1.1 因式分解 课件（共25张PPT）
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(共25张PPT)
第一章
因式分解
1
因式分解
知识点一
因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
知识点一
因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
温馨提示
（1）因式分解是一种恒等变形，即等式的左边是多项式，右边是几个因式的积；
（2）因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，否则还要继续分解下去；
（3）因式分解的结果是整式乘积的形式，结果出现相同的因式时，要把它写成幂的形式.
例1下列等式从左到右的变形为因式分解的是（
）
A.12a2b＝3a·4ab
B.ax-ay＝a（x-y）
C.（x＋3）（x-3）＝x2-9
D.4x2＋8x-1＝4x（x＋2）-1
例1下列等式从左到右的变形为因式分解的是（
）
A.12a2b＝3a·4ab
B.ax-ay＝a（x-y）
C.（x＋3）（x-3）＝x2-9
D.4x2＋8x-1＝4x（x＋2）-1
解析
A是单项式的分解，C和D的结果都不是整式乘积的形式，只有B选项符合题意.
例1下列等式从左到右的变形为因式分解的是（
B
）
A.12a2b＝3a·4ab
B.ax-ay＝a（x-y）
C.（x＋3）（x-3）＝x2-9
D.4x2＋8x-1＝4x（x＋2）-1
解析
A是单项式的分解，C和D的结果都不是整式乘积的形式，只有B选项符合题意.
例1下列等式从左到右的变形为因式分解的是（
B
）
A.12a2b＝3a·4ab
B.ax-ay＝a（x-y）
C.（x＋3）（x-3）＝x2-9
D.4x2＋8x-1＝4x（x＋2）-1
解析
A是单项式的分解，C和D的结果都不是整式乘积的形式，只有B选项符合题意.
点拨
判断一个由左边到右边的变形是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，但是将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解.
知识点二
因式分解与整式乘法的关系
名称
关系
因式分解
整式乘法
区别
（1）将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式；
（2）是恒等变形
（1）把几个整式乘积的形式转化为一个整式的形式；
（2）是一种运算
联系
整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形.例如:
例2
（1）计算:①a（a＋1）＝______________；
②（2a-b）（2a＋b）＝_____________；
（2）根据（1）中的计算结果，把下列各式分解因式.
①a2＋a＝___________；
②4a2-b2＝________________.
例2
（1）计算:①a（a＋1）＝______________；
②（2a-b）（2a＋b）＝_____________；
（2）根据（1）中的计算结果，把下列各式分解因式.
①a2＋a＝___________；
②4a2-b2＝________________.
答案（1）①a2＋a
②4a2-b2
（2）①a（a＋1）
②（2a-b）（2a＋b）
例2
（1）计算:①a（a＋1）＝______________；
②（2a-b）（2a＋b）＝_____________；
（2）根据（1）中的计算结果，把下列各式分解因式.
①a2＋a＝___________；
②4a2-b2＝________________.
答案（1）①a2＋a
②4a2-b2
（2）①a（a＋1）
②（2a-b）（2a＋b）
解析
对于（1），利用单项式与多项式的乘法法则和多项式与多项式的乘法法则进行计算对于（2），利用因式分解与整式乘法的关系完成.
例2
（1）计算:①a（a＋1）＝______________；
②（2a-b）（2a＋b）＝_____________；
（2）根据（1）中的计算结果，把下列各式分解因式.
①a2＋a＝___________；
②4a2-b2＝________________.
答案（1）①a2＋a
②4a2-b2
（2）①a（a＋1）
②（2a-b）（2a＋b）
解析
对于（1），利用单项式与多项式的乘法法则和多项式与多项式的乘法法则进行计算对于（2），利用因式分解与整式乘法的关系完成.
点拨
整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形.
经典例题
题型一
判断因式分解是否正确
题型一
判断因式分解是否正确
题型一
判断因式分解是否正确
题型一
判断因式分解是否正确
题型二
证明整除问题
例2
求证:817-279-913能被45整除.
题型二
证明整除问题
例2
求证:817-279-913能被45整除.
分析
首先利用因式分解的定义把式子转化为含有因式45的乘法算式，然后判断.
题型二
证明整除问题
例2
求证:817-279-913能被45整除.
分析
首先利用因式分解的定义把式子转化为含有因式45的乘法算式，然后判断.
证明
原式＝914-99×39-913
＝328-327-326
＝326×（32-3-1）
＝326×5
＝324×32×5
＝45×324，
所以817-279-913能被45整除.
