识
消元法在解三角题中有着广泛的应用,如给角求值时,消去非特殊角;证明条件等式时,消去结论中不含的角或函数等.
[解题切入点]此题各式间的差异较大,不仅角之间有差异,而且函数名及结构之间也存在较大的差异,为此,我们要重点抓住某一特征差异进行分析,以求突破.
六 配凑意识
为利用公式而配因子,为利用已知角而凑角,这些都是解三角题的常用手段.(共46张PPT)
第十一讲函数的图象
回归课本
1.
2.平移变换
(1)y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得到函数y=f(x+a)的图象.
(2)y=f(x-b)(b>0)的图象可由y=f(x)的图象向右平移b个单位得到.
对于左 右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减.
而对于上 下平移,相比较则容易掌握,原则是上加下减,但要注意的是加 减指的是在f(x)整体上.
如:h>0,y=f(x)±h的图象可由y=f(x)的图象向上(下)平移h个单位而得到.
3.对称变换
(1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称;
(2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称;
(3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称;
(4)y=|f(x)|的图象:可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分关于x轴翻转180°,其余部分不变;
(5)y=f(|x|)的图象:可先作出y=f(x),当x≥0时的图象,再利用偶函数的图象关于y轴对称,作出y=f(x)(x≤0)的图象.
4.伸缩变换
(1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变而得到;
(2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的\frac{1}{a},纵坐标不变而得到.
考点陪练
1.(2010·湖南)函数y=ax2+bx与
在同一直角坐标系中的图象可能是( )
解析:从对数的底数入手进行讨论,再结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断,故选D.
答案:D
2.函数y=f(x)的图象如下,那么下列对应错误的是()
解析:y=f(|x|)是偶函数,图象关于y轴对称,故B错误.
答案:B
3.设函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是下面的()
解析:由y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,知y=f(x)·g(x)为奇函数,又在x=0处无定义.
答案:D
4.先作与函数 的图象关于原点对称的图象,再将所得图象向右平移2个单位得图象C1,又y=f(x)的图象C2与C1关于y=x对称,则y=f(x)的解析式是()
A.y=10x B.y=10x-2
C.y=lgx D.y=lg(x-2)
答案:A
5.(2010·浙江杭州模拟题)函数f(x)=loga|x|+1(0解析:作出函数y=logax(0答案:A
类型一 作图
解题准备:1.画函数图象通常有列表 描点 连线三个步骤,用描点法作图在选点时通常选特殊点,如最值点 图象与x轴的交点等.有时也可以利用函数的性质,如单调性 奇偶性 周期性等,以便于简便的画出函数的图象.
2.可利用基本初等函数的图象进行变换作图.
[分析]首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数,然后由基本初等函数图象变换得到.
(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图③.
(4)先作出y=2x的图象,再将其图象在y轴左边的部分去掉,并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=2|x|的图象,再将y=2|x|的图象向右平移一个单位,即得y=2|x-1|的图象,如图④.
类型二 识图
解题准备:函数的图象是探求解题的途径,获得解决问题方法的重要工具,函数图象的性质反映了函数关系;函数关系要重视结合函数图象,用数形结合的思想方法解决.
对于给定的函数的图象,要能从图象的左右 上下分布范围 变化趋势 对称性等方面研究函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性等,注意图象与函数解析式中参数的关系.
【典例2】为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为
如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为
__________________;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室.
[分析]根据函数图象求出函数图象所过的特殊点是求解的关键.
0.6
类型三 函数的图象变换
解题准备:1.图象变换的方法
研究函数离不开作图,作图的基本方法有两种,一种是描点法,另一种是变换法.变换法作图是应用基本函数的图象,通过平移、伸缩、对称等变换,作出相关函数的图象.应用变换法作图,要求我们熟记基本函数的图象及其性质,准确把握基本函数的图象特征.
2.证明图象的对称性时应注意
(1)证明函数图象的对称性,即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上.
(2)证明曲线C1与C2的对称性,即要证明C1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2上,反之亦然.
3.知识深化
(1)若f(x)对任意x满足f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称;反之有结论:f(x)=f(2a-x),f(-x)=f(2a+x)等;
(2)若f(x)对任意x满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线 对称.
[解析]f(x)的图象如图所示,
f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位;
f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称;
由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在
y轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象
关于y轴对称得到;
|f(x)|的图象是将f(x)图象在x轴下方部分关于x轴翻转180°,其余部分不变,故D错.
[答案]D
类型四 函数图象的应用
解题准备:研究方程的根的个数 根的范围问题,尤其是当方程不是常见的一元一次方程 一元二次方程且方程与常见的基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.
【典例4】若关于x的方程|x2-4x+3|-a=x至少有三个不相等的实数根,试求实数a的取值范围.
[分析]原方程重新整理为|x2-4x+3|=x+a,将两边分别设成一个函数并作出它们的图象,即求两图象至少有三个交点时a的取值范围.
[解]原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,在同一坐标系下分别作出y=|x2-4x+3|,y=x+a的图[TP及14.tif,Y]象.如图.则当直线y=x+a过点(1,0)时a=-1;当直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切时,
错源一 作图不规范
【典例1】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有2个公共点,求a的取值范围.
[错解]在同一坐标系中分别作出y=2a与y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象(分01).由图得出a∈(0,1)∪(1,+∞).
[剖析]因部分考生作图不规范,少作了渐近线,从而使a的范围扩大,产生增解.
[正解]作图如下:
错源二混淆“函数自身对称”与“两个函数对称”
【典例2】设函数f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于()
A.直线y=0对称
B.直线x=0对称
C.直线y=1对称
D.直线x=1对称
[错解]本题易犯如下错误:
∵函数定义在实数集上且f(x-1)=f(1-x),
∴函数的图象关于x=0对称,故选B.这种错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈.
[正解]因为y=f(x),x∈R,而f(x-1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的,又f(1-x)=f[-(x-1)]的图象是f(-x)的图象也向右平移1个单位而得到的,因f(x)与f(-x)的图象是关于y轴(即直线x=0)对称,因此f(x-1)与f[-(x-1)]的图象关于直线x=1对称.
[答案]C
技法 快速解题(数形结合法)
【典例】当m为怎样的实数时,方程x2-4|x|+5=m有四个互不相等的实数根
[快解]作出y=f(x)=x2-4|x|+5的图象可以看出,当m=1时有两根,当m=5时,有三个根,当1[另解切入点]这是关于|x|的一元二次方程,须使|x|取得两个不同的正数,x才有4个不同的值.
[分析思维过程]
由于x2=|x|2,关于|x|的方程只有非负根.若有一零根,则原方程只有三个不同的实数根,不合题意.故|x|有两个正数值.对于方程|x|2-4|x|+5-m=0,应满足其判别式大于零,两根之积大于零.
[解]解法一:x2-4|x|+5=m可写为:
|x|2-4|x|+5-m=0①
这是关于|x|的一元二次方程,故其两根必非负.又因为原方程有四个不同的实根,对方程①必有两正根,得
[方法与技巧]关于x的方程与关于|x|的方程是不同的.只要是一元二次方程都可以用根的判别式和根与系数的关系.本题是关于|x|的一元二次方程.解决方程的根的问题,运用函数的思想及数形结合的方法,可以快速解题,准确得到结果.
[得分主要步骤]看作|x|的一元二次方程很重要.在运用数形结合法时,将|x|作为函数的变元,y=f(|x|)是偶函数,其图象关于y轴对称,便于画图.|x|的值非负,由题意可知必为正,可得两根之积大于零.
[易丢分原因]分不清方程是关于x或|x|的一元二次方程,则两根之积的符号会弄错,导致丢分.解法二中,当x≥0时,方程①有两个正根,当x<0时,方程②有两个负根,但都有5-m>0,虽然结果相同,但分类要清楚.(共44张PPT)
第三模块导数及其应用
第十四讲导数的概念及其运算
回归课本
1.导数的概念
(1)f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,
即f′(x0)
(2)导函数
当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′ =
注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.
则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y-y0=f′(x0)(x-x0).
3.几种常用函数的导数
(1)c′=0(c为常数);
(2)(xn)′=nxn-1(n∈N);
(3)(sinx)′=cosx;
(4)(cosx)′=-sinx;
(5)(ex)′=ex;
(6)(ax)′=axlna;
4.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如[f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+h′(x)等.
5.复合函数的导数
设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数,且y′x=y′u·u′x或写作fx(φ(x))=f′(u)·φ′(x).
考点陪练
1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足()
A.Δx>0 B.Δx<0
C.Δx≠0 D.Δx=0
解析:当Δx>0时,是从右端趋近,Δx<0时,是从左端趋近,这就是“附近”的意义.
答案:C
评析:本题运用平均变化率中的Δx的意义来解决问题.
2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A.0.41 B.3
C.4 D.4.1
答案:D
3.设函数f(x)可导,则
等于( )
A.f′(1) B.3f′(1)
C. f′(1) D.f′(3)
答案:A
4.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=(x-1)3+3(x-1)
B.f(x)=2(x-1)
C.f(x)=2(x-1)2
D.f(x)=x-1
解析:先求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时,
f′(x)=3(x-1)2+3且f′(1)=3(1-1)2+3=3.
答案:A
5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=x-1B.y=-x+1
C.y=2x-2D.y=-2x+2
解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A.
答案:A
类型一 利用导数定义求导数
解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方法,应熟练掌握,关键是变形,找出分子与分母的对应关系.
[反思感悟]利用定义法求导数,要先求出
然后分离出与Δx无关的量,再求解.
类型二 利用求导公式求导数
解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的导数的基本步骤:
(1)分析函数y=f(x)的结构和特征;
(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导;
(3)整理得结果.
2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解更为方便.
[解](1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx;
(2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′
=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′
=3xln3 ex+3xex-2xln2;
=(ln3+1) (3e)x-2xln2;
[反思感悟]理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判断不清,也是导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和掌握导数的运算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准确有效地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性,在解决新问题时才能举一反三,触类旁通,得心应手.
类型三 导数的几何意义及应用
解题准备:求曲线切线方程的步骤是:
①求导数f′(x);
②求斜率k=f′(x0);
③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
[分析]求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程.
[反思感悟]利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件:
(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标.
(2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.
错源一 因忽视解题顺序而致错
[剖析]f(x)在点x0处的导数f′(x0),实际上是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,即f′(x0)=f′(x)|x=x0.故求f(x)在x0处的导数f′(x0),应先求f(x)的导函数f′(x),再将x=x0代入f′(x)求值,顺序不能颠倒.
错源二 忽视复合函数的求导
【典例2】已知函数f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,c∈R且为常数,若b2>4(c-1),求证:方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
[错解]f′(x)=(x2+bx+c)′·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)′
=(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x
=e-x[x2+(b+2)x+b+c].
