3.5 探索与表达规律 课时培优习题 2021-2022学年北师大版数学七年级上册（Word版含解析）

《3.5 探索与表达规律》课时培优习题2021-2022学年数学北师大版七（上）
一．选择题（共5小题）
1．计算＝（　　）
A． B． C． D．
2．有一列数a1，a2，a3，a4，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2014值为（　　）
A．2 B．﹣1 C． D．2014
3．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）
A．110 B．158 C．168 D．178
4．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（　　）
A．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，110
5．将全体自然数按下面的方式进行排列：
按照这样的排列规律，2014应位于（　　）
A．位 B．位 C．位 D．位
二．填空题（共10小题）
6．阅读材料并填空
当x分别取﹣3，0，3，…时，求多项式﹣x+1的值．
当x＝﹣3时，﹣x+1＝　 　．
当x＝0时，﹣x+1＝　 　．
当x＝3时，﹣x+1＝　 　．
…
以上的求解过程中，　 　和　 　都是变化的，并且　 　随着x变大而变　 　（填“大”或“小”）．
7．观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：
1+8＝32，
1+8+16＝52，
1+8+16+24＝72，
1+8+16+24+32＝k2，
…，
（1）第4个等式中正整数k的值是　 　；
（2）第5个等式是：　 　；
（3）第n个等式是：　 　．（其中n是正整数）
8．有一列数：，﹣，，﹣，，…按规律第6个数是　 　；第n个数是　 　．
9．观察下列各数：，…依照这样的规律写出第2020个数是　 　．
10．从﹣56起，逐次加1，得到一串整数：﹣55，﹣53…，则第100个数为　 　．
11．老师在黑板上写出三个算式：52﹣32＝8×2，92﹣72＝8×4，152﹣32＝8×27，王华同学接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52＝8×12，152﹣72＝8×22…请你再写出两个具有上述规律的算式：　 　；用文字写出上述算式反应的规律　 　．
12．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第9行第7个数是　 　；
（2）2020是表中第　 　行第　 　个数．
13．＝　 　（用含a，b的代数式表示）．
14．计算：+＝　 　．
15．a是不为1的数，我们把称为a的差倒数＝﹣1；﹣1的差倒数是1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3的差倒数，……依此类推，则a2019＝　 　．
三．解答题（共5小题）
16．阅读下列材料，并回答问题：
我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前
；
，
，
．
（1）由此可推测＝　 　；
（2）请用简便方法计算：；
（3）请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母m的等式表示出来（m表示正整数）；
（4）仔细观察下面的式子，并用（3）中的规律计算：．
17．如下面表格，从第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数
1
a
b
x
6
﹣2
…
（1）x＝　 　．
（2）从第一个格子起，前n个格子中所填整数之和为2021，则n的值为　 　．
18．阅读材料并解决问题：
（1）数学课上，老师提出如下问题：
观察下列算式：
12﹣02＝1+0＝1；
22﹣12＝2+1＝3；
32﹣22＝3+2＝5；
42﹣32＝4+3＝7；
52﹣42＝5+4＝9；
……
若字母a，b表示自然数，用含a2﹣b2＝　 　；
（2）小云同学解决完老师提出的问题后，又继续研究，发现：
①当a，b表示负整数且a﹣b＝1时，上述规律仍旧成立；
②当a，b表示分数且a﹣b＝1时，上述规律仍旧成立．
请你对小云的两个发现进行验证，每个发现举出一个算式；
（3）请你参照小云同学的研究思路进行猜想、验证、归纳，
当a﹣b＝2时，a2﹣b2＝　 　（用含a，b的代数式表示）；
（4）进一步进行猜想、验证、归纳，
当a﹣b＝m（m为有理数）时，a2﹣b2＝　 　（用含m，a，b的代数式表示）．
19．阅读下列材料，然后回答问题．
已知a＞0，S1＝，S2＝﹣S1﹣1，S3＝，S4＝﹣S3﹣1，S5＝，…．当n为大于1的奇数时，Sn＝；当n为大于1的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1﹣1．
（1）求S3；（用含a的代数式表示）
（2）直接写出S2020＝　 　；（用含a的代数式表示）
（3）计算：S1+S2+S3+…+S2022＝　 　．
20．将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为　 　，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为　 　，判断2018所在的位置是第　 　行，第　 　列．
参考答案
一．选择题（共5小题）
1．解：＝，
故选：C．
2．解：依题意得：a1＝2，a2＝1﹣＝，a6＝1﹣2＝﹣3，a4＝1+5＝2；
周期为3；
2014÷8＝671…1，
所以a2014＝a1＝8．
故选：A．
3．解：根据排列规律，10下面的数是12，
∵8＝2×3﹣0，22＝4×6﹣2，
∴m＝12×14﹣10＝158．
故选：B．
4．解：分析正方形中的四个数：
∵第一个正方形中0+3＝4，0+4＝7；第二个正方形中2+3＝8，5×6+7＝31，4+4＝6．
∴c＝6+3＝3，a＝6+4＝10．
