北师大版九年级数学上册新思维同步提高训练（Word版含解答）：1.1菱形的性质与判定

北师大版九年级数学上册新思维同步训练提高：1.1菱形的性质与判定
一、选择题
1.如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O ， DE⊥BC于点E ， 连接OE ， 若∠ABC＝140°，则∠OED＝（　　）

A.?20°???????????????????????B.?30°???????????????????????C.?40°???????????????????D.?50°
2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ， 过点D作DH⊥AB于点H ， 连接OH ， 若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为（??? ）
A.?4????????????????????????B.?8?????????????????????????????C.?13?????????????????????D.?6
3.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（??? ）??
?
A.?74??????????????B.?95??????????????????C.?1910??????????????????????D.?763
4.如图，菱形ABCD中， ∠B=60° ，点P从点B出发，沿折线 BC-CD 方向移动，移动到点D停止.在 △ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（?? ）
A.?直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B.?直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C.?直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D.?等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
5.数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是（?? ）
A.?用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形?????B.?用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形
C.?用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形????D.?用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
6.如图，已知点P是菱形 ABCD 的对角线 AC 延长线上一点，过点P分别作 AD 、 DC 延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若 ∠ABC=120° ， AB=2 ，则 PE-PF 的值为（?? ）
A.?32??????????????????????B.?3?????????????????????????????C.?2????????????????????????????D.?52
7.如图，菱形 ABCD 对角线 AC ， BD 交于点 O ， ∠ACB=15° ，过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E .若菱形 ABCD 的面积为4，则菱形的边长为（?? ）
A.?22??????????????????????B.?2????????????????????????C.?42??????????????????????D.?4
8.如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（? ）
A.?4??????????????????????B.?8????????????????????C.?4 6???????????????????????D.?4 3
9.如图，在菱形 ABCD 中， M,N 分别是边 CD,BC 的中点，P是对角线 BD 上一动点，已知菱形边长为5，对角线 AC 长为6，则 △PMN 周长的最小值是（ ）
A.?11???????????????????????????????B.?10??????????????????????????C.?9???????????????????????????D.?8
10.如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为2和5，P是对角线 AC 上任一点（点P不与点A，C重合），且 PE//BC 交 AB 于E， PF//CD 交 AD 于F，则阴影部分的面积是（??? ）
A.?10???????????????????????????????B.?7.5???????????????????C.?5??????????????????????D.?2.5
二、填空题
11.如图，菱形 ABCD 的边长为 6cm ， ∠BAD=60° ，将该菱形沿AC方向平移 23cm 得到四边形 A'B'C'D' ， A'D' 交CD于点E，则点E到AC的距离为________ cm .
?
12.如图，菱形 ABCD 的周长为8厘米， ∠D=120° ，点M为 AB 的中点，点N是边 AD 上任一点，把 ∠A 沿直线 MN 折叠，点A落在图中的点E处，当 AN= ________厘米时， △BCE 是直角三角形．
13.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于 12 AB的长为半径作弧，两弧相交于M ， N两点，直线MN交AD于点E ， 连接CE ， 则CE的长为________．
14.如图，在 ?ABCD 中，按以下步骤作图：①以点A为圆心， AB 的长为半径画弧，交 AD 于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于 12FB 的长为半径画弧，两弧在 ∠DAB 内交于点G；③作射线 AG ，交边 BC 于点E，交 BF 于点O，连接 EF .若 AB=5 ， BF=8 ，则四边形 ABEF 的面积为________.
15.如图， △ ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E ， 作ED∥AB ， EF∥AC ， 得到四边形EDAF ， 它的周长记作C1；取BE中点E1 ， 作E1D1∥FB ， E1F1∥EF ， 得到四边形E1D1FF1 ， 它的周长记作C2 ． 照此规律作下去，则C2021＝________．
16.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是________.
三、解答题
17.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.
18.已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．

（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
19.如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F.
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.