题型二
证明整除问题
例2
求证:817-279-913能被45整除.
分析
首先利用因式分解的定义把式子转化为含有因式45的乘法算式，然后判断.
证明
原式＝914-99×39-913
＝328-327-326
＝326×（32-3-1）
＝326×5
＝324×32×5
＝45×324，
所以817-279-913能被45整除.
点拨
要证明一个式子能被45整除，需将原式利用乘法分配律的逆运算进行变形，若有一个因式能被45整除，则原式就能被45整除.
题型三
利用整式乘法与因式分解的关系求字母参数的值
例3
若x2＋mx-15可因式分解为（x＋3）（x＋n），求m的值.
题型三
利用整式乘法与因式分解的关系求字母参数的值
例3
若x2＋mx-15可因式分解为（x＋3）（x＋n），求m的值.
分析
本题考查因式分解与整式乘法的关系，只需将（x＋3）（x＋n）展开，与x2＋mx-15进行比较，使同类项的系数相等即可.
题型三
利用整式乘法与因式分解的关系求字母参数的值
例3
若x2＋mx-15可因式分解为（x＋3）（x＋n），求m的值.
分析
本题考查因式分解与整式乘法的关系，只需将（x＋3）（x＋n）展开，与x2＋mx-15进行比较，使同类项的系数相等即可.
解析
由题意得x2＋mx-15＝（x＋3）（x＋n），
即x2＋mx-15＝x2＋（3＋n）x＋3n
∴m＝3＋n，3n＝-15，
∴m＝-2，n＝-5.故m的值为-2.
题型三
利用整式乘法与因式分解的关系求字母参数的值
例3
若x2＋mx-15可因式分解为（x＋3）（x＋n），求m的值.
分析
本题考查因式分解与整式乘法的关系，只需将（x＋3）（x＋n）展开，与x2＋mx-15进行比较，使同类项的系数相等即可.
解析
由题意得x2＋mx-15＝（x＋3）（x＋n），
即x2＋mx-15＝x2＋（3＋n）x＋3n
∴m＝3＋n，3n＝-15，
∴m＝-2，n＝-5.故m的值为-2.
点拨
若两个多项式相等，则它们含有的同类项的系数相等，首先列出关于字母参数的方程（组），然后解方程（组）即可.
第一章
因式分解
1
因式分解
知识点一
因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
知识点一
因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
温馨提示
（1）因式分解是一种恒等变形，即等式的左边是多项式，右边是几个因式的积；
（2）因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，否则还要继续分解下去；
（3）因式分解的结果是整式乘积的形式，结果出现相同的因式时，要把它写成幂的形式.
例1下列等式从左到右的变形为因式分解的是（
）
A.12a2b＝3a·4ab
B.ax-ay＝a（x-y）
C.（x＋3）（x-3）＝x2-9
D.4x2＋8x-1＝4x（x＋2）-1
例1下列等式从左到右的变形为因式分解的是（
）
A.12a2b＝3a·4ab
B.ax-ay＝a（x-y）
C.（x＋3）（x-3）＝x2-9
D.4x2＋8x-1＝4x（x＋2）-1
解析
A是单项式的分解，C和D的结果都不是整式乘积的形式，只有B选项符合题意.
例1下列等式从左到右的变形为因式分解的是（
B
）
A.12a2b＝3a·4ab
B.ax-ay＝a（x-y）
C.（x＋3）（x-3）＝x2-9
D.4x2＋8x-1＝4x（x＋2）-1
解析
A是单项式的分解，C和D的结果都不是整式乘积的形式，只有B选项符合题意.
例1下列等式从左到右的变形为因式分解的是（
B
）
A.12a2b＝3a·4ab
B.ax-ay＝a（x-y）
C.（x＋3）（x-3）＝x2-9
D.4x2＋8x-1＝4x（x＋2）-1
解析
A是单项式的分解，C和D的结果都不是整式乘积的形式，只有B选项符合题意.
点拨
判断一个由左边到右边的变形是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，但是将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解.
知识点二
因式分解与整式乘法的关系
名称
关系
因式分解
整式乘法
区别
（1）将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式；
（2）是恒等变形
（1）把几个整式乘积的形式转化为一个整式的形式；
（2）是一种运算
联系
整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形.例如:
例2
（1）计算:①a（a＋1）＝______________；
②（2a-b）（2a＋b）＝_____________；
（2）根据（1）中的计算结果，把下列各式分解因式.