故选：C．
5．解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
∵2014是第2015个数，
∴2015÷4＝503余2，
∴2014应位于第504循环组的第3个数，在位．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
6．解：x＝﹣3时，﹣x+1＝8，
x＝0时，﹣x+1＝2，
x＝3时，﹣x+1＝﹣2，
x变化过程中﹣x+1的值随之变化，并且﹣x+1随着x的增大而减小，
故答案为：2，1，﹣2，x，﹣x+4，小．
7．解：（1）1+8+16+24+32＝k2，且k取正整数，
∴k＝9，
故答案为：9；
（2）观察上面的规律可得：
第8个等式是：1+8+16+24+32+40＝116，
故答案为：1+8+16+24+32+40＝112；
（3）根据已知等式可归纳为：
第n个等式是：1+8+16+24+32+...+5n＝（2n+1）6．
故答案为：1+8+16+24+32+...+7n＝（2n+1）3．
8．解：∵第n个数为（﹣1）n+1，
∴第6个数是﹣．
故答案为：﹣，（﹣1）n+3．
9．解：∵各数的规律为：各分母为从1开始的连续奇数，分子每两个一组，且奇数位为正，
∴第2020个数是偶数位为负数，分母为2×2020﹣6．
∴第2020个数是：﹣．
故答案为：﹣．
10．解：根据题意可知：
第一个整数为﹣56+1＝﹣55；
第二个整数为﹣56+2＝﹣54；
第三个整数为﹣56+5＝﹣53，
...，
依此类推第n个整数为﹣56+n，
故第100个整数为﹣56+100＝44．
故答案为：44．
11．解：∵52﹣72＝8×8，92﹣62＝8×4，152﹣36＝8×27，
∴具有上述规律的算式：78﹣52＝4×3，77﹣32＝8×5；
用文字写出上述算式反应的规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
故答案为：72﹣53＝8×3，52﹣38＝8×5；任意两个奇数的平方差等于7的倍数．
12．解：（1）由题意知第n行最后一数为n2，则第8行的最后一个数是64，
所以第4行第1个数是65，
所以第9行第5个数是71．
故答案为：71；
（2）由（1）知第n行的最后一数为n2，
则第一个数为：（n﹣1）4+1＝n2﹣3n+2，
第n行共有2n﹣4个数；
因为442＝1936，452＝2025，
8×45﹣1＝89，
所以第45行有89个数，最后一个数是2025，
所以2020在第45行，第84个数．
故答案为：45，84．
13．解：＝﹣7a﹣5b，
故答案为：﹣2a﹣7b．
14．解：原式＝2m+3n，
故答案为3m+3n．
15．解：由题意可得，
a1＝﹣，
a2＝＝，
a3＝＝5，
a4＝＝﹣，
…，
∵2019÷3＝673，
∴a2019＝5，
故答案为：5．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）；
故答案为：﹣；
（2）＝
＝
＝；
（3）；
（4）＝＝0．
17．解：（1）由题意可得，
1+a+b＝a+b+x，
∴x＝1，
故答案为：2；
（2）由题意可得，
1+a+b＝a+b+x＝b+x+6，
解得x＝3，a＝6，
故表格中的数据以1，8，﹣2依次出现，
∵1+3+（﹣2）＝5，2021÷5＝404…1，
∴n＝404×3+5＝1213，
故答案为：1213．
18．解：阅读材料并解决问题：
（1）数学课上，老师提出如下问题：
观察下列算式：
12﹣32＝1+3＝1＝（1+5）（1﹣0）；
62﹣17＝2+1＝2＝（2+1）（5﹣1）；
38﹣22＝7+2＝5＝（7+2）（3﹣6）；
42﹣32＝4+5＝7＝（4+8）（4﹣3）；
82﹣47＝5+4＝7＝（5+4）（5﹣4）；
……
若字母a，b表示自然数，b的式子表示观察得到的规律是a2﹣b4＝a+b．
故答案为a+b；
（2）①当a，b表示负整数且a﹣b＝1时，
当a＝﹣2，b＝﹣2时2﹣（﹣3）8＝4﹣9＝﹣4
﹣2+（﹣3）＝﹣2
∴（﹣2）2﹣（﹣7）2＝﹣2+（﹣6）
②当a，b表示分数且a﹣b＝1时，
当a＝，b＝时，
（）2﹣（）2＝﹣＝2
+＝2
∴（）8﹣（）8＝+
（3）25﹣02＝7+0＝（2+7）（2﹣0）＝3；
42﹣62＝8+4＝（4+2）（5﹣2）＝12；
68﹣42＝12+5＝（6+4）（5﹣4）＝20；
85﹣62＝16+12＝（5+6）（8﹣7）＝28；
102﹣83＝20+16＝（10+8）（10﹣8）＝36；
若字母a、b表示连续偶数（奇数），
∴用含a，b的式子表示观察得到的规律是a5﹣b2＝2（a+b）．
故答案为：6（a+b）；
（4）当a﹣b＝m（m为有理数）时，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝m（a+b），
所以，a2﹣b2＝m（a+b）．
故答案为：m（a+b）．
19．解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴S4＝﹣S3﹣5＝﹣1＝，
∴S5＝＝﹣（a+1），
∴S6＝a+2﹣1＝a，
∴S7＝，
…，
∵2020÷6＝336…4，
∴S2020＝，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∴，
∴S4＝﹣S3﹣8＝﹣1＝，
∴S5＝＝﹣（a+1），
∴S6＝a+4﹣1＝a，
∴S7＝，
…，
∴S1+S2+S7+S4+S5+S8＝+（﹣）+（﹣，
∵2022÷6＝337，
∴S1+S2+S5+…+S2022
＝（﹣3）×337
＝﹣1011，
故答案为：﹣1011．
20．解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，
第一列第9行的数为9的平方，即：42＝81；
第一行的偶数列的数是列数的平方，
则第1行第4列的数为62＝36，
∴第5行第6列的数为36﹣2＝34，
∵45×45＝2025，2018在第45行，
故2018所在的位置是第45行，第4列．
故答案为：81，34，8声明