由f′(x)=0
即e-x[x2+(b+2)x+b+c]=0,
得x2+(b+2)x+b+c=0.
Δ=(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4.
由于b2>4(c-1),所以Δ>0.
故方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
[剖析]本错解“歪打正着”,虽然未注意到复合函数的求导,但结论居然也被“证”出来了,显然是一种巧合,也说明了这种错误的隐蔽性很好.
[正解]f′(x)=(x2+bx+c)′·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)′
=(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x
=e-x[-x2+(-b+2)x+b-c].
由f′(x)=0,即
e-x[-x2+(-b+2)x+b-c]=0,
得x2+(b-2)x-b+c=0.
Δ=(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4.
由于b2>4(c-1),所以Δ>0.
故方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
技法一 活用导数定义
【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2) … (x-2006),则f′(0)=________.
[解析]
=1×2×3×…×2006.
[答案]1×2×3×…×2006
技法二 先化简再求导,优化解题过程
【典例2】求函数y=cotx的导数.
[解题切入点]对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公式,一些同学不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx来表示的式子,然后再按照商的求导法则来求导即可求解.
[方法与技巧]一些常用求导的策略:
(1)多项式相乘型的函数求导,往往把多项式展开后再利用公式求导.
(2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形式再利用公式求导.
(3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导.
(4)对于某些没有给出求导公式的函数,可以先化为有求导公式的函数表示再求导.(共49张PPT)
第十八讲
两角和与差及二倍角公式
回归课本
1.C(α-β)∶cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C(α+β)∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
S(α+β)∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
S(α-β)∶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
T(α+β)∶tan(α+β)= (α,β,α+β≠kπ+ ,k∈Z)
T(α-β)∶tan(α-β)= (α,β,α-β≠kπ+ ,k∈Z).
注意:(1)注意公式的适用范围:在T(α±β)中,α,β,α±β都不等于kπ+ (k∈Z).即保证tanα tanβ tan(α±β)都有意义.
(2)对公式tan(α+β)= ,下面的四种变式在以后的解题中经常用到:
① =tan(α+β)(逆用);
②1-tanαtanβ=
③tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);
④tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β)-tanα-tanβ.
2.在和角公式S(α+β) C(α+β) T(α+β)中,当α=β时就可得到二倍角的三角函数公式S2α C2α T2α.
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α,
tan2α=
3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得变形公式sin2α=
,cos2α= ,它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.
4.asinα+bcosα= sin(α+φ),其中cosφ= ,sinφ=
,tanφ= .φ的终边所在象限由点(a,b)来确定.
注意:(1)公式成立的条件:在公式中,只有当公式的等号两端都有意义时,公式才成立.
(2)公式应用要讲究一个“活”字,即正用 逆用 变形用,还要创造条件用公式,如拆角 配角技巧:β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等.
注意切化弦 通分等方法的使用,充分利用三角函数值的变式,如1=tan45°,-1=tan135°, =tan60°, =cos60°或
=sin30°,sinx+ cosx=2sin 学会灵活地运用公式.
(3)当角α,β中有一个角为90°的整数倍时,使用诱导公式较为简便,诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特例.
(4)搞清公式的来龙去脉,C(α-β)是基础,其他公式都是用代换法及诱导公式得到的推论,即
(5)二倍角公式的正用 逆用及变形用是公式的三种主要使用方法,特别是变形用有时恰是解题思路的关键.如:
2sinαcosα=sin2α,
sinαcosα= sin2α,
cosα=
cos2α-sin2α=cos2α,
=tan2α,
1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα
=(sinα±cosα)2,
1+cos2α=2cos2α,
1-cos2α=2sin2α.
考点陪练
1.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于( )
解析:sin15°cos75°+cos15°sin105°
=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin90°=1.
答案:D
答案:A
答案:B
4.下列各式中,值为 的是( )
A.2sin15°cos15° B.cos215°-sin215°
C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°
答案:B
答案:A
类型一 两角和与差的三角函数
解题准备:利用和差公式对三角函数式进行化简与求值,是每年高考必考内容,纵观近几年的高考试题,对本考点的内容一是直接考查,二是以和差公式为角的变换工具,与向量 函数 不等式等知识相结合的综合题.
[分析] 先将条件等式展开,联立方程组求得sinα cosβ与cosα sinβ的值,再将待求式子化简即可.
[反思感悟] 已知三角函数值,求三角函数式的值,往往要对待求式进行化简.像本题通过化简发现必须先求 的值,而已知条件为正弦函数值,因此由求 转化为求
的值,从而容易想到将两个条件等式展开,再联立方程组即可.
类型二 二倍角的三角函数
解题准备:本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式为工具,对角或函数名称进行恰当变换,以化简求值为主,在具体问题中,必须熟练准确地运用公式.
[反思感悟]二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角,相应三角函数式项的次数翻倍(即升幂);其逆用则是化二次式为一次式(即降幂),单角变倍角,求解中注意倍角与单角的相对性.
类型三 辅助角公式的应用
解题准备:1.由S(α+β),我们可以得出辅助角公式,即asinx+bcosx= sin(x+φ)(其中φ角的终边所在象限由a,b的符号确定,φ角满足cosφ= ,sinφ=
,这是经常用到的一个公式,它可把含sinx、cosx的一次式的三角函数式化为Asin(x+φ)的形式,从而进一步探索三角函数的性质.
错源一 使用公式时不注意使用条件
[剖析]这是一道热点测试题,上述解法执行了“标准”答案选A.题设条件中的m∈(0,1),事实上,如当α=2kπ+ (k∈Z)时,1-2m2=0,tan2α失掉意义,若题设条件中限制m≠ ,则应当选A.
[答案]D
错源二 求角时对角的范围讨论不准确
【典例2】若tan(α-β)= ,tanβ= ,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.
[剖析]上述解法就是犯了对角的讨论不正确而错误确定了所求角的取值范围.
技法一 构造斜率
【典例1】求值:
[解]设A(cos40°,sin40°),B(cos20°,sin20°),于是所求是A B两点连线的斜率kAB,而A B两点都在单位圆x2+y2=1上.
设直线AB与x轴交于C点,作OD⊥AB垂足为D.易知∠xOB=20°,∠xOA=40°,∠BOA=20°,∠BOD=10°,于是在Rt△COD中,∠COD=30°,∠DCO=60°,于是直线AB的倾斜角∠xCD=120°,
所以kAB= =tan120°=
技法二 巧用两角和与差公式解题
一 巧变角
1.巧凑角
【典例2】若锐角α、β满足cosα= ,cos(α+β)= ,求sinβ的值.
[解]注意到β=(α+β)-α,
∴sinβ=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
∵α为锐角且cosα= ,∴sinα=
2.巧拆角
【典例3】求 的值.
[解题切入点]该题为非特殊角三角函数求值,不能直接进行,注意拆角向特殊靠拢易求值.
二 巧变公式结构
【典例4】求tan25°+tan35°+ tan25°tan35°的值.
[解]注意到25°+35°=60°,故用两角和正切变形公式.原式=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°)+ tan25°tan35°= (1-tan25°tan35°)+ tan25°tan35°=
三 巧引参数
【典例5】已知锐角α、β满足条件 求证α+β= .
[解题切入点]若注意到已知条件满足公式sin2α+cos2α=1时,可引进参数θ,进行三角代换.
[证明]由已知可设 =cosθ, =sinθ,则有
sin2α=cosθ cosβ,①
cos2α=sinθ sinβ②
①+②得sin2α+cos2α=cosθcosβ+sinθsinβ
即1=cos(θ-β).
∴θ-β=2kπ(k∈Z),θ=2kπ+β(k∈Z).
∴sin2α=cosθcosβ=cos2β,
cos2α=sinθsinβ=sin2β.
又∵α β为锐角,∴sinα=cosβ=
又∵α= -β,故α+β=(共46张PPT)
第十二讲函数与方程
回归课本
1.函数的零点
(1)对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)方程f(x)=0有解 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
2.二分法
(1)对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
2)求区间(a,b)的中点x1.
3)计算f(x1),
a.若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
b.若f(a)f(x1)<0,则令b=x1,(此时零点x0∈(a,x1));
c.若f(x1)f(b)<0,则令a=x1,(此时零点x0∈(x1,b)).
4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复2)~4).
考点陪练
1.(2010·天津)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是
( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析:由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的零点存在性定理,知函数f(x)的零点在区间(0,1)内,选C.
答案:C
2.(2010·江苏盐城)方程log4x+x=7的解所在区间是
( )
A.(1,2) B.(3,4)
C.(5,6) D.(6,7)
解析:构造函数F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-2<0,F(6)=log46-1>0,F(x)在(5,6)内有零点,即log4x+x=7在(5,6)内有解,故选C.
答案:C
解析:因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,所以在(1,2)内f(x)无零点,A错误;又f(3)=ln3- 0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内至少有一个零点.
答案:B
4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是()
A.a<1 B.a>1
C.a≤1 D.a≥1
解析:由方程x2+2x+a=0的判别式小于0可得a>1.
答案:B
5.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些连续整数之间没有根
( )
A.-2与-1之间 B.-1与0之间
C.0与1之间 D.1与2之间
解析:∵f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,∴f(x)在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内均有根.故只有C选项符合题意.
答案:C
类型一 函数零点存在性的判断与方法
解题准备:函数零点个数的判定有下列几种方法:
(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a) f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
【典例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];
(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];
(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3];
(4)f(x)= -x,x∈(0,1).
[解](1)∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0,
∴f(1)·f(8)<0,
故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.
(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,
∴f(-1)·f(2)<0,
∴f(x)=x3-x-1在区间[-1,2]上存在零点.
(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0,
f(3)=log2(3+2)-3∴f(1)·f(3)<0,
故f(x)=log2(x+2)-x在区间[1,3]上存在零点.
(4)画出f(x)= -x的图象如图所示.
由图象可知,f(x)= -x在(0,1)内的图象与x轴没有交
点,故f(x)= -x在区间(0,1)上不存在零点.
[反思感悟]判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.
类型二 二分法求方程的近似解
解题准备:1.用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计算过程所得到各个区间 中点坐标 区间中点的函数值等置于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程,有时也可利用数轴来表示这一过程;
2.在确定方程近似解所在的区间时,转化为求方程对应函数的零点所在的区间,找出的区间[a,b]长度尽可能小,且满足f(a) f(b)<0.
【典例2】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(误差不超过0.1).
[分析]由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间[m,n],且f(m)·f(n)<0,如计算出f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,所以可取区间[1,2]作为计算的初始区间(当然选取(0,2)也是可以的).
[解]∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0,
∴存在x∈(1,2),使f(x)=0.
用二分法逐次计算,列表如下:
∵最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7,
∴所求的正数零点是1.7.
[反思感悟]用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小;其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间的端点的近似值(精确到给定的精确度)是否相等,以决定是停止计算还是继续计算.