①a2＋a＝___________；
②4a2-b2＝________________.
例2
（1）计算:①a（a＋1）＝______________；
②（2a-b）（2a＋b）＝_____________；
（2）根据（1）中的计算结果，把下列各式分解因式.
①a2＋a＝___________；
②4a2-b2＝________________.
答案（1）①a2＋a
②4a2-b2
（2）①a（a＋1）
②（2a-b）（2a＋b）
例2
（1）计算:①a（a＋1）＝______________；
②（2a-b）（2a＋b）＝_____________；
（2）根据（1）中的计算结果，把下列各式分解因式.
①a2＋a＝___________；
②4a2-b2＝________________.
答案（1）①a2＋a
②4a2-b2
（2）①a（a＋1）
②（2a-b）（2a＋b）
解析
对于（1），利用单项式与多项式的乘法法则和多项式与多项式的乘法法则进行计算对于（2），利用因式分解与整式乘法的关系完成.
例2
（1）计算:①a（a＋1）＝______________；
②（2a-b）（2a＋b）＝_____________；
（2）根据（1）中的计算结果，把下列各式分解因式.
①a2＋a＝___________；
②4a2-b2＝________________.
答案（1）①a2＋a
②4a2-b2
（2）①a（a＋1）
②（2a-b）（2a＋b）
解析
对于（1），利用单项式与多项式的乘法法则和多项式与多项式的乘法法则进行计算对于（2），利用因式分解与整式乘法的关系完成.
点拨
整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形.
经典例题
题型一
判断因式分解是否正确
题型一
判断因式分解是否正确
题型一
判断因式分解是否正确
题型一
判断因式分解是否正确
题型二
证明整除问题
例2
求证:817-279-913能被45整除.
题型二
证明整除问题
例2
求证:817-279-913能被45整除.
分析
首先利用因式分解的定义把式子转化为含有因式45的乘法算式，然后判断.
题型二
证明整除问题
例2
求证:817-279-913能被45整除.
分析
首先利用因式分解的定义把式子转化为含有因式45的乘法算式，然后判断.
证明
原式＝914-99×39-913
＝328-327-326
＝326×（32-3-1）
＝326×5
＝324×32×5
＝45×324，
所以817-279-913能被45整除.
题型二
证明整除问题
例2
求证:817-279-913能被45整除.
分析
首先利用因式分解的定义把式子转化为含有因式45的乘法算式，然后判断.
证明
原式＝914-99×39-913
＝328-327-326
＝326×（32-3-1）
＝326×5
＝324×32×5
＝45×324，
所以817-279-913能被45整除.
点拨
要证明一个式子能被45整除，需将原式利用乘法分配律的逆运算进行变形，若有一个因式能被45整除，则原式就能被45整除.
题型三
利用整式乘法与因式分解的关系求字母参数的值
例3
若x2＋mx-15可因式分解为（x＋3）（x＋n），求m的值.
题型三
利用整式乘法与因式分解的关系求字母参数的值
例3
若x2＋mx-15可因式分解为（x＋3）（x＋n），求m的值.
分析
本题考查因式分解与整式乘法的关系，只需将（x＋3）（x＋n）展开，与x2＋mx-15进行比较，使同类项的系数相等即可.
题型三
利用整式乘法与因式分解的关系求字母参数的值
例3
若x2＋mx-15可因式分解为（x＋3）（x＋n），求m的值.
分析
本题考查因式分解与整式乘法的关系，只需将（x＋3）（x＋n）展开，与x2＋mx-15进行比较，使同类项的系数相等即可.
解析
由题意得x2＋mx-15＝（x＋3）（x＋n），
即x2＋mx-15＝x2＋（3＋n）x＋3n
∴m＝3＋n，3n＝-15，
∴m＝-2，n＝-5.故m的值为-2.
题型三
利用整式乘法与因式分解的关系求字母参数的值
例3
若x2＋mx-15可因式分解为（x＋3）（x＋n），求m的值.
分析
本题考查因式分解与整式乘法的关系，只需将（x＋3）（x＋n）展开，与x2＋mx-15进行比较，使同类项的系数相等即可.
解析
由题意得x2＋mx-15＝（x＋3）（x＋n），
即x2＋mx-15＝x2＋（3＋n）x＋3n
∴m＝3＋n，3n＝-15，
∴m＝-2，n＝-5.故m的值为-2.
点拨
若两个多项式相等，则它们含有的同类项的系数相等，首先列出关于字母参数的方程（组），然后解方程（组）即可.