1.2矩形的性质与判定 新思维同步提高训练（Word版含解答）-2021-2022学年九年级数学北师大版上册

1.2矩形的性质与判定 新思维同步提高训练（Word版含解答）-2021-2022学年九年级数学北师大版上册
一、选择题
1.如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=2，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( ???)
A.?2???????????????????????B.?2 5?????????????????????C.?4?????????????????????????D.?2 3
2.如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，已知AN＝3，MN＝5，设BN＝x，则x的值为（?? ）
A.?53????????????????????????B.?73??????????????????????????C.?52???????????????????????????D.?94
3.如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N是 BD 上两点， BM=DN ，连接 AM 、 MC 、 CN 、 NA ，添加一个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（??? ）
A.?∠AMB=∠CND????????B.?MB=MO????????C.?BD⊥AC?????????????D.?AC=2OM
4.如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（?? ）
A.?2??????????????????????????????B.?52????????????????????????C.?3???????????????????????????????D.?72
5.如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为（?? ）
A.?10?????????????????????????B.?9.6??????????????????????????C.?4.8?????????????????????D.?2.4
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（?? ）
A.?7??????????????????????????????B.?8????????????????????????C.?9???????????????????????????D.?10
7.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（?? ）
A.?8??????????????B.?9???????????????????????????C.?10?????????????????????????D.?12
8.如图，矩形 ABCD 中， AB=2 ，点 E 在边 AD 上， EB 平分 ∠AEC ， ∠DCE=45° ，则 AE 长（?? ）
A.?2?????????????????B.?22-2????????????????????C.?2-2??????????????????????D.?2
9.如图是一个由5张纸片拼成的 ?ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 S1 ，另两张直角三角形纸片的面积都为 S2 ，中间一张矩形纸片 EFGH 的面积为 S3 ， FH 与 GE 相交于点O.当 △AEO,△BFO,△CGO,△DHO 的面积相等时，下列结论一定成立的是（?? ）
A.?S1=S2?????????????B.?S1=S3???????????????????C.?AB=AD???????????????????D.?EH=GH
10.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF＝2 5 ．
以上结论中，你认为正确的有（? ）个．
A.?1??????????????????????????B.?2?????????????????????????????C.?3???????????????????????D.?4
二、填空题
11.如图，矩形 ABCD 中，M是边 CD 的中点，连接 AM 取 AM 的中点M ， 连接 BN ．若 AB=2 ， BC=3 ，则 BN 的长为________．
12.如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC=4，点E是边BC上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点 B' 处，当△CE B' 为直角三角形时，BE的长为________．
13.四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F ， ∠AED＝2∠CED ， 点G是DF的中点．BE＝1，AG＝4，则CD＝________．
14.如图，在 RtΔABC 中， ∠BAC=90° ，且 BA=3 ， AC=4 ，点 D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M ， DN⊥AC 于点 N ，连接 MN ，则线段 MN 的最小值为________．
15.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°．某班学习委员得到四个结论：①DC=3OG；②OG= 12 BC；③ △ OGE是等边三角形；④S△AOE= 16 S矩形ABCD ， 问：学习委员得到结论正确的是________．（填写所有正确结论的序号）
16.如图，在矩形 ABCD 中， BC=16 ， E 为 CD 上一点，将 △BCE 沿 BE 折叠，使点 C 正好落在 AD 边上的 F 处，作 ∠ABF 的平分线交 AD 于 N ，交 EF 的延长线于 M ，若 NF=12BC ，则 AB 的长为 ________ .