20.如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于 12 CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，直线MN交CD于点F ， 交对角线AC于点E ， 连接BE、DE ．

（1）求证：BE＝CE；
（2）若∠ABC＝72°，求∠ABE的度数．
21.点E、F分别在菱形 ABCD 的边 BC 、 CD 上， BE=DF ，作 FG//AE ，交 AC 的延长线于点G，连接 AF 、 EG ．
（1）如图1，求证：四边形 AEGF 是菱形；
（2）如图2，当 AF 平分 ∠CAD 时，在不添加辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括腰长等于 AB 的等腰三角形）
22.如图， RtΔABC 中， ∠C=90° ， D 是 AB 上一点， DE⊥AC 于点 E ， F 是 AD 的中点， FG⊥BC 于点 G ，与 DE 交于点 H ，若 FG=AF ， AG 平分 ∠CAB ，连结 GE ， GD ．
（1）求证： ΔECG≌ΔGHD ；
（2）求证： AD=AC+EC ．
（3）若 ∠B=30° ，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由．
23.?ABCD ，过点D作 ED⊥AD 交 AB 的延长线于点E， BE=AB ．
（1）如图1，求证：四边形 BDCE 是菱形；
（2）P为线段 BC 上一点，点M，N在直线 AE 上，且 PM=PB ， ∠DPN=∠BPM ．
①当 ∠A=60° 时，如图2，求证： CD=PB+BN ．
②当 ∠A=45° 时，如图3，线段 CD ， PB ， BN 的数量关系如何？（请直接写出猜想的结论）
24.在平面直角坐标系 xOy 中，对于点A和线段 MN ，如果点A ， O ， M ， N按逆时针方向排列构成菱形 AOMN ，且 ∠AOM=α ，则称线段 MN 是点A的“ α- 相关线段”．例如，图1中线段 MN 是点A的“ 30° -相关线段”．
（1）已知点A的坐标是 (0,2) ．
①在图2中画出点A的“ 30° -相关线段” MN ，并直接写出点M和点N的坐标；
②若点A的“ α -相关线段”经过点 (3,1) ，求 α 的值；
（2）若存在 α,β(α≠β) 使得点P的“ α -相关线段”和“ β -相关线段”都经过点 (0,4) ，记 PO=t ，直接写出t的取值范围．
25.如图l，四边形 ABCD 为菱形， AB=m ， ∠DAB=60° ， DE⊥AB 于点 E ， F 为 BC 上任意一点，连接 DF ， BD ， H 为 DF 上任意一点．
（1）若 DF⊥BC ，求 DF 的长（用 m 表示）．
（2）如图2，作 FG//DE 交 AC 于点 G ， H 为 DF 的中点，连接 HG ， HB ， BG ．猜想线段 HG 与 HB 存在的数量关系，并证明你猜想的结论．
（3）在点 F 的运动过程中，当 HB+HC+HD 的值最小时，请直接写出 HF 的长（用 m 表示）．
答案
一、选择题
1.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴O为BD中点，∠DBE＝ 12 ∠ABC＝70°．
∵DE⊥BC ，
∴在Rt△BDE中，OE＝BE＝OD ，
∴∠OEB＝∠OBE＝70°．
∴∠OED＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：A ．
2.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=6，OB=OD ， AC⊥BD ，
∴AC=12，
∵DH⊥AB ，
∴∠BHD=90°，
∴ OH=12BD ，
∵菱形ABCD的面积 =12×AC×BD=12×12×BD=48 ，
∴BD=8，
∴ OH=12BD=4 ；
故答案为：A．
3.解：连接BE ， BD ， 如图,?
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°,?
∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°.
∵E点为CD的中点，?
∴CE=DE=1,BE⊥CD.?
在Rt△BCE中，
BC=2CE=2，
BE= 22-12=3 .?
∵AB∥CD,?
∴BE⊥AB.
∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,
∴EF=AF.
设EF=AF=x,则BF=2-x,?
在Rt△BEF中,
(2-x)2+(3)2=x2 ,
解得 x=7x .
故答案为：A.?
4.解：连接AC，BD，如图所示.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B.
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°.
∴△ABC和△ADC都是等边三角形.
点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：
（1）当点P移动到BC边的中点时，记作 P1 .
∵△ABC是等边三角形， P1 是 BC的中点，
∴ AP1⊥BC .
∴ ∠AP1B=90° .
∴△ABP1是直角三角形.
（2）当点P与点C重合时，记作 P2 .
此时，△ABP2是等边三角形；
（3）当点P移动到CD边的中点时，记为 P3 .
∵△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴ ∠P3AB=30°+60°=90° .
∴△ABP3是直角三角形.