类型三 函数零点的应用
解题准备:由于函数的零点与函数的图象以及相应方程的根都有密切的关系,因此我们通过研究函数的零点问题,可讨论方程根的分布问题,解不等式,也可以作出相应的函数的图象,讨论函数的性质.我们在解决有关问题时,一定要充分利用这三者的关系,观察 分析函数的图象,找函数的零点,判断各区间上函数值的符号,使问题得以解决.
【典例3】已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,
g(x)=x+ (x>0).
(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;
(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
[分析](1)g(x)=m有零点,可以分离参数转化为求函数最值.(2)利用图象求解.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.
∴其对称轴x=e,f(x)max=m-1+e2.
若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点.
必须有m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1.
即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
[反思感悟]在解答有关函数零点的综合问题时,常利用方程思想或利用函数构造法,并结合数形结合的思想来解决此类问题.
错源一 函数零点定理使用不当致误
【典例1】函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正实数的零点,则实数m的取值范围是()
A.(-∞,1] B.(-∞,0]∪{1}
C.(-∞,0)∪{1} D.(-∞,1)
[剖析]解本题易出现的错误是分类讨论片面 函数零点定理使用不当.如忽视了对m=0的讨论,这样就会出现误选C的错误.
[正解]当m=0时,x= 为函数的零点;当m≠0时,若Δ=0,即m=1时,x=1是函数唯一的零点,若Δ≠0,显然x=0不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)=mx2-2x+1=0有一个正根一个负根,即mf(0)<0,即m<0.故选B.
[答案]B
[评析]函数的零点定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也是方程f(x)=0的根,我们称这个结论为函数的零点定理.函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”,如本题中的x=1就是函数的“不变号零点”,对于“不变号零点”,函数的零点定理是“无能为力”的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题.
错源二 “极值点”与“零点”关联不清
【典例2】若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是()
A.(-2,2) B.[-2,2]
C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
[错解]由题意知方程x3-3x+a=0有3个根,
∴a的取值范围为(1,+∞),故选D.
[剖析]本题的错误在于不能将函数零点问题与导数的应用联系起来求解,不能从极值的角度分析函数的图象,因此找不到解题的突破口.
[正解]函数f(x)有3个不同的零点,即其图象与x轴有3个不同的交点,因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可.
f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,则x=±1,
故极值为f(-1)和f(1),f(-1)=a+2,f(1)=a-2,
所以应有(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2),选A.
[答案]A
技法 确定方程根的个数的三种方法
一 利用函数的周期性
【典例1】设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(x+2),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0,
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.
[解题切入点]对于(1)可用特殊化策略求解,对于(2)可据条件首先求出函数的周期,利用其周期适当分段结合题设条件确定.
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两根,从而可知y=f(x)在[0,2000]上有400个根,在[2000,2005]上有两根,在[-2000,0]上有400个根,在[-2005,-2000]上没有根,所以函数y=f(x)在[-2005,2005]上有802个根.
[答案]C
[方法与技巧]如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象不间断,并且有f(a) f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
三 判别式法
【典例3】已知f(x)=ax2+bx+c及g(x)=-bx,其中,a,b,c∈R,a>b>c,a+b+c=0,试确定f(x)-g(x)=0的根的个数.
[解]因为a+b+c=0,a>b>c,
所以a>0,c<0.所以f(x)-g(x)=0,即ax2+bx+c-(-bx)=0,ax2+2bx+c=0.因为Δ=4(b2-ac),而ac<0,则Δ>0,所以f(x)-g(x)有两个不同的实根.(共54张PPT)
第二模块 函数
(必修1:第一章 函数概念;第二章 基本初等函数(Ⅰ);第三章 函数的应用)
第四讲 函数及其表示
回归课本
1.函数的概念
设集合A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对A中的任意一个数x,在集合B中,都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,自变量的取值范围叫做这个函数的定义域.自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a).所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.
2.构成函数的要素:定义域 对应关系 值域.
3.两个函数的相等
当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
4.常用的函数表示法
(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.
5.分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.
6.映射的概念
设A B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称f为从集合A到集合B的一个映射,记作“f:A→B”.
考点陪练
解析:当两个函数的解析式和定义域完全相同时,这两个函数相等.同时满足这两个条件的只有A,B中x≠0,C中x∈R,D中x∈R.
答案:A
2.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},则在下面4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有( )
A.①②③④ B.①②③
C.②③ D.②
解析:由函数的定义易知②③成立,故选C.
答案:C
解析:A中f(x)的定义域是{x|x≥0},
g(x)的定义域是{x|x≥0或x≤-1},f(x)与g(x)的定义域不同,∴f(x)与g(x)不是相等函数.
B中f(x)= 的定义域为{x|x∈R,且x≠2},g(x)的定义域为R,f(x)与g(x)的定义域不同,
∴f(x)与g(x)不是相等函数.
C中f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示,但定义域 对应关系都相同,所以f(x)、g(t)表示相同函数.
D中f(n)、g(n)的对应关系不同,所以不是相等函数.
所以应选C.
答案:C
评析:根据函数的三要素,从定义域 值域 对应关系等方面对所给的函数进行分析判断.
判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同.即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是相等函数,因为定义域 值域不能唯一地确定函数的对应关系.
此外,两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关.
4.已知集合A={(x,y)|y=f(x),x∈[-1,2]},集合B={(x,y)|x=0},则A∩B的子集的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.不确定
解析:函数f(x)定义在[-1,2]上,所以由函数定义知当x=0时有唯一的y与之对应,即直线x=0与函数图象有唯一交点,故A∩B中有一个元素,有2个子集.故选C.
答案:C
5.已知映射f:A→B,其中集合B={-2,0,4,10},集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的对应元素,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是(a+1)(a-2),那么集合A中元素的个数最多可能是( )
A.4 B.6
C.8 D.10
解析:当(a+1)(a-2)=10时,得a=4,-3;当(a+1)(a-2)=4时,得a=3,-2;当(a+1)(a-2)=0时,得a=2,-1;当(a+1)(a-2)=-2时,得a=0,1,所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有4,-3,3,-2,2,-1,0,1,一共8个,故选C.
答案:C
类型一 函数的基本概念
解题准备:(1)函数是指两个非空数集A B之间的一种对应关系,它要求集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应;(2)两个函数相等是指函数的三要素相同,由于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定,因此只需判定定义域与对应关系是否相同即可.
【典例1】 (1)函数y=f(x),x∈D与直线x=2交点个数为________.
[解析] (1)当x=2∈D时,根据函数定义A中任何一个自变量在B中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点;当x=2 D时,无交点.
(2)命题p中两函数的定义域不同,p是假命题,命题q中两函数对应关系不同,q也是假命题,所以p∨q是假命题.
[反思感悟] 两个函数的定义域 值域和对应关系中有一个不同,它们就不表示相等的函数.
[答案] (1)0个或1个 (2)假
类型二 求函数的解析式
解题准备:求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)消元法等.
类型三 分段函数
解题准备:(1)对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以便于选择与之相应的对应关系;
(2)分段函数体现了数学的分类思想,相应的问题处理应分段解决.
[分析] 先根据f(2)=1求出解析式中参数t的值,再进一步求 的值.
[答案] 8
[反思感悟] 对于分段函数给定自变量求函数值时,应根据自变量的范围,利用相应的解析式直接求解;若给定函数值求自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内.
[探究] 某市某种类型的出租车,规定3千米内起步价8元(即行程不超过3千米,一律收8元).若超过3千米,除起步价外,超过部分再按1.5元/千米收费计价,若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱,下车后乘客付了16元,则乘客乘车里程的范围是________.(单位:千米)
类型四 抽象函数
解题准备:抽象函数是一个难点,解决抽象函数问题,要全面应用所具有的性质展开解题思路,通常方法是赋值法,并善于根据题目条件寻找该函数模型,帮助探求解题思路和方法.
【典例4】 已知函数对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)求证:
(3)若f(2)=m,f(3)=n(m,n均为常数),求f(36)的值.
[解] (1)对a,b∈R,有f(ab)=f(a)+f(b),
令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0.
令a=b=1,得f(1)=0.
错源一 换元不等价
[剖析] 错解中采用了换元法,但换元前后变量取值范围不相等,所以错解中f(x)定义域为R是错的,f(x)定义域应为变量t的取值范围.
[评析]在应用换元法时应注意,换元后函数的形式变了但其实质并没有发生变化,所以新元的取值范围必须由原来的变量决定.
错源二 解析式化简不等价导致函数定义域变大
[剖析] 本题的错误在于盲目地对函数解析式进行化简,导致扩大了自变量x的取值范围.
[答案] {x|x∈R,x≠-1且x≠-2}
技法 求函数解析式的方法
一 特殊值法
【典例1】 已知对一切x,y∈R,关系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y都成立,且f(0)=1,求f(x).
[解题切入点] 由f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,y∈R都成立,可根据需要对x,y进行赋值,本题可令x=0.
[解] 因为f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,y∈R都成立.所以令x=0,
得f(-y)=f(0)-(1-y)y,
又f(0)=1,所以f(-y)=y2-y+1,
再令x=-y,得f(x)=x2+x+1.
[方法与技巧] 当所给函数的等式中有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数.
[方法与技巧] 已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的问题,可先用g(x)表示h(x),然后再将g(x)用x代替,即得f(x)的解析式.
三 换元法
[方法与技巧] 若已知条件中没有给出函数的具体解析式,但给出了函数的某种关系,可结合整体思想采用换元法,把解析式的某一部分设为一个变量进行求解,注意新变量的范围.
四 待定系数法
【典例4】 已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x).
[解] 设f(x)=ax2+bx+c,
f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4.
对应得a=1,b=-2,c=1.
所以f(x)=x2-2x+1.
[方法与技巧] 已知函数式的构造模式时可用.
五 转化法
【典例5】 设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R,均有f(x)+f(x+2)=0,当-1[解] 设1又对任意的x∈R,有f(x)+f(x+2)=0.
即f(x+2)=-f(x).
所以f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x).
又-1f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5.
所以f(x)=-f(x-2)=-2x+5(1故当x∈(1,3]时,f(x)=-2x+5.
七 分段求解法(共66张PPT)
第九讲指数与指数函数
回归课本
(n∈N*);
3.有理指数幂的运算性质
设a>0,b>0,则
aras=ar+s(r,s∈Q);
(ar)s=ars(r,s∈Q);
(ab)r=arbr(r∈Q).
4.指数函数的定义
形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数.
