高中数学选修2-3第2章2.2知能优化训练

1．由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量X表示这6人中共产党员的人数，则P(X＝3)＝________.
解析：依题意知，X～H(6,5,12)，P(X＝3)＝＝.
答案：
2．在100张奖券中，有4张有奖奖券，从中任取2张，则2张都中奖的概率是________．
解析：设X为2张中的中奖数，
则P(X＝2)＝＝.
答案：
3．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为________．
解析：由题意得P(A)＝＝.
答案：
4．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则概率等于所表示的是________．
解析：从15个村庄中任意选10个村庄的方法有C种，从15个村庄中任意选10个村庄，恰好有4个村庄交通不太方便的方法有CC种，所以P(ξ＝4)＝.
答案：恰有4个村庄交通不太方便
一、填空题
1．袋中装有6个红球，4个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取2球，则取到红球、黑球各一个的概率为________．
解析：设2球中红球的个数为X，依题意可知，X～H(2,6,10)，则P(X＝1)＝＝＝.
答案：
2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其概率分布为P(X)，则P(X＝4)的值为________．
解析：盒中原有3个旧球，若要从盒中任取3个球，用完后放回盒中有4个旧球，则需从9个新球中取1个，从3个旧球中取2个，所以P(X＝4)＝＝.
答案：
3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球．在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则概率等于表示的是________．
解析：X＝1表示取出一个白球1个红球，所以P(X＝1)＝.
答案：取出一个白球
4．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为________．
解析：设从10名女生与5名男生中随机选取的6名学生中的女生人数为X，则X～H(6,10,15)，选出4女2男的概率为P(X＝4)＝＝.
答案：
5．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是________．
解析：所求概率P＝1－.此解法运用了间接法，求至少有1个是一等品的概率可先求出全是二等品的概率．
答案：
6．有80个数，其中40个正数40个负数，从中任取两数，则所取的两数之积为正数的概率为________．
解析：设所取的两数中的正数个数为X，X的可能取值为0,1,2，则X～H(2,40,80)，两数之积为正数的概率为P(X＝2)＋P(X＝0)＝＋＝＝.也可利用对立事件求解：1－P(X＝1)＝1－＝1－＝.
答案：
7．若用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，则这些数能被2整除的概率为________．
解析：能被2整除的情形分为两类．一类是个位数字为2.另一类是个位数字为4.故P＝＋＝＝.
答案：
8．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生n名(2≤n≤9)，现从中选出2人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为，则n＝________.
解析：设选出的2人中女生人数为X，则X～H(2,10－n,10)．“选出的2人中至少有一名女生”的对立事件是“选出的2人中全是男生”，即X＝0.于是，所求的事件的概率为1－P(X＝0)＝1－＝，即n(n－1)＝30，解得n＝6，或n＝－5(舍去)．
答案：6
9．盒中有10只灯泡，其中有3只是坏的，现从中任取4只，那么“至多有2只是好的”的概率是________．
解析：设取出的4只灯泡中坏的灯泡个数为X，则X～H(4,3，10)．“恰有1只是坏的”的概率为P(X＝1)＝＝，“4只全是好的(坏的个数为0)”的概率为P(X＝0)＝＝，则“至多有2只是好的(即至少有2只是坏的)”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－－＝.
答案：
二、解答题
10．一袋子里装有4个白球、5个黑球和6个黄球，从中任取4个，求含有3个黑球的概率．
解：根据题意，取到的黑球个数X为随机变量，且X服从参数为N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，则可得含有3个黑球的概率为
P(X＝3)＝＝＝.
故含有3个黑球的概率为.
11．某市举行的一次数学新课程骨干培训，共邀请15名使用不同版本教材的教师，
版本 人教A版 人教B版
性别 男教师 女教师 男教师 女教师
人教 6 3 4 2
从15名教师中随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为ξ，求ξ的概率分布．
解：从15名教师中随机选2名，共有C种选法．依题意可知ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
故ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 2
P
12.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…每次取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求取球2次终止的概率；
(3)求甲取到白球的概率．
解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知
＝＝＝.
所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4,5，
P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝.
所以，取球次数X的分布表为：
X 1 2 3 4 5
P
所以取球2次终止的概率为.
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(“X＝1”或“X＝3”或“X＝5”)，因为事件“X＝1”，“X＝3”，“X＝5”两两互斥，所以P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝.
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