（4）当点P与点D重合时，记作 P4 .
∵ AB=AP4 ，
∴△ABP4是等腰三角形.
综上，△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：
直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形.
故答案为：C
5.解：用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形，
用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，
?
用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形，
用5个相同的菱形放置，最多能得到22个菱形，
用6个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，
故答案为：B.
6.解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30?，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC= 222-12=23 ，
∴AP= 23 +PC，
在直角△AEP中，
∵∠PAE=30°，AP= 23 +PC，
∴PE= 12 AP= 3 + 12 PC，
在直角△PFC中，
∵∠PCF=30°，
∴PF= 12 PC，
∴ PE-PF = 3 + 12 PC- 12 PC= 3 ，
故答案为：B.
7.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AD∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝2∠ACB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴CE＝ 12 DC＝ 12 AD，
∴菱形ABCD的面积＝AD?CE＝AD? 12 AD＝ 12 AD2＝4，
∴AD＝ 22 （负值舍去），
即菱形的边长为 22 ，
故答案为：A.
8.解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=8，且∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴AE=4，∠ABE=30°，
∴ BE=43 ，
∵PE=BE
∴ PE=43 ，
故答案为：D.
9.解：如图，作点M关于BD的对称点 M' ，连接 M'N 交BD于点 P' ．
根据对称的性质和菱形的性质可知点 M' 为AD的中点．
又∵点N为BC中点，
∴ M'N 经过点O ， 即点O与点 P' 重合．
∵ P'M'=P'M ，
∴根据两点直线线段最短可知，当 P' 点为P点时， PM+PN 最小为 M'N 长，即此时 △PMN 的周长最小．
∵AC=6，
∴ AO=12AC=3 ．
在 Rt△AOD 中， DO=AD2-AO2=52-32=4 ，
∴ BD=2DO=8 ．
∵点M ， N分别为DC ， BC的中点，
∴ MN=12BD=4 ．
∵点 M' ，N分别为AD ， BC的中点，
∴ AM'=BN ，
又∵ AM'//BN ，
∴四边形 ABNM' 为平行四边形．
∴ M'N=AB=5 ，
∴ M'N+MN=5+4=9 ，即 △PMN 的周长最小值为9．
故答案为：C．
10.解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S△POF=S△AOE ．
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= 12 AC?BD=5，
∴图中阴影部分的面积为 12 ×5=2.5．
故答案为：D．
二、填空题
11.∵∠BAD=60°，
?
∴连接对角线AC,BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD,???
∴在Rt△ADO中， DO=12AD=12×6=3
利用勾股定理得 AO=AD2-DO2=62-32=33
又∵AC=2AO,
∴AC= 63 ，
由题可知 AA' = 23 ，
∴A’C= AC-AA'=63-23=43 ;
由平移可知 ∠D'A'C =∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,???
∴ ∠D'A'C =∠DCA，即 ∠EA'C = ∠ECA' =30°，
∴ △EA'C 是等腰三角形；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：
则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC= 12A'C=23 ,
在Rt△ECF中， EF=12EC ,设EF=x，则EC=2x，
由勾股定理得： CF2+EF2=EC2
x2+(23)2=(2x)2 ，解得x=2，
故填：2.
12.解：∵菱形 ABCD 的周长为8厘米，
∴AB=BC=CD=AD=2厘米，
∵点M为 AB 的中点，
∴ AM=BM=1 厘米．
由翻折可知 EM=AM=BM ，
∴ ∠MBE=∠MEB ．
①当 ∠EBC=90° 时， ∠D=120° ，
∴ ∠ABC=120° ， ∠A=60° ，
∴ ∠MBE=∠MEB=30° ，
∴ ∠BME=120° ，
∴ ∠AMN=∠EMN=30° ，
∴ ∠MNA=90° ， AN=12AM=12 厘米；
②当 ∠BEC=90° 时，点E在以M为圆心，AM为半径的圆上，也在以BC为直径的圆上，根据菱形ABCD的特点，可知点E落在菱形对角线 AC 上，
∵点M为 AB 的中点， MN 为折痕，此时 BD⊥AC 于点E ，
∴点N为 AD 的中点， AN=12AD=1 厘米．
当 AN=12 或1厘米时， △BCE 是直角三角形．
13.解：

连接BE，AB与MN交点记为F，
根据作图方式，可知MN为边AB的垂直平分线，
所以MN⊥AB，AF=BF，
因为四边形ABCD为菱形，∠A＝45°，
所以∠ABE=45°，∠ABC=135°
所以∠EBC=90°，△EBC为直角三角形，
因为菱形ABCD的边长为4，
所以AF=BF=2，BE=22+22=22
所以在Rt△EBC中，CE=BE2+BC2=222+42=26
14.解：由作图可知，AG平分∠BAF，AB=AF，
∴AG垂直平分BF，∠FAG=∠BAE，
∴EF=EB，
∵AD∥BE，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE =∠AEB，
∴AB=BE，
∴AB=BE=EF=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BO=FO=4，
∴ OA=AB2-OB2=52-42=3 ，
AE=6，
菱形 ABEF 的面积为 12AE?BF=12×6×8=24 ；
故答案为：24.