5.指数函数的图象与性质
y=ax a>1 0图象
定义域 (-∞,+∞)
值域 (0,+∞)
性质 过定点(0,1)
当x>0时,y>1; 当x>0时,0当x<0时,01
在(-∞,+∞)上是
增函数 在(-∞,+∞)上是
减函数[ZB)]
考点陪练
答案:D
答案:D
答案:C
答案:D
5.(2010·山东青岛二模)若y=e|x|(x∈[a,b])的值域为[1,e2],则点(a,b)的轨迹是图中的(　　　)
A.线段BC和OC B.线段AB和BC
C.线段AB和OA D.线段OA和OC
解析:据题意当a=-2,0≤b≤2时,函数的值域符合条件,其轨迹为图中线段AB,当-2≤a≤0,b=2时,函数值域符合条件,此时其轨迹为图中线段BC,故选B.
答案:B
类型一 指数幂的化简与求值
解题准备:解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将根式与指数幂互化.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,化繁为简.
对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示,如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示.
①有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于0,否则不能用性质来运算.②结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
类型二 指数函数的图象
解题准备:指数函数图象的特点
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,则0在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;
在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小;
即无论在y轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大.
[分析]本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和值域.
类型三 指数函数的性质
解题准备:(1)复合函数问题,应细致分析由哪些基本函数复合而成,讨论此类函数的单调性应分层逐一求解;
(2)换元法,通过换元将复杂的问题简单化,求解过程应注意中间变量的取值范围及转化的等价性.
[分析]求定义域与值域时可根据指数函数的概念和性质,结合函数自身有意义去求,对复合函数的单调区间通常利用复合函数的单调性,“同则增,异则减”的原则.
(2)由函数解析式可知定义域为R,
∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5,
令t=2x,则t>0,f(t)=t2-2t-5,
故f(t)=(t-1)2-6.
又∵t>0,∴当t=1时,ymin=-6,
故函数f(x)的值域是[-6,+∞).
由于t=2x是增函数,
∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间实际上是求f(t)的减区间.
∵f(t)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增.
故由t=2x≥1得x≥0;
由t=2x≤1得x≤0,
∴f(x)的增区间是[0,+∞),减区间是(-∞,0].
的单调区间时易忽视定义域.事实上,函数的单调性区间是其定义域的子集.
涉及复合函数单调性问题,首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的,求出复合函数的定义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间.利用定义证明时可分层比较,对于内外层函数,注意“同增异减”.
类型四 指数函数的综合问题
解题准备:指数函数是一类重要函数,与其他知识综合是高考考查的热点.解决这类问题的关键是熟练掌握指数函数的图象和性质,并注意分类讨论和等价转化的数学思想和方法.
[分析]先研究函数定义域,再依照奇偶函数的定义判断奇偶性;对于单调性,可结合指数函数的单调性进行分析;对于恒成立问题,则可借助单调性,求出f(x)的最值,再求解b的范围.
(2)当a>1时,a2-1>0,
y=ax为增函数,y=a-x为减函数,
从而y=ax-a-x为增函数,
所以f(x)为增函数.
当0y=ax为减函数,y=a-x为增函数,
从而y=ax-a-x为减函数.
所以f(x)为增函数.
故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.
[反思感悟]判断函数的奇偶性时必须先研究函数的定义域,而研究函数的单调性时,可以在已知的常见函数的单调性的基础上进行讨论,对于恒成立问题,一般都会与函数的最值有关,通过分离参数,求出函数的最值,从而可得到参数的取值范围.
错源一 忽视换元后新元的取值范围
[剖析]上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t的范围.事实上,新元t∈(0,+∞).
[评析]换元法不管在什么情况下使用,都必须要注意确定新元的范围,因为它是换元后的新函数的定义域.
错源二 忽视对参数的分类讨论造成漏解
【典例2】如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,试求a的值.
[剖析]本题的错解在于忽视了对参数a的讨论,误认为a>1.当指数函数和对数函数的底数含有参数时,要先对参数进行讨论,确定单调性,进而解决问题.
[正解]设t=ax,
则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时,t∈[a-1,a],ymax=a2+2a-1=14,
解得a=3或a=-5(舍);
当0ymax=(a-1)2+2a-1-1=14,
解得a= 或a= (舍).
故所求a的值为3或 .
技法一 快速解题(构造函数)
【典例1】已知x,y是实数,且3x+5y>3-y+5-x,则下列式子成立的是( )
A.x+y>0 B.x+y<0
C.x-y<0 D.x-y>0
[答案]A
技法二 四种策略比较指数大小
一 若底数相同,则可用单调性比较
【典例2】若0[解析]因为f(x)=ax(0aa>a1,
所以aa0[答案]a二 若指数相同,则可用图象比较
【典例3】比较0.7a与0.8a的大小.
[解]设函数y=0.7x与y=0.8x,则两个函数的图象关系如图.
当x=a≥0时,0.8a≥0.7a;
当x=a<0时,0.8a<0.7a.
[方法与技巧]对于不同底而同指数的指数值的大小的比较,利用图象法求解快捷而准确.
三 若底数与指数均不同,则可用中间值1
【典例4】比较30.4与0.43的大小.
[解]因为y=3x是增函数,所以30.4>30=1,又y=0.4x是减函数,所以0.43<0.40=1,故30.4>0.43.
四 作商法比较
【典例5】比较aabb与abba(a>b>0)的大小.
[方法与技巧]当底数与指数都不同,中间量又不好找,可采用作商比较法,即对两值作商,看其值大于1还是小于1.从而确定所比值的大小,一般情况下,这两个值最好是正数.(共52张PPT)
第六讲 函数的单调性与最大(小)值
回归课本
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.
当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;当f′(x)<0时,f(x)为减函数.
2.函数的最值
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件 ①对于任意x∈I,都有f(x)≤M; ①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
②存在x0∈I,使得f(x0)=M. ②存在x0∈I,使得f(x0)=M.
结论 M为最大值 M为最小值
结论 M为最大值 M为最小值
定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).
考点陪练
1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是( )
A. B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)
答案:A
答案:B
答案:D
答案:C
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;
②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
答案:①③
类型一 函数单调性的判定与证明
解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法 直接法 图象法.
1.用定义法证明函数单调性的步骤:
(1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x10;
(2)作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过因式分解 配方 有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;
(3)定号:确定差值Δy的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论;
(4)判断:根据定义作出结论.
2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数 二次函数 反比例函数的单调性均可直接说出.
了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处:
(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数 与y=f(x)的单调性相反;
(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等;
(4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增 异减”的原则.
3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调性的方法.
[反思感悟] 利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时,比较f(x1)与f(x2)的大小常用作差法,有时可运用作商法 放缩法等;讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.
类型二 函数的奇偶性与单调性
解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.
[分析] 利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.
∵x21+1>0,x22+1>0,x2-x1>0,
而x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0,
∴当x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)<0,
函数y=f(x)是增函数;
当x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)>0,
函数y=f(x)是减函数.
又f(x)是奇函数,
∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数.
又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故f(x)在[-1,1]上是增函数.
(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处可取得最大值.
∴f(1)= ，
∴函数的最大值为 ,无最小值.
类型三 求函数的最值
解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法.
(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用单调性求最值.
(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法.
(4)导数法:当函数较复杂(如指 对数函数与多项式结合)时,一般采用此法.
(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围.
[分析] 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.
类型四 抽象函数的单调性与最值
解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质的根本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配凑.
【典例4】 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
[分析] (1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.
[解] (1)设x1,x2∈R,且x1∴x2-x1>0,则f(x2-x1)>1.
∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1,
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1
又f(x2-x1)-1>0,
因此f(x2)>f(x1),
故f(x)在R上是增函数.
(2)令a=b=2,则f(4)=2f(2)-1.
又f(4)=5,∴f(2)=3.
原不等式即为f(3m2-m-2)由(1)知f(x)在R上是增函数,
∴3m2-m-2<2.
[反思感悟] (1)若函数f(x)是增函数,则f(x1)(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一 不注意分段函数的特点
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值大于(1,+∞)上的最大值,从而得出错误结果.
[答案] C
错源二 判断复合函数的单调性时,未弄清内 外函数的单调性而致错
技法一 复合法
[方法与技巧] 复合函数求单调区间是一个难点,我们应明确单调区间必须是定义域的子集,当求单调区间时,必须先求出原复合函数的定义域,再根据基本函数的单调性与“同为增,异为减”的原则判断复合函数的单调区间.
技法二 定义法
[方法与技巧]利用函数单调性的定义求单调区间的关键有两点:一是对f(x1)-f(x2)要正确变形,主要途径有:因式分解 配方 通分 有理化等;二是利用x1=x2=x确定函数增减区间的分界点,划定区间.
技法三 图象法
【典例3】求函数f(x)=|1-x2|+x的单调区间,并指出单调性.
[方法与技巧]作函数图象时,首先是要确定函数的定义域,特别是分段函数的每一段的自变量的取值范围,一定要对号入座.当函数的表达式较为复杂时,要注意讨论函数的性质,然后根据性质正确作出函数的图象.(共58张PPT)
第十三讲函数模型及其应用
回归课本
1.三种常见的函数模型
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,表现为指数爆炸.随着x的增大,y=logax(a>1)的增长速度会越来越慢.
(2)随着x的增大,y=ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴行.而y=logax(a>1)的图象逐渐表现为与x轴行.
(3)当a>1,n>0时,对于函数y=xn,y=ax,y=logax在x∈(0,+∞)时,函数y=ax的增长速度远远大于函数y=xn的增长速度.而函数y=xn的增长速度远远大于函数y=logax的增长速度.因此总会存在一个x0;当x>x0时,总有ax>xn>logax.
2.形如f(x)=x+ (a>0,x>0)的函数模型有广泛应用,利用基本不等式可求其最小值为
3.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤是:第一步,审题,设出变量;第二步,根据所给模型,列出函数关系式;第三步,解函数模型;第四步,再将所得结论转译成具体问题的解答.
考点陪练
1.下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()
答案:A
2.今有一组实验数据,如下表:
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则最佳的体现这些数据关系的函数模型是( )
A.v=log2t B.v=2t-2
C.v= D.v=2t-2
答案:C
3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
答案:D
4.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税,超过4000元的按全稿费的11%纳税.某人出了一本书,共纳税420元,这个人的稿费为()
A.3600元 B.3800元
C.4000元 D.4200元
答案:B
5.某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96元抛售,该年银行月利率0.8%,按月计算,为获取最大利润,某人应将钱((1+0.8%)12≈1.10034)()
A.全部购买股票
B.全存入银行
C.部分购买股票 部分存入银行
D.购买股票或存入银行均一样
答案:B
类型一 一次函数与分段函数
解题准备:分段函数模型:
①分段函数在不同的区间中具有不同的解析式.
②分段函数是一个函数,其定义域为各段自变量取值集合的并集,其值域为各段值的集合的并集.
【典例1】电信局为了配合客户不同需要,设有A B两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分).(注:图中MN∥CD)试问:
(1)若通话时间为2小时,按方案A B各付话费多少元
(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元
(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠
[分析]由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同,因此,需分段列式.
