高中数学选修2-3第2章2.1知能优化训练

1．一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限次，而随机终止．设分裂n次终止的概率为(n＝1,2，…)，记ξ为原物体在分裂终止后生成的子物体数目，则P(ξ≤10)＝________.
解析：依题意，原物体在分裂终止后所生成的子物体数目ξ的分布列为：
ξ 2 4 8 16 … 2n …
P … …
所以P(ξ≤10)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝8)＝＋＋＝.
答案：
2．抛掷两颗骰子，设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验结果是____________．
解析：由于抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这六种情况之一，而X表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是一颗是1点，另一颗是3点，或者两颗都是2点．
答案：一颗是1点，另一颗是3点，或者两颗都是2点
3．已知离散型随机变量X的概率分布表如下：
X 0 1 2 3
P m 0.3 m 0.45
则m的值为________．
解析：由分布列的性质(2)，可得m＋0.3＋m＋0.45＝1，解得m＝0.1.
答案：0.1
4．邮局工作人员分拣邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)等于________．
解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P(X＜10)＋P(10≤X≤30)＋P(X>30)＝1，故P(X＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.
答案：0.3
一、填空题
1．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．
解析：X可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个．
答案：17
2．随机变量X的概率分布表为：
X 0 1
P 9c2－c 3－8c
则c＝________.
解析：由随机变量分布列的性质知
解得c＝.
答案：
3．设某项试验的成功率为，失败率为，用随机变量X表示1次试验的成功次数，则X的取值为________．
解析：因为随机变量X表示的是1次试验的成功次数，若成功，则X＝1，若失败，则X＝0，这与成功率的大小没有关系．
答案：0,1
4．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的概率为________．
解析：＝0.53.
答案：0.53
5．设随机变量X的概率分布列为P(X＝i)＝ai，i＝1,2,3，则a的值为________．
解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，知a·＋a·2＋a·3＝1，所以a＝.
答案：
6．设随机变量X等可能的取值1,2，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n等于________．
解析：由等可能事件的概率可知P(X＝k)＝(k＝1,2，…，n)，
所以P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，解得n＝10.
答案：10
7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X来描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)等于________．
解析：设X的概率分布表为：
X 1 0
P 2p p
由p＋2p＝1，得p＝.
答案：
8．已知离散型随机变量的概率分布表如下：
X 0 1 2 3
P 0.1 a b c
其中a是b，c的等差中项，且c＝3b，则a＝________，b＝________，c＝________.
解析：由题意得所以a＝2b.又由分布列的性质(2)，得0.1＋a＋b＋c＝1，即0.1＋6b＝1.所以b＝0.15，a＝0.3，c＝0.45.
答案：0.3　0.15　0.45
9．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P(≤X≤)等于________．
解析：设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有个，总数为k个．
∴分布列为
X 1 2 3
P
所以P(≤X≤)＝P(X＝1)＝.
答案：
二、解答题
10．写出下列随机变量的可能取值的集合，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号分别为1,2，…，10的10个球(除编号外完全相同)的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为X.
解：(1)随机变量X的可能取值的集合为{1,2,3，…，10}，X＝i(i＝1,2，…，10)表示取出i号球．
(2)X的可能取值的集合为{0,1,2,3,4}，X＝i表示取出i个红球和4－i个白球，其中i＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值的集合为{2,3,4，…，12}．若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点，骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．其中i＝1,2,3,4,5,6；j＝1,2,3,4,5,6.
11．若随机变量X的概率分布表为：
X 0 1
P 5a－1 3－8a
试求实数a的值．
解：由概率分布的性质得
解得a＝.
12．将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中球的最大个数记为X，求X的概率分布．
解：依题意可知，杯子中球的最大个数ξ的所有可能值为1,2,3.当X＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当X＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形，当X＝3时，对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形．
所以当X＝1时，P(X)＝＝；
当X＝2时，P(X)＝＝；
当X＝3时，P(X)＝＝.
可得X的概率分布表为：
X 1 2 3
P
www.