15.解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵E是BC的中点，ED∥AB ，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ 12 AB＝ 12 ，AD＝ 12 AC＝ 12 ，
∵EF∥AC ，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1＝4× 12 ，…，
∴ Cn ＝4× 12n ，
∴C2021＝4× 122021 ＝ 122019 ，
故答案为： 122019 ．
16.如图，作DE⊥AB于E点，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形，
∴∠MAE=30°，
∴AM=2ME，
∵MD=MB，
∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形的边长为6，
∴AB=6，AE=3，
∴ DE=AD2-AE2=33 ，
∴ 2DE=63 ，
∴MA+MB+MD最小值为 63 ，
故答案为： 63 .
三、解答题
17. （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中 {∠E=∠F∠AOE=∠COFOA=OC
∴ △AOE≌△COF (AAS)
∴AE＝CF
（2）解：当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴OB＝OD
∵ △AOE≌△COF
∴ OE=OF ?????????????????????????
∴四边形 BFDE 是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形 BFDE 是菱形
18.（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
又∵O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，在△DOE和△BOF中
{∠EDO=∠FBODO=BO∠EOD=∠FOB ，
∴△DOE≌△BOF（ASA）
（2）解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
19. （1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）解：∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
20. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△ECB和△ECD中，
{CE=CE∠ECB=∠ECDCB=CD ，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴BE＝DE，
由作图可知，MN垂直平分线段CD，
∴EC＝ED，
∴BE＝CE．
（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝72°，
∴∠BAC＝∠BCA＝ 12 （180°﹣72°）＝54°，
∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB＝54°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝18°．
21.（1）证明：∵ABCD为菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF,
∴∠EAG=∠FAG,
∵FG//AE，
∴∠EAG=∠FGA,
∴∠FAG=∠FGA,
∴FG=AF=AE，
∵FG//AE，
∴四边形 AEGF是平行四边形，
又AE=AF，
∴四边形 AEGF 是菱形
（2）解：由（1）及菱形的性质可得△AEG、△AFG是等腰三角形，
∴∠FAC=∠FGA，
由已知∠DAC=2∠FAC，
∴∠DAC=2∠FGA，
又AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠DCA=∠FGA+∠CFG，
∴2∠FGA=∠FGA+∠CFG，
∴∠FGA=∠CFG，
∴△CFG是等腰三角形，
同理可得△CEG也是等腰三角形，
∴符合要求的等腰三角形为△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．
22. （1）证明：∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FAG，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）解：四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE= 12 AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