[解]由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意解题.
(1)由图知点M(60,98),N(500,230),C(500,168),
MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x),
[反思感悟](1)现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如出租车费用 个人所得税 话费等,分段函数是刻画现实问题的重要模型.
(2)分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同,要注意各段变量的范围,特别是端点值,尤其要注意.
类型二 二次函数模型
解题准备:二次函数模型的理解
二次函数是我们比较熟悉的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的最值与范围,解决实际中的优化问题,值得注意的是一定要分析自变量的取值范围,利用二次函数的配方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数问题的特点.
【典例2】某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业.分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0[分析]“保证第二产业的产值不减少”转译的数学语言是一个“二次不等式模型”,“该市第二 三产业的总产值增加最多”转译为数学语言是一个“二次函数的最值问题”.
[解]设分流出x万人,为保证第二产业的产值不减少,必须满足(100-x)·a·(1+2x%)≥100a.
因为a>0,x>0,可解得0设该市第二 三产业的总产值增加f(x)万元,
则f(x)=(100-x)·a·(1+2x%)+1.2ax-100a,
∴f(x)=-0.02a(x2-110x)=-0.02a(x-55)2+60.5a,
∵x∈(0,50]且f(x)在(0,50]上单调递增,
∴当x=50时,f(x)max=60a,
因此在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流出50万人,才能使该市第二 三产业的总产值增加最多.
[反思感悟]建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题,但要注意自变量的取值范围,利用二次函数配方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数的特点.
类型三 指数函数模型
解题准备:(1)增长率问题应用非常广泛,如存款或贷款的复利计算问题,国民经济增长率问题.
(2)对于函数未知的应用题,这类问题的一般方法是:①审清题意,引进数学符号;②正确建立函数关系式;③研究函数关系式,作正确解答.
【典例3】某城市现有人口总数100万人,如果自然增长率为1.2%.
(1)写出经过x年后该城市的人口总数y万人与x的函数关系式;
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约经过多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年);
(4)如果20年后该城市人口不超过120万人,年自然增长率应控制在多少
[解](1)y=100(1+1.2%)x(x≥0);
(2)令x=10,得y=100(1+1.2%)10≈112.7(万人);
(3)令y=120,得100(1+1.2%)x=120,
∴x=log1.0121.2≈15(年);
(4)设年自然增长率为x,由题意,得
100(1+x)20≤120,∴(1+x)20≤1.2,
[答](1)经过x年后该城市的人口总数y万人与x的函数关系式为y=100(1+1.2%)x;(2)10年后该城市的人口总数约为112.7万人;(3)大约经过15年该城市人口将达到120万人;(4)如果20年后该城市人口不超过120万人,年自然增长率应控制在0.9%.
[反思感悟]本题是有关增长率的问题,在实际应用中,有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题常化为指数函数的模型.对于变化率的问题有以下公式:
(1)增长率问题:变化前的量(1+增长率)时间=变化后的量;
(2)递减率问题:变化前的量(1-递减率)时间=变化后的量.
类型四 对数函数模型
解题准备:对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型叫做对数函数模型.对数函数模型增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1),函数值增大的速度越来越慢.
【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟”七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为: (其中k≠0).当燃料重量为 吨(e为自然对数的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求火箭的最大速度y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式y=f(x);
(2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度达到8千米/秒,顺利地把飞船发送到预定的轨道
[分析]本题的函数模型已经给出,只需根据题设确定出参数,然后根据函数关系及题设进行求解.
类型五 幂函数模型
解题准备:幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型叫做幂函数模型,幂函数模型中最常见的是二次函数模型.
【典例5】某农药厂今年生产农药8000吨,计划5年后把产量提高到14000吨,问平均每年需增长百分之几
错源一缺乏对一次(二次)函数最高次项的系数的关注
【典例1】某科学家在一试验中发现两个变量x,y之间具有一次函数关系,其中x的范围为[-2,6],y的范围是[-11,9],试求y关于x的函数关系式.
[剖析]错解对函数一次项的系数关注不够,只考虑了k>0的情况,而忽视了k<0的情况,因而导致出错.
错源二 运算中忽视实际取整问题
【典例2】某公司在甲,乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2,和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )
A.45.606 B.45.6
C.46.8 D.46.806
[正解]B设甲地销售x辆.则乙地销售(15-x)辆,则总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+45.606.根据二次函数图象和x∈N*,得当x=10时,获得最大利润L=-0.15×102+3.06×10+30=45.6万元.选B.
[答案]B
技法一 寻找模型法
【典例1】已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)且单调递增,满足f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y),
(1)证明f(1)=0;
(2)试证f(xn)=nf(x)(n∈N).
[解题切入点]由f(xy)=f(x)+f(y)联想logaxy=logax+logay(x>0,y>0).
[证明](1)令x=1,y=4,则f(4)=
f(1×4)=f(1)+f(4).所以f(1)=0.
(2)因为f(xy)=f(x)+f(y),
所以f(xn)=
技法二 整体思想(共43张PPT)
第一模块　集合与常用逻辑用语
第一讲　集合与集合的运算
回归课本
1.集合中的元素有三个明显的特征：(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．
2．元素与集合的关系有属于和不属于两种．
3．集合与集合之间有三种关系：
(1)子集(包含与被包含)定义：A B 如果任意x∈A，那么x∈B；
(2)真子集定义：A B A B，且B中至少有一元素x A(规定：空集是任何一个非空集合的真子集)；
(3)相等：A＝B A B且B A.
4．集合的运算涉及交、并、补集．
(1)交集定义：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；
(2)并集定义：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
(3)补集定义：设U为全集，A U，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记 UA，即 UA＝{x|x∈U，且x A}；
(4)基本性质：①A∩A＝A；②A∪A＝A；③A∩B＝B∩A；④A∪B＝B∪A；⑤(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；⑥(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；⑦A∩ ＝ ；⑧A∪ ＝A；
⑨ U( UA)＝A；
⑩ U(A∪B)＝( UA)∩( UB)；
U(A∩B)＝( UA)∪( UB)
考点陪练
1.下列三个命题中，正确的个数为(　　)
①R＝{实数集}，R＝{全体实数集}；
②方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2,1}；
③方程(x－3)2＋y－1＋|z－2|＝0的解集为{3,1,2}．
A．1个　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．0个
解析：①R＝{实数集}中“集”是多余的，R＝{全体实数集}中“全体”和“集”都是多余的；②中解集不符合集合中元素的互异性；③中集合的形式错了，应写成{(3,1,2)}，因为方程③中只有一个解，而不是三个解．
答案：D
2.集合M={(x,y)|x+y=4,x∈N,y∈N}的非空真子集的个数是( )
A.6 B.8
C.30 D.32
解析:集合M={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)},集合M的非空真子集个数为2?5-2=30个,故应选C.
答案:C
3.集合P={(x,y)|y=k},Q={(x,y)|y=a?x+1,a>0,a≠1}. 已知P∩Q只有一个子集,那么实数k的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析:由数形结合可知选B.
答案:B
4.已知集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则 ( )
A.A∩B={2,4} B.A∩B={4,16}
C.A=B D.A B
解析:A,B分别表示函数y=2x与y=x2的值域.
答案:D
5.(2010·浙江)设P={x|x<4},Q={x|x?2<4},则( )
答案:B
类型一元素与集合的关系
解题准备:集合中的元素具有确定性 互异性和无序性.特别是用互异性筛除不具备条件的解是解题过程中不可少的步骤.
【典例1】当正整数集合A满足:“若x∈A,则10-x∈A”.
(1)试写出只有一个元素的集合A;
(2)试写出只有两个元素的集合A;
(3)这样的集合A至多有多少个元素
[解] (1)因为若1∈A,则10-1=9∈A;反过来,若9∈A,则10-9=1∈A.所以1和9要么都在A中,要么都不在A中,即它们是成对出现在A中的,同理2和8,3和7,4和6也成对出现在A中,所以A={5}.
(2)A={1,9},或A={2,8},或A={3,7},或A={4,6}.
(3)A中至多有9个元素,即A={1,9,2,8,3,7,4,6,5}.
类型二 集合与集合之间的关系
解题准备:1.集合间的基本关系包括两集合相等 子集 真子集等.
2.此类问题的求解离不开基本的运算 变形,以达到化简集合 便于运算的目的,较好地体现了高考对运算求解能力的考查.
【典例2】 设集合A={x|x=a2+2a+4},B={y|y=b2-4b+7}.
(1)若a∈R,b∈R,试确定集合A与B的关系;
(2)若a∈N,b∈R,试确定集合A与B的关系.
[解] (1)若a∈R,b∈R.
则x=(a+1)2+3≥3,y=(b-2)2+3≥3,
此时集合A B都是大于或等于3的实数的集合,
∴A=B.
(2)若a∈N、b∈R,则对于任意的x0∈A,
有x0=(a0+1)2+3,
其中a0∈N.
令b0=a0+3,则b0∈N,
且(a0+1)2+3=(b0-2)2+3∈B.
而当b0=2时,y0=3 A,从而可知A B.
[反思感悟] (1)判断两个集合之间的子集 真子集关系可以比照两实数间的关系:
①A B A B,且A≠B,类比于a②A B A B,或A=B,类比于a≤b a③A=B A B,且B A,类比于a=b a≤b,且a≥b.也可以用韦恩图直观地表示上述各种关系.
(2)注意集合{ }与空集 的区别与联系:
类型三 集合的基本运算
【典例3】 设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}.
(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;
(2)若( ∩B=B,求实数a的取值范围.
[解] (1)∵A={x| ≤x≤3},
当a=-4时,B={x|-2∴A∩B={x| ≤x<2},A∪B={x|-2[反思感悟] 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论 数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系,在解题中漏掉它极易导致错解.
类型四 集合概念与性质架构下的创新问题
解题准备:“信息迁移”问题最明显的特征就是题目中有一些新信息如定义新概念 新运算等,但是这些所谓“新信息”肯定是在我们已经掌握的知识的基础上进行设计的,所以不要有畏惧心理,通过耐心细致分析,就会慢慢发现它其实就是“老问题”!
【典例4】 (2010·福建厦门质检)如图所示的韦恩图中,A B是非空集合,定义A*B表示阴影部分的集合.若x,y∈R,
A.{x|0B.{x|1C.{x|0≤x≤1或x≥2}
D.{x|0≤x≤1或x>2}
[答案] D
[反思感悟] 有些集合问题是通过定义一个新概念或约定一种新运算或给定一个新模型来创设新的问题情境,它要求我们要在阅读理解的基础上,依据题中提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,从而顺利地解决问题.
类型五 集合的应用
解题准备:集合问题多与函数 曲线方程 不等式有关,要善于灵活运用集合的相关知识,解决问题并注意以下几点:①重视对参数的讨论,特别注意检验集合元素是否满足“三性”,并提防“空集”这一隐形陷阱.②善于运用Venn图和数轴直观形象解决问题,Venn图适用于有限集,数轴适用于实数集,要特别注意边界的取舍.
