高考数学单元复习训练圆锥曲线的综合问题

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名称 高考数学单元复习训练圆锥曲线的综合问题
格式 zip
文件大小 89.9KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2012-04-16 11:41:31

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文档简介

圆锥曲线的综合问题
【说明】 本试卷满分100分,考试时间90分钟.
一、选择题(每小题6分,共42分)
1.(2010南通九校模拟,11)方程=1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线
答案:C
解析:∵<<2<π,∴sin-sin2>0,cos-cos2>0,
又cos-cos2-(sin-sin2)=·sin(2+)-cos(2+)>0,
故方程表示焦点在y轴上的椭圆.
2.(2010湖北八校模拟,11)设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足·=0,则的值为( )
A.1 B. C.2 D.不确定
答案:C
解析:设椭圆方程为=1,双曲线方程为=1,则|PF1|+|PF2|=2a,?|PF1|-|PF2|=2m,故|PF1|=a+m,|PF2|=a-m.又·=0,
∴(a+m)2+(a-m)2=4c2,即a2+m2=2c2,=2.
3.已知F1、F2是椭圆+=1(5A. B. C.100(3-2) D.a2
答案:B
解析:∵510-a.故=?c·b=·(10-a)=
.
令t=a3-25a2+200a-500.
则t′=3a2-50a+200,
令t′=0,则a=或a=10,又5故当a=时,t取最大值,故△F1BF2的最大值为.
4.(2010江苏苏州一模,6)设双曲线C:-y2=1的右焦点为F,直线l过点F且斜率为k,若直线l与双曲线C的左、右两支都相交,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.k≤-或k≥ B.k<-或k>
C.-答案:C
解析:因渐近线的斜率为±,故-5.椭圆=1上一点P到两焦点距离之积为m,则当m取最大值时,P点是( )
A.(5,0)和(-5,0) B.(,)和(,-)
C.(,)和(-,) D.(0,3)和(0,-3)
答案:D
解析:∵|PF1|·|PF2|≤()2=()2=25.
当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,即P为短轴顶点.
6.如右图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE,则以A、B为焦点,且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( )
A. B.1 C.2 D.2
答案:A
解析:因DA=AB·cos30°,DB=AB·sin30°
∴椭圆离心率为-1,双曲线离心率为+1.
故两离心率的倒数和为.
7.定长为L(L>)的线段AB的端点在双曲线b2x2-a2y2=a2b2的右支上,则AB中点M的横坐标的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案:D
解析:当AB过右焦点时,M的横坐标最小.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.平面内有长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是_________.
答案:[2,4]
解析:|PA|+|PB|=6>2,所以点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,a=3,c=1,∴a-c≤|PA|≤a+c,故应填[2,4].
9.有一系列中心在原点,以坐标轴为对称轴的椭圆,它们的离心率en=()n(n∈N),且都以x=1为准线,则所有椭圆的长轴之和为_______________.
答案:2
解析:因=1,=()n,故an=()n,2an=2·()n,故所有椭圆的长轴之和为=2.
10.(2010江苏南通九校模拟,18)以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点,k为非零常数,||-||=k,则动点P的轨迹为双曲线;②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB,O为坐标原点,若=(+),则动点P的轨迹为椭圆;③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点.
其中真命题的序号为___________(写出所有真命题的序号).
答案:③④
解析:当|k|<|AB|且k≠0时,①才正确;?②中的P点为AB中点,故P为以AC的中点为圆心,|AC|为半径的圆;③④易知正确.
三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分)
11.(2010湖北黄冈一模,22)已知△OFQ的面积为26,且·=m.
(1)设(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如右图),||=c,m(-1)c2,当?||取得最小值时,求此双曲线的方程.
解析:(1)∵
∴tanθ=.
又∵(2)设所求的双曲线方程为-=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),
∴S△OFQ=||·|y1|=2.
∴y1=±.
又由·=(c,0)·(x1-c,y1)=(x1-c)c=(-1)c2,
∴x1=c.
∴||=≥.
当且仅当c=4时,||最小,这时Q点坐标为(,)或(,-).
∴∴
故所求的双曲线方程为-=1.
12.(2010江苏苏州一模,22)已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,设=+,
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求向量和夹角的最大值,并求此时P点的坐标.
解析:(1)设P(x0,y0),M(x,y),
则=(x0,y0),
=(x0,0),=+=(2x0,y0).

∵x02+y02=1,
∴+y2=1.
(2)设向量与的夹角为α,则
cosα=.
令t=3x02+1,
则cosα=≥.
当且仅当t=2时,即P点坐标为(±,±)时,等号成立.
∴与夹角的最大值是arccos.
13.(2010湖北八校摸拟,21)P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点,离心率e=,左焦点F(-1,0)的椭圆上,已知与共线,与共线,·=0,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
解析:椭圆方程为+y2=1.
∵·=0,PQ⊥MN.
设PQ的方程为ky=x+1,代入椭圆方程消去x得
(2+k2)y2-2ky-1=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
|PQ|=|y1-y2|
=
=
=.
(1)当k≠0时,MN的斜率为-,同理可得
|MN|=,
故四边形面积S=|PQ||MN|=.
令u=k2+,则u≥2,即S==2(1-).
当k=±1时,u=2,S=.且S是以u为自变量的增函数,∴≤S<2.
(2)当k=0时,MN为椭圆的长轴,|MN|=2,|PQ|=,S=|PQ||MN|=2.
综合(1)(2)知,四边形PQMN面积的最大值为2,最小值为.
14.(2010湖北十一校大联考,22)在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为A(0,-1),B(0,1)平面内两点G、M同时满足①++=0,②||=||=||,③∥.
(1)求顶点C的轨迹E的方程;
(2)设P、Q、R、N都在曲线E上,定点F的坐标为(2,0),已知∥,∥且·=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
解析:(1)设C(x,y),
∵+=2,由①知=-2,
∴G为△ABC的重心,
∴G().
由②知M是△ABC的外心,
∴M在x轴上.
由③知M(,0),
由||=||,
得,
化简整理得:+y2=1(x≠0).
(2)F(,0)恰为+y2=1的右焦点,
设PQ的斜率为k≠0且k≠±,则直线PQ的方程为y=k(x-),
由(3k2+1)x2-6k2x+6k2-3=0.
设P(x1,x2),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1∶x2=.则|PQ|=
.
∵RN⊥PQ,把k换成-得|RN|=,
∴S=|PQ|·|RN|=,
∴3(k2+)+10=.
∵k2+≥2,
∴≥16,
∴≤S<2(当k=±1时取等号).
又当k不存在或k=0时S=2,
综上可得≤S≤2,
∴Smax=2,Smin=.
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