三、解答题
17.四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC ， 如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD ， 点F是AB上的点，AF＝BE ， EG⊥AC于点G ， 如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．
18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），直线BC经过点B（﹣8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′，此时边OA′与边BC交于点P，边B′C′与BC的延长线交于点Q，连接AP．
（1）四边形OABC的形状是________．
（2）在旋转过程中，当∠PAO=∠POA，求P点坐标．
（3）在旋转过程中，当P为线段BQ中点时，连接OQ，求△OPQ的面积．
19.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E。

（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若∠DAE=60°，AD=6，求BD的长。
20.如图，四边形 ABCD 为矩形，G是对角线 BD 的中点．连接 GC 并延长至F，使 CF=GC ，以 DC 、 CF 为邻边作 ?DCFE ，连接 CE ．
（1）若四边形 DCFE 是菱形，判断四边形 CEDG 的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接 DF ，若 BC=3 ，求 DF 的长．
21.探索与应用：如图
（1）问题解决：如图1.在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点 B' 处，折线AE交BC于点E，连接B'E.求证：四边形 ABEB' 是菱形.
（2）规律探索：如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由.
（3）拓展应用：如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点 B' 处，点A落在纸片ABCD外部点 A' 处， A'B' 与AD交于点M，且 A' M＝ B' M.已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长.
22.将一矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中， O 为原点， C 在 x 轴上， OA=9 ， OC=15 .
（1）如图1，在 OA 上取一点 E ，将 △EOC 沿 EC 折叠，使 O 点落至 AB 边上的 D 点，求直线 EC 的解析式；
（2）如图2，在 OA 、 OC 边上选取适当的点 M 、 F ，将 △MOF 沿 MF 折叠，使 O 点落在 AB 边上的 D' 点，过 D' 作 DG⊥CO 于点 G 点，交 MF 于 T 点.
①求证： TG=AM ；
②设 T(x,y) ，探求 y 与 x 满足的等量关系式，并将 y 用含 x 的代数式表示（指出变量 x 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 x=6 时，点 P 在直线 MF 上，问坐标轴上是否存在点 Q ，使以 M 、 D' 、 Q 、 P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
23.在平面直角坐标系中，O为原点，四边形 OABC 是矩形，点A，C的坐标分别是 (3,0) ， (0,1) ．点D是边 BC 上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线 y=-12x+b 交边 OA 于点E ．
（1）如图①，直接写出D，E两点的坐标（用含b的式子表示）．
（2）如图②，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为矩形 O1A1B1C1 ，试探究矩形 O1A1B1C1 与距形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积：若改变，请说明理由；
（3）矩形 OABC 绕着它的对称中心旋转，如果旋转前后两矩形重叠部分的图形是菱形，请直接写出这个菱形面积的最大值和最小值．
答案
一、选择题
1.解：连接EC，

∵矩形ABCD，点E是AD的中点，AE=2
∴AD=BC=2AE=4，DE=AE=2，∠D=90°，
∵BE的垂直平分线MN恰好过点C，
∴CE=BC=4，
在Rt△CDE中，
AB=CD=CE2-DE2=42-22=23.
故答案为：D.
2.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵AN＝3，MN＝5，
∴AM＝ MN2-AN2=52-32 ＝4，
∵M是AD边中点，
∴AM＝DM＝4，BC＝8，
∵将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，
∴AN＝NE＝3，CE＝CD，
∵BN2+BC2＝CN2 ，
∴x2+82＝（x+6）2 ，
解得x＝ 73 .
故答案为：B.
3.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵2OM=AC，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故答案为：D．
4.解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，
∵DF=BC，
∴DA=DF，
∴AH=FH，
∵AF⊥BE，
∴DG∥BE，
∴GH为△ABF的中位线，
∴AG=BG= 12 AB=3，
∵矩形ABCD中，AB=DC=6，AB∥DC，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DE=BG=3，
∴CE=CD-DE=6-3=3.
故答案为：C.
5.解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S矩形ABCD=AB?BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC= AB2+BC2 =5，
∴S△AOD= 14 S矩形ABCD=3，OA=OD= 52 ，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP= 12 OA?PE+ 12 OD?PF= 12 OA（PE+PF）= 12 × 52 ×（PE+PF）=3，
∴PE+PF= 125 =2.4.
故答案为：D.