【典例5】 设函数f(x)= 的定义域为
A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.
(1)求集合A;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
[反思感悟] 用“数形结合思想”解题时,要特别注意“端点”的取舍问题.
错源一 忽视元素的互异性
【典例1】 设集合A={0,a},集合B={a2,-a3,a2-1}且A B,则a的值是( )
A.±1 B.-1
C.1 D.2
[错解] 由A={0,a}及集合元素的互异性可知a≠0,所以a2≠0,-a3≠0,又A B得a2-1=0,即a=±1.故选A.
[剖析] 解出a=±1后,忽视了检验这两个值是否都满足元素的互异性.
[正解] 由A={0,a}及集合元素的互异性可知a≠0,
所以a2≠0,-a3≠0,又A B,所以a2-1=0,
解得a=±1.
当a=-1时,a2=-a3=1,这与集合元素互异性矛盾,舍去.
当a=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A B.
综上a=1,故应选C.
[答案] C
错源二 忽视空集
【典例2】 设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若B A,则实数a的取值范围是( )
A.[1,3] B.(3,+∞)
C.[1,+∞) D.(1,3)
[剖析] 空集是任何集合的子集,忽视这一点,会导致漏解,产生错误结论.对于形如{x|a[答案] C
技法 利用补集思想解题
【典例】 (2011·郑州模拟)已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},
B={x|x<0},若A∩B≠ ,求实数m的取值范围.
[解题提示] 本题运用的是“正难则反”的解题策略,正是运用了“补集思想”.(共59张PPT)
第五讲 函数的定义域与值域
回归课本
1.函数的定义域
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.
注意:(1)确定函数定义域的原则:
①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合;
②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合;
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合;
④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定.
(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类:
①如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域;
②如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义域.
(3)复合函数定义域的求法:
若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.
2.函数的值域
在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
注意:确定函数的值域的原则
①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;
②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;
④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
考点陪练
答案:A
答案:C
3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( )
A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
答案:A
答案:B
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2] B.[-4,0]
C.[0,4] D.[-1,1]
答案:A
类型一 函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域必须写成集合或区间的形式.
(2)确定函数的定义域
①当f(x)是整式时,其定义域为R.
②当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合.
③当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合.
④对于x0,x不能为0,因为00无意义.
⑤f(x)=tanx的定义域为
⑥f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
⑦由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问题具体分析.
⑧分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.
⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1得出x的范围即为所求.
[分析] 只需要使解析式有意义,列不等式组求解.
类型二 复合函数的定义域
解题准备:已知f[g(x)]的定义域为x∈(a,b),求f(x)的定义域,其方法是:利用a已知f(x)的定义域为x∈(a,b),求f[g(x)]的定义域,其方法是:利用a定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性.所以在解决函数问题时,必须按照“定义域优先”的原则,通过分析定义域来帮助解决问题.
【典例2】 (1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域:①f(x2);②
(2)已知函数f[lg(x+1)]的定义域是[0,9],则函数f(2x)的定义域为________.
[分析] 根据复合函数定义域的含义求解.
[解析] (1)∵f(x)的定义域是[0,1],
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
[答案] [1,4] (-∞,0]
类型三 求函数的值域
解题准备:求函数值域的总原则:由定义域 对应法则f在等价条件下,巧妙地转化为与y有关的不等式.求值域问题技巧性强,要根据题目特点确定合理的方法,因与函数的最值密切相关,常可转化为求函数的最值问题.
[分析] 本题主要考查函数值域问题,考查运算能力 数形转化的思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于(3),由函数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法求解.
[反思感悟] 第(1)小题利用换元法易忽视t≥0的条件,第(2)小题利用基本不等式时易漏掉对x<0的讨论.
类型四 定义域与值域的综合应用
解题准备:函数的定义域 值域问题主要转化为方程或不等式解决,可求解相关参数或其它综合应用.
【典例4】 (2009·广东六校联考)已知函数
若至少存在一个正实数b,使得函数f(x)的定义域与值域相同,求实数a的值.
[分析] 函数f(x)的定义域因a的取值不同而不同,因此应对a进行讨论.
[反思感悟] 对于函数g(x)=ax2+bx,由于a的取值不同,将影响到其值域,所以在研究其定义域 值域时,应对a进行讨论,对每一种情况分别进行讨论,求解.
错源一 求函数值域不考虑定义域
[剖析] 错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不等价,所以出现错误.
[评析] 处理函数问题时,必须树立定义域优先考虑的意识.
错源二 “定义域” “有意义” “恒成立”混矣!
[剖析] 本题的错误在于将函数f(x)的定义域为(-∞,1]同函数f(x)在(-∞,1]上有意义混淆了.事实上,f(x)的定义域为(-∞,1],说明f(x)在(-∞,1]上且只在(-∞,1]上有意义.
技法 求函数值域的方法
[方法与技巧] 对于一些无理函数通过换元把它化成有理函数,然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出来.
二 配方法
【典例2】 求二次函数y=x2-5x+6(-3≤x≤2)的值域.
[方法与技巧] 对于含有二次三项式的有关题型,常常根据求解问题的要求,用配方法来解决.
三 图象法(数形结合法)
[方法与技巧] y=ax2+bx+c(a≠0)中,若对x有限制,如限制x在区间[m,n]上时,也可结合图形去考虑,此时函数的图象是抛物线的一部分.
[解] 因为x2+x+1>0恒成立,
所以函数的定义域为R.由原式得
(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0,
①当y-2=0,即y=2时,
方程为3x=0,所以x=0∈R;
②当y-2≠0,即y≠2时,因为x∈R,
所以方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有实根,
Δ=(y+1)2-4×(y-2)×(y-2)≥0,
即3y2-18y+15≤0,解得1≤y≤5.
所以函数的值域为[1,5].(共63张PPT)
第十讲对数与对数函数
回归课本
1.对数概念
(1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数,记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)对数性质
①零和负数没有对数,即N>0;
②1的对数为0,即loga1=0(a>0且a≠1);
③底的对数等于1,即logaa=1(a>0且a≠1).
(3)对数恒等式:alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).
(4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数log10N简记为lgN.
(5)自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数,N的自然对数logeN简记作lnN.
2.对数的运算性质
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
4.对数函数的定义
一般地,函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做对数函数,它的定义域为(0,+∞),值域为R.
5.对数函数的图象与性质
y=logax a>1 0图象
性质 定义域:(0,+∞)
值域:R
过点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当x>1时,y<0;
当00
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
x的
图象关于x轴对称
6.反函数
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
考点陪练
1.已知函数 的定义域为
M,g(x)=ln(x+1)的定义域N,则M∩N=()
A.{x|x>-1} B.{x|-1C.{x|x<1} D.
解析:要使函数f(x)有意义,则必须有1-x>0,即x<1,所以f(x)的定义域为{x|x<1};要使函数g(x)有意义,则必须有x+1>0,x>-1,所以g(x)的定义域为{x|x>-1}.所以M∩N={x|-1答案:B
2.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系为()
A.n>m>pB.m>p>n
C.m>n>pD.p>m>n
解析:因为2a-(a-1)=a+1,且a>1,所以2a-(a-1)>0,即2a>a-1>0;又a2+1-2a=(a-1)2,则a2+1>2a>0.因为a>1,所以函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1),所以m>p>n,故选B.
答案:B
3.下列四个数中最大的是( )
答案:D
解析:①若a>1,则f(x)=logax在[2,+∞]上是增函数,且当x≥2时,f(x)>0.
由|f(x)|>1得f(x)>1,即logax>1.
∵当x∈[2,+∞)时,logax>1恒成立,∴loga2>1,∴loga2>logaa,∴1②若0∴由|f(x)|>1得-f(x)>1,
∴f(x)<-1,即logax<-1.
∵当x∈[2,+∞)时,logax<-1恒成立,
答案:C
评析:在对数函数中如果底数含有字母,通常把底数与1比较大小,进行分类讨论.
答案:C
类型一 对数的运算
解题准备:对数化简求值问题的常见思路:一是将对数的和 差 积 商 幂转化为对数真数的积 商 幂;二是将式子化为最简单的对数的和 差 积 商 幂,合并同类项后再进行运算,解题过程中,要抓住式子的特点,灵活使用运算法则.
[分析]关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质 对数恒等式 换底公式等进行变形和求解.
类型二 对数函数的图象
解题准备:对数函数的图象:经过点(1,0),且图象都在第一 四象限;都以y轴为渐近线(当01时,图象向下无限接近y轴);对于相同的a,函数f(x)=logax与g(x)= 的图象关于x轴对称.
[分析]在同一坐标系下画出y=2x与y=logax的图象,数形结合求解.
类型三 对数函数的性质
解题准备:利用对数函数的性质可以比较对数的大小,解对数不等式,也可以求与对数函数有关的函数的定义域和值域,还可以判断对数函数与其他函数复合以后的函数的单调性.
【典例3】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
[分析]由f(1)=1求出a的值,然后根据复合函数的单调性求单调区间;根据对数函数的性质和二次函数的最值求a的值.
[解](1)∵f(1)=1,
∴log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,
这时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0得-1函数定义域为(-1,3).
令g(x)=-x2+2x+3.
则g(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减,
又y=log4x在(0,+∞)上递增,
所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),
递减区间是(1,3).
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有
[反思感悟]研究复合函数y=logaf(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,分析复合的特点,结合函数u=f(x)及y=logau的单调性(最值)情况确定函数y=logaf(x)的单调性(最值).
类型四 对数函数的综合问题
解题准备:对于指 对数函数的综合应用,不仅重视指 对数函数内在的综合联系,还要重视函数与其他知识的综合渗透,以及在实际问题中的应用.
【典例4】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)设g(x)=log4(a 2x- a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
[分析]由偶函数的定义建立关于k的方程求出k的值;对于(2),可转化为相应方程只有一个实数解的问题进行求解.
[反思感悟]本题的求解主要体现了函数与方程思想的应用,这种思想方法是高考的热点,在求解函数问题 方程问题中非常有用.
错源一 错用对数运算性质造成变形不等价
【典例1】作出函数y=2log4x-2的图象.
[剖析]错解因为错用了对数的性质,在函数式变形过程中出现了错误,函数的变形过程不是等价变形,即原函数y=2log4x-2的定义域是x≠0的全体实数,值域是y>0.函数
的定义域是x≠0,值域是y≠0,而在变形中函数y=2log2x-1的定义域是x>0,值域是y>0,因而原函数的图象显然是错误的.
错源二 忽视真数大于0
[剖析]错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件,x>0,y>0,x-2y>0,所以x>2y>0,所以x=y不成立.