23. （1）证明：∵BE=AB，且ED⊥AD，
即BD为Rt△ADE斜边的的中线，
∴BD=BE=AB= 12AE ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∴BE =CD，BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
又∵BD=BE，
∴四边形BDCE是菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠PBM=∠A=60°，
∵PM=PB，
∴△PBM是等边三角形，
∴PM=PB=BM，
∵∠DPN=∠BPM，
∴∠DPN+∠BPN =∠BPM+∠BPN，即∠DPB =∠NPM，
∵四边形BDCE是菱形，
∴∠DBP =∠NMP=60°，
在△DBP和△NMP中，
{∠DPB=∠NPMPB=PM∠DBP=∠NMP ，
∴△DBP ? △NMP(ASA)，
∴MN=BD=BE，BM+BN=BM+ME，
∴BN=ME，
∴CD=BE=BM+ME=PB+BN；
②CD+ BN= 2 PB
解：（2）②∵∠A=45°，且ED⊥AD ，
?∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DEA=45°，
同（1）法可证明四边形BDCE是正方形，
同①可得∠DPN=∠BPM ，
∴∠DPN-∠BPN =∠BPM-∠BPN ， 即∠DPB =∠NPM ，
∵PM=PB ，
∴∠MBP =∠NMP=45°，
∴△MBP是等腰直角三角形，
即∠MBP =∠NMP=45°=∠PBD ，
在△DBP和△NMP中，
{∠DPB=∠NPMPB=PM∠DBP=∠NMP ，
∴△DBP ? △NMP(ASA)，
∴MN=BD=BE ， BM+BN=BM+ME ，
∴BN=ME ，
∵△MBP是等腰直角三角形，
∴BM= 2 PB=MN+BN=BD+BN=CD+ BN；
即CD+ BN= 2 PB ．
24.（1）解：①如图， MN 即为所求．
过点M作BM⊥x轴于点B，
∵四边形AOMN为菱形，
∴AO∥MN，AO=MO=MN，
∵点A在y轴上，
∴AO⊥x轴，
∴MN⊥x轴，即N、M、B三点共线，
∵∠AOM=30°，
∴∠MOB=90°-30°=60°，
在RT△MOB中，BO= 12 MO=1，MB= 32MO=3 ，
∴点M的坐标是 (1,3) ，点N的坐标是 (1,3+2) ．
②解：∵点A的“ α -相关线段” MN 经过点 (3,1) ，
∴点M必在直线 x=3 上．
记直线 x=3 与x轴交于点 H(3,0) ，
∵ OM=OA=2,OH=3 ，
∴ MH=OM2-OH2=1 ， ∠MOH=30° ．
分两种情况：
a）如图，当点M在x轴上方时，点M恰为 (3,1) ，符合题意，此时 ∠AOM=60°,α=60° ；
b）如图，当点M在x轴下方时，点M为 (3,-1) ，由 MN=2 知点N为 (3,1) ，也符合题意，此时 ∠AOM=120°,α=120° ．
综上， α 的值为 60° 或 120° ．
（2）当0当2 2 当t>4时,只有一种情况使P的“α-相关线段”或“β-相关线段”过(0，4)，此时(0，4)在线段OM上，
∴不符合题意
综上所述， 2225. （1）解：∵ ABCD 为菱形， ∠DAB=60°
∴ △DAB ， △DBC 为等边三角形
∴由三线合一知， DE=AD2+(AB2)2=m2+(m2)2=32m
∵ DE⊥AB ， DF⊥BC
∴ ∠DBE=∠DFB=90°
又 DB=DB
∴ △DEB≌△DFB
∴ DE=DF=32m
（2）解： HB=3HG
证明：延长 GH 交 DE 于点 M ，连接 MB
由题意知 ∠1=∠ACB=30° ， ∠2=∠3=60°
∵ FG//DE
∴ ∠3=∠AGF=∠GCB+∠GFC=60° ， ∠HFG=∠HDM
∴ ∠GFC=∠GCF=30°
∴ GF=GC
∵ H 为 DC 的中点
∴ HF=HD
∵ ∠GHF=∠MHD
∴ △HGF≌△HMD
∴ GF=MD ， HM=HG
∴ MD=CG
在 △DMB 和 △CGB 中
{∠MDB=∠GCB=30°MD=GCDB=CB
∴ △DMB ≌ △CGB
∴ BM=BG ， ∠MBD=∠GBC
∴ ∠MBG=∠DBC=60°
∴ △MBG 为等边三角形
∴ BH⊥MG
∴ HB=3HG
（3）解： HF=36m
作 △BHC 关于点 B 顺时旋转 60° ，得到 △BH'C' ，
∴ △BHH' 为等边三角形
∴ HB+HC+HD=HD+HH'+H'C'
当点 D ， H ， H' ， C' 四点共线时， HD+HH'+H'C' 值最小
连接 CC'
此时有 BC=BC' ， ∠CBC'=60°
∴ △BCC' 为等边三角形
∵ DB=DC ， C'B=C'C
∴ DC' 为 BC 的垂直平分线
∴ BF 垂直平分 HH'
∴ ∠HBF=∠FBH'=30°
∴ HF= false