6.解：如图，连接AC，取AC的中点O，连结OF，OE，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，F为CD的中点，
∴AC＝ AB2+BC2=62+82=10 ，
∵AO＝OC，CF＝FD，
∴OF＝ 12 AD＝ 12 BC＝4，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝ 12 AC＝ 12×10 ＝5，
由三角形的三边关系得，O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF最大＝4+5＝9.
故答案为：C.
7.解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD， OA=OC=12AC=6,OB=OD=12BD=8,
∴∠DOC＝90°， CD=OC2+OD2=62+82=10,
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：C.
8.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，∠A=∠D=∠DCB=90°，
∵∠DCE=45°，
∴DE=DC=2，
∴EC=2 2 ，
∵∠DCE=45°，
∴∠DEC=45°，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEB=∠BEC= 12 ∠AEC= 180°-45°2 ＝67.5°，
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE=2 2 ，
∴AD=BC=2 2 ，
∴AE=AD-DE=2 2 -2，
故答案为：B.
9.解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，
∴ ∠ADE=∠DAE=∠BCG=∠GBC=45°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF
∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形
∴GH=EF，HE=GF
设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，
∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，
∴ OP=12HE=12b ， OQ=12EF=12c
∵ SΔBOF=12BF·OQ=12(a-b)×12c=14(a-b)c
SΔAOE=12AE·OP=12a×12b=14ab ?
∵ SΔBOF=SΔAOE
∴ 14(a-b)c=14ab ，即 ac-bc=ab
而 S1=SΔAED=12AE·DE=12a2 ，
S2=SΔAFB=12AF·BF=12(a+c)(a-b)=12(a2-ab+ac-bc)=12(a2-ab+ab)=12a2 ?
所以， S1=S2 ，A符合题意，
S3=HE·EF=(a-b)(a+c)=a2-bc-ab+ac=a2+ab-ab=a2 ?
∴ S1≠S3 ，B不符合题意，
而 AB=AD 于 EH=GH 都不一定成立，故 C,D 都不符合题意，
故答案为：A
10.解：∵将纸片ABCD沿直线EF折叠，
∴FC=FH，∠HFE=∠CFE，
∵AD∥BC，
∴∠HEF=∠EFC=∠HFE，HE∥FC，
∴△HFE为等腰三角形，
∴HE=HF=FC，
∵EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴EH∥CF，且HE =FC，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵FC=FH，
∴四边形CFHE是菱形，
故①符合题意；
∵HC为菱形的对角线，
∴∠BCH＝∠ECH，∠BCD=90°，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，
故②不符合题意；
过点F作FM⊥AD于M，
点H与点A重合时，BF最小，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2 ，
即42+x2＝（8﹣x）2 ，
解得x＝3，
点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DM＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，
故③符合题意；
当点H与点A重合时，由③中BF=3，
∴AF=AE=CF=EC=8-3=5，
则ME＝5﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝ MF2+ME2=42+22 ＝2 5 ，
故④符合题意；
综上所述，结论正确的有①③④共3个．
故答案为：C．
二、填空题
11.如下图：
过点N作 GH//AB ，分别交BC于点G ， 交AD于点H ， 易得 GH//CD , GH=AB=CD ,
∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠C=∠D=90? ， AB//DC ， AB=CD ， AD=BC ，
在 Rt△AMD 中，点N是线段AM中点，点M、点N分别在线段CD、GH上，
∴ NH=12MD ，
又∵M是CD的中点，
∴MD=12CD=12AB=1 ，
∴NH=12MD=1×12=12 ，
∴GN=GH-NH=2-12=32 ，
∵ GH//CD ， ∠C=90? ，
∴ ∠BGN=90? ，
在 Rt△BGN 中， BG=AH=12BC=32 , GN=32 ，
∴BN=2GN=2×32=322 ．
故答案为： 322
12.解：当 ΔCEB' 为直角三角形时，有两种情况：
①当点 B' 落在矩形内部时，如答图1所示．
连结 AC ，
在 RtΔABC 中， AB=3 ， BC=4 ，
∴AC=42+32=5 ，
∵∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B' 处，
∴∠AB'E=∠B=90° ，
当 ΔCEB' 为直角三角形时，只能得到 ∠EB'C=90° ，
∴ 点 A 、 B' 、 C 共线，即 ∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B' 处，
∴EB=EB' ， AB=AB'=3 ，
∴CB'=5-3=2 ，
设 BE=x ，则 EB'=x ， CE=4-x ，
在 RtΔCEB' 中，
∵EB'2+CB'2=CE2 ，
∴x2+22=(4-x)2 ，解得 x=32 ，
∴BE=32 ；
②当点 B' 落在 AD 边上时，如答图2所示．
此时 ABEB' 为正方形，
∴BE=AB=3 ．
综上所述， BE 的长为 32 或3．
故答案为： 32 或3．
13.解： ∵ 四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点．
∴∠DAF=90°,AG=DG,AD//BC, ?