[正解]因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y,
因为x>0,y>0,x-2y>0,
所以x=y应舍去,所以x=4y,
技法一 快速解题(特例法)
[另解切入点]y=f(x)的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称,故f(x)=logax,可以写出g(x),注意01两种情况的讨论.
[解析]解法一:由题意知,f(x)=logax,
故g(x)=logax(logax+loga2-1).
令t=logax,则h(t)=t2+(loga2-1)t.
[答案]D
[方法与技巧]解法一是由复合函数的增减性讨论的,解法二利用导数讨论,但都要考虑01两种情况.而快解是赋值,这种方法快,但有时不一定能很快找到要取的特殊值.
技法二 等价转化思想
【典例2】方程
的解是____.
[解题切入点]要求原方程的解,需将原方程转化为熟悉的方程来解,将对数方程转化为代数方程,转化的解法一般是化为同底的对数或换元法等.
[答案]x=100
[方法与技巧]解本题时运用换元法把原对数方程转化为关于某个字母y的二次方程,同时也是把无理方程转化为有理方程,一石二鸟,由此可见换元法的妙处.(共44张PPT)
第三讲 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词
回归课本
1.逻辑联结词
命题中的或 且 非叫逻辑联结词.
2.命题p∧q,p∨q, p的真假判断
p q p∧q p∨q p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
注意:p与q全真时,p∧q为真,否则,p∧q为假.
p与q全假时,p∨q为假,否则,p∨q为真.
p与 p必定是一真一假.
3.全称量词 存在量词
(1)全称量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,简记作 x∈M,p(x).
(2)存在量词
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,简记作 x0∈M,p(x0).
(3)两种命题的关系
全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
注意:同一个全称命题 特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.
命题 全称命题“ x∈A,p(x)” 特称命题“ x∈A,p(x)”
表述方法 ①对所有的x∈A,p(x)成立 ①存在x∈A,使p(x)成立
②对一切x∈A,p(x)成立 ②至少有一个x∈A,使p(x)成立
③对每一个x∈A,p(x)成立 ③对有些x∈A,使p(x)成立
④任选一个x∈A,p(x)成立 ④对某个x∈A,使p(x)成立
⑤凡x∈A,都有p(x)成立 ⑤有一个x∈A,使p(x)成立
考点陪练
1.(2010·威海模拟题)已知命题p: x∈R,cosx≤1,则( )
A. p: x0∈R,cosx0≥1
B. p: x∈R,cosx≥1
C. p: x0∈R,cosx0>1
D. p: x∈R,cosx>1
解析:全称量词的否定应为存在量词,所以命题p: x∈R,cosx≤1的否命题是 x0∈R,cosx0>1.
答案:C
2.(2010·广州联考题)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R,则“f(x)A. x0∈R,使得f(x0)B.不存在任何实数x,使得f(x)≥g(x)
C. x∈R,都有f(x)+ D.存在无数多个实数x,使得f(x)解析:f(x)答案:B
3.(2010·金华模拟题)下列特称命题中,假命题的个数是( )
① x0∈R,使2x20+x0+1=0;
②存在两条相交直线垂直于同一个平面;
③ x0∈R,x20≤0.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:命题① ②是假命题,命题③是真命题.
答案:C
4.(2010·湖南)下列命题中的假命题是( )
A. x∈R,2x-1>0 B. x∈N*,(x-1)2>0
C. x∈R,lgx<0 D. x∈R,tanx=2
解析:对于选项B,当x=1时,结论不成立,故选B.
答案:B
5.(2010·辽宁)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )
A. x∈R,f(x)≤f(x0) B. x∈R,f(x)≥f(x0)
C. x∈R,f(x)≤f(x0) D. x∈R,f(x)≥f(x0)
解析:由题知:x0 为函数f(x)图象的对称轴方程,所
以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因此 x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的,选C.
答案:C
类型一 含有逻辑联结词的命题真假判定
解题准备:解决该类问题基本步骤为:
1.弄清构成它的命题p q的真假;
2.弄清它的结构形式;
3.根据真值表判断构成新命题的真假.
【典例1】 已知命题p: x∈R,使tanx=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧ q”是假命题;
③命题“ p∨q”是真命题;
④命题“ p∨ q”是假命题.
其中正确的是( )
A.②③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
[解] 先判断命题p和q的真假,再对各个用逻辑联结词联结的命题进行真假判断.
命题p: x∈R,使tanx=1正确,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1[答案] D
[反思感悟] 正确理解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义是解题的关键,应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为:①确定复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③根据其真值表判断复合命题的真假.
类型二 全称命题与特称命题真假的判断
解题准备:1.要判定全称命题是真命题,需对集合M中每个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题;
2.要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
注意:有些题目隐含了全称量词和存在量词,要注意对其进行改写来找到.
【典例2】 (特例法)试判断以下命题的真假:
(1) x∈R,x2+2>0;(2) x∈N,x4≥1;(3) x∈Z,x3<1;(4) x∈Q,x2=3.
[解] (1)由于 x∈R,有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0.
所以命题“ x∈R,x2+2>0”是真命题.
(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.所以命题“ x∈N,x4≥1”是假命题.
(3)由于-1∈Z,当x=-1时,能使x3<1.所以命题“ x∈Z,x3<1”是真命题.
(4)由于使x2=3成立的数只有 而它们都不是有理数.因此,没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“ x∈Q,x2=3”是假命题.
[反思感悟] 本例中的(3)是一个典型的特例法,即要说明一个存在性命题正确,只要找到一个元素使命题成立即可.
类型三 全(特)称命题的否定
解题准备:1.全称命题p: x∈M,p(x).它的否定 p: x0∈M, p(x0).
2.存在性命题p: x0∈M,p(x0).它的否定 p: x∈M, p(x).
3.全称(存在性)命题的否定与命题的否定有着一定的区别,全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论即可.从命题形式上看,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
【典例3】 写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假,指出命题的否定属全称命题还是特称命题:
(1)所有的有理数是实数;
(2)有的三角形是直角三角形;
(3)每个二次函数的图象都与y轴相交;
(4) x∈R,x2-2x>0.
[分析] 先否定量词:存在 任意.再否定判断词.
[解] (1)非p:存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题.
(2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命题.
(3)非p:有些二次函数的图象与y轴不相交.为真命题,属特称命题.
(4)非p: x∈R,x2-2x≤0.为真命题,属特称命题.
[反思感悟] 只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因否定不全面或否定词不准确而致错.
从以上的符号语言和例子可以看出,对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.对特称命题的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词.
类型四 与逻辑联结词 全称量词 存在量词有关的命题中参数范围的确定
解题准备:1.由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之,由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的真假.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取二者的交集即可.
2.此类题目经常与函数 不等式等知识相联系,要注意分类讨论思想的应用.
【典例4】 已知两个命题r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对 x∈R,r(x)∧s(x)为假,r(x)∨s(x)为真,求实数m的取值范围.
[分析] 由题意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以可先求出对 x∈R时,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由要求分情况讨论出所求m的范围.
[反思感悟] 解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
错源一 错误理解命题的否定
【典例1】 已知命题p:函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若 p为真命题,求实数m的取值范围.
[错解] ∵命题p:f(x)=-(5-2m)x是减函数,
∴ p:函数f(x)=-(5-2m)x为增函数,
∴0<5-2m<1,∴2[剖析] 本题的错误在于由p得到 p:函数f(x)是增函数.事实上,命题p的否定包括“函数f(x)是增函数”和“f(x)不单调”两种情形.为了避免出错,处理这类问题时,不宜直接得到命题 p,一般是先由原命题为真得出参数的取值范围,再研究 p为真或为假时参数的取值范围.
[正解] 由f(x)=-(5-2m)x是减函数,
知5-2m>1,
∴m<2,
∴当 p为真时,m≥2,
∴实数m的取值范围是[2,+∞).
错源二 对含有量词的命题的否定不当致误
【典例2】 命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0
B.存在x∈R,x3-x2+1≤0
C.存在x∈R,x3-x2+1>0
D.对任意的x∈R,x3-x2+1<0
[剖析] 本题是对全称命题的否定,因此否定时既要对全称量词“任意”否定,又要对“≤”进行否定,全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”,“≤”的否定为“>”,可能的错误是“顾此失彼”,忽略了细节.
[正解] 题目中命题的意思是“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0都成立”,要否定它,只要能找到至少一个x,使得x3-x2+1>0即可,故命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1>0”,故选C.
[答案] C
[评析]含有量词的命题的否定方法:
对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.特别要注意的是,由于有的命题的全称量词往往可以省略不写,从而在进行命题否定时易将全称命题只否定判断词,而不否定省略了的全称量词.
技法 综合法
【典例】 (2010·合肥第一次质检)下列命题:
① x∈R,不等式x2+2x>4x-3均成立;
②若log2x+logx2≥2,则x>1;
③“若a>b>0且c<0,则 ” 的逆否命题是真命题;
④若命题p: x∈R,x2+1≥1,命题q: x∈R,x2-x-1≤0,则命题p∧ q是真命题.其中真命题为( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
[答案] A(共55张PPT)
第十七讲
同角三角函数的基本关系
式及诱导公式
回归课本
1.同角三角函数基本关系式
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:tanα=
2.α相关角的表示
(1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-α);
(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;
(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -α.
3.诱导公式
(1)公式一
sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.
(2)公式二
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,
tan(π+α)=tanα.
(3)公式三
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
(4)公式四
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,
tan(π-α)=-tanα.
(5)公式五
(6)公式六
即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇 偶”是指“k· ±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号.
考点陪练
1.(2010·全国Ⅰ)cos300°=( )
解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°= ,故选C.
答案:C
答案:A
答案:B
4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( )
A.第二象限 B.第一象限
C.第四象限 D.第三象限
解析:∵2008°=6×360°-152°,
∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,
cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限.
答案:C
答案:B
类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值
解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确 灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值.
【典例1】 (1)已知sinα= ,且α为第二象限角,求tanα;
(2)已知sinα= ,求tanα;
(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.
(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),
∴cosα=± =± (当α为第一 四象限角时取正号,当α为第二 三象限角时取负号),
所以当α为第一 四象限角时,tanα= ;
当α为第二 三象限角时,tanα=
[反思感悟] 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但tanα= ,原因是m此时小于0,所以形式上tanα的表达式前面仍不带负号.
类型二 诱导公式及其应用
解题准备:诱导公式起着变名 变角 变号的作用,应用诱导公式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化负为正—化大为小—锐角求值”.
[分析] 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负担较轻.
(3)∵-1860°=-21×90°+30°,
∴f(-1860°)=-cos(-1860°)
=-cos(-21×90°+30°)
=-sin30°= .
[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二象限中余弦取负号,且k=-3为奇数.
∴cosβ=cos(-3 +α)=-sinα.
类型三 sinα±cosα与sinα·cosα关系的应用
解题准备:利用sin2α+cos2α=1,可以得出如下结论:
(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;
(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;
(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;
(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.
对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.
【典例3】 已知sinx+cosx= ,求下列各式的值:
(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.
[反思感悟] 平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它们之间的变换,熟记立方和公式及和的立方公式.
类型四 关于sinα与cosα的二次齐次式的求值问题
解题准备:这类已知某个三角函数值,求其余三角函数值的问题的常规思路是:利用同角间的三角函数关系,求出其余三角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定α角所在的象限,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用“1”的代换,将所求值的式子的分子 分母同除以cosnα,用tannα表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练掌握这种解法.更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的辩证思想方法.
[反思感悟] 形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.
错源一 忽视隐含的平方关系,扩大解的范围而致错
A.m∈[3,9]
B.m∈(-∞,5)∪[3,+∞)
C.m=0,或m=8
D.m=8
[错解] 由已知有
解得m<-5或m≥3,选B.
[剖析] 条件给出了含有参数的正余弦的函数值,而参数值要受到正余弦的平方关系“sin2θ+cos2θ=1”的限制,而上述解法就忽视了这个制约关系,以致扩大了解的范围而错.
[答案] D
[评析] 如果在题设条件中出现了正余弦,则要注意利用它们之间的平方关系.
错源二 忽视角的范围,造成多解而致错
[评析] 解答关于含有“sinθ±cosθ,sinθcosθ”的问题时,一般都要利用平方关系sin2θ+cos2θ=1,但必须注意对所求得的结果进行检验,否则会造成多解.
技法一 整体换元
【典例1】 已知sinα+3cosα=2,求 的值.
技法二 快速解法(求根法)
【典例2】 已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3θ+cos3θ和tanθ-cotθ的值.
[解题切入点] 由根与系数的关系入手,sinθ+cosθ= ,sinθcosθ= ,将sin3θ+cos3θ与tanθ-cotθ用sinθ+cosθ,sinθcosθ表示.
[分析思维过程] 欲求sin3θ+cos3θ的值需先分解因式,出现sinθ+cosθ和sinθcosθ的形式后,即可代入 和 求出值来.而tanθ-cotθ化为正弦、余弦之比后,同样可求出值来.
[方法与技巧] 由题目的形式得知,很明确要利用根与系数的关系,将所求式表示成sinθ+cosθ sinθcosθ的形式,求tanθ-cotθ时,必须化为“弦”,否则用不上已求得的值.
由于sinθ,cosθ是方程的根,一般地,很自然的想到根与系数的关系.其实此题直接求出两根更简单.
[得分主要步骤] 只要求出两根的和与积,分解因式后代入即可.在求sinθ-cosθ的步骤中,sinθ-cosθ>0一定要说明.同样,快解法中,得出sinθ= ,cosθ= 也是由θ∈(0,π)确定的.
[易丢分原因] 求sinθ-cosθ的过程中,若不考虑θ∈(0,π),将sinθ-cosθ变为 是不行的.
求方程的根时,若不考虑θ∈(0,π),会求得sinθ= ,cosθ=± ,其结果也是两个值.(共62张PPT)
第八讲一次函数 二次函数 幂函数
回归课本
1.二次函数的性质与图象
(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域是R.
⑤当Δ=b2-4ac>0时,与x轴两交点的横坐标x1 x2分别是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根;当Δ=0时,与x轴切于一点
当Δ<0时,与x轴没有交点;
⑥当b≠0时,是非奇非偶函数,当b=0时,是偶函数;
⑦对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.常用幂函数的图象与性质
函数
特征
性质 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1
定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0,+∞)时,增 增 增 x∈(0,+∞)时,减
x∈(-∞,0]时,减 x∈(-∞,0)时减
特殊点 (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)
考点陪练
1.函数y=x2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________.
解析:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0.
答案:3 0
2.f(x)=x2+2(2-a)x+2在(-∞,2]上是减函数,则a的取值范围________.
解析:要使f(x)在(-∞,2]上是减函数,
只要对称轴 即可,解得a≥4.
答案:a≥4
3.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的范围是()
A.f(1)≥25 B.f(1)=25
C.f(1)≤25 D.f(1)>25
答案:A
4.已知当m∈R时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a的图象和x轴恒有公共点,则实数a的取值范围________.
答案:m=0时,a∈R;m≠0时,a∈[-1,1]
解析:在函数y=x-1,y=x,y=x ,y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故a=1,3.
答案:A
类型一 二次函数图像和性质的应用
(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac>0时,图象与x轴有两个交点
(2)二次函数的图象与性质是历年高考的热点内容,今后仍是高考命题的热点,选择题 填空题 解答题三种题型中都有可能出现.
【典例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.
[分析]由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且知其最大值,所以可应用一般式 顶点式或两根式解题.
解法三:利用两根式.
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值ymax=8,即
解得a=-4,或a=0(舍).
∴所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
类型二 二次函数在特定区间上的最值问题
解题准备:1.二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.
3.解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学思想,有利于培养学生综合分析问题的能力.
【典例2】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值.
[分析]作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在[0,1]上的单调情况.
[解]当对称轴x=a<0时,如图(1)所示.
当x=0时,y有最大值,ymax=f(0)=1-a.
所以1-a=2,即a=-1,且满足a<0,
所以a=-1.
当0≤a≤1时,如图(2)所示.即当x=a时,y有最大值,
ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1.
∴a2-a+1=2,
[探究]已知f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式.
[分析]所求二次函数解析式固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.
[评析]二次函数区间最值主要有三种类型:轴定区间定,轴定区间动和轴动区间定.
一般来说,讨论二次函数在闭区间上的最值,主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上,从而应用单调性求最值.
类型三 二次函数根的分布问题
(4)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的区间根问题,一般情况下需要从三个方面考虑:①判别式;②区间端点函数值的正负;③对称轴 与区间端点的关系.
【典例3】已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围.
[分析]本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系,可根据韦达定理去解决.
类型四 幂函数的图象和性质应用
解题准备:幂函数性质的推广
(1)一般地,当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:
①图象都通过点(0,0),(1,1);
②在第一象限内,函数值随x的增大而增大;
③在第一象限内,α>1时,图象是向下凹的;0<α<1时,图象是向上凸的;
④在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展.
(2)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:
①图象都通过点(1,1)
②在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凹的;
③在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近;
④在第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图象下落的速度越快.
[解]∵函数在(0,+∞)上单调递减,
∴m2-2m-3<0,解得-1∵m∈N*,∴m=1,2.
又∵函数图象关于y轴对称,
∴m2-2m-3是偶数.
而22-2×2-3=-3为奇数,
12-2×1-3=-4为偶数,
∴m=1.
错源一 力求先化简,不盲目用判别式法
错源二 忽视幂函数中幂指数α=0
【典例2】已知幂函数y=xn2-2n-3的图象与x,y轴都没有公共点且关于y轴对称,求整数n的值.
[错解]因为函数y=xn2-2n-3的图象与x,y轴都没有公共点,
所以n2-2n-3<0,解得-1因为n是整数,所以n=0,1,2,
又因为函数图象关于y轴对称,
所以n2-2n-3是偶数,所以n=1.
[剖析]错解之所以出错,是因为没有将α=0考虑在内.
[正解]因为函数y=xn2-2n-3的图象与x,y轴都没有公共点,所以n2-2n-3≤0,
解得-1≤n≤3.
又n是整数,所以n=-1,0,1,2,3,
又因为函数图象关于y轴对称,
所以n2-2n-3是偶数,所以n=-1,1,3.
[评析]对于幂函数y=xα而言,α可以大于零也可以小于零,同时α也可以等于零.α=0时,幂函数变形为y=1(x≠0),其图象是一条直线(少一个点),如图.
错源三 混淆幂函数与指数函数的性质
【典例3】比较0.80.5,0.80.9,0.90.5,0.9-0.5的大小.
[错解]由指数函数单调性可得1>0.80.5>0.80.9,0.90.5<1<0.9-0.5,所以0.80.9<0.80.5<0.90.5<1<0.9-0.5.
[剖析]错解混淆了指数函数的性质且没有比较0.80.5与0.90.5的大小.
[正解]因为y=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且0.8<0.9,所以0.80.5<0.90.5.
作出函数y=x0.5与y=x-0.5在第一象限内的图象,易知0.90.5<0.9-0.5.由指数函数y=0.8x为单调减函数可知0.80.5>0.80.9.
故0.80.9<0.80.5<0.90.5<0.9-0.5.
[评析]对于幂大小的比较,指数函数与幂函数都可以利用,虽然二者形式差不多,但图象和性质差别很大,在解题中应特别注意这些差别,这是非常容易忽视而导致出错的地方.
技法一 快速解题(数形结合法)
【典例1】函数f(x)=x2+ax+5,且f(x)=f(-4-x)对于任意的x∈R都成立,当x∈[m,0]时,f(x)max=5,f(x)min=1,求实数m的取值范围.
[快解]由f(x)=x2+ax+5且f(x)=f(-4-x),易知对称轴为
∴f(x)=x2+4x+5=(x+2)2+1,如图所示为-4≤m≤-2.
[另解切入点]由f(x)=f(-4-x)知,函数f(x)的图象的对称轴为
则a=4,f(x)=x2+4x+5.
[分析思维过程]当f(x)的对称轴为x=-2时,就能求出f(x)min=f(-2)=1,这与题设一致,其最大值为5.由对称性可知,应有两个不同的x的值,使f(x)=5,从而可得m.
[解]∵f(x)=f(-x-4),
∴f(x)的图象关于直线x=-2对称.
由f(x)=x2+ax+5可知 ,得a=4.
∴f(x)=x2+4x+5=(x+2)2+1.
f(x)min=f(-2)=1,故-2∈[m,0]即m≤-2.
又f(0)=5=f(x)max,f(m)=m2+4m+5≤5,
得-4≤m≤0,
∴-4≤m≤-2.
[方法与技巧]两种解法都要先求解析式,由其最大值与最小值以确定m,相比之下,数形结合法较好.
[得分主要步骤]由条件得知对称轴为x=-2,从而a=4得出解析式,再由最大值与最小值确定m的范围,或
由图象直接看出m的范围.
[易丢分原因]将f(x)=f(-x-4)变f(x+2)=f(2-x),容易看出x=2是对称轴.前一形式可能某些同学不够熟悉而不理解,则无法正确推算下去.还可能求出解析式后,也画出了图象,但看图时找不准m的位置,从而确定不准m的范围.
技法二 构造一次函数解题
【典例2】对任意a∈[-1,1],f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零,求x的取值范围.
[解]因为f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+(x2-4x+4),构造函数g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),a∈[-1,1],
于是,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零等价于g(a)>0(a∈[-1,1])恒成立,所以,
技法三 构造二次函数解题