∴∠GAD=∠GDA, ?
∴ ?∠AGE＝∠ADG＋∠DAG＝2∠DAG ，
∵AD//BC, ?
∴∠ADG=∠DEC, ?
又∵∠AED＝2∠CED ，
∴∠AED＝∠AGE ，
∴AE＝AG ，
∵AG＝4，
∴AE＝4，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB＝ AE2-BE2=42-12 ＝ 15 ，
∴CD＝ AB= 15 ，
故答案为： 15 ．
14.解：∵ ∠BAC=90° ，且 BA=3 ， AC=4 ，∴ BC=BA2+AC2=5 ，
∵ DM⊥AB ， DN⊥AC ，∴ ∠DMA=∠DNA=∠BAC=90° ，
∴四边形 DMAN 是矩形.
如图，连接AD ， 则 MN=AD ，
∴当 AD⊥BC 时， AD 的值最小，此时， ΔABC 的面积 =12AB×AC=12BC×AD ，
∴ AD=AB×ACBC=125 ，∴ MN 的最小值为 125 ；
故答案为 125 ．
15.解：∵ EF⊥AC ，点 G 是 AE 中点，
∴ OG=AG=GE=12AE ，
∵ ∠AOG=30° ，
∴ ∠OAG=∠AOG=30° ，
∠GOE=90°-30°=60° ，
∴ △OGE 是等边三角形，故③符合题意；
设 AE=2a ，则 OE=OG=a ，
由勾股定理得， AO=AE2-OE2=(2a)2-a2=3a ，
∵ O 为 AC 中点，
∴ AC=2AO=23a ，
∴ BC=12AC=12×23a=3a ，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得， AB=(23a)2-(3a)2=3a ，
四边形 ABCD 是矩形，
∴ CD=AB=3a ，
∴ DC=3OG ，故①符合题意；
∵ OG=a ， BC=3a ， 12BC=32a ，
∴ OG≠12BC ，故②不符合题意；
∵ S△AOE=12a?3a=32a2 ，
SABCD=3a?3a=33a2 ，
∴ S△AOE=16SABCD ，故④符合题意；
综上所述，结论符合题意是①③④，
故答案为：①③④．
16.解：∵将 △BCE 沿 BE 折叠得 △BFE ，
∴ BC=BF ，
如图示，过点 N 作 NG⊥BF 交 BF 于点 G ，
∵ AN 是 ∠ABF 的平分线
∴ AN=NG ，
又∵ S△NFB=12BF·NG=12NF·AB ， NF=12BC=12×16=8 ，
可得： BF·AN=12BC·AB ，即 AN=12AB ，
设 AB=2x ，则 AN=x ， AF=AN+NF=x+8 ，
在 Rt△ABF 中， AB2+AF2=BF2 ，
即： (2x)2+(x+8)2=162 ，
解之得： x=245 ，负值已舍去，
∴ AB=485 ，
故答案为： 485 .
三、解答题
17. （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD,AB＝CD,CB⊥AE,
又∵AC＝EC,
∴AB＝BE,
∴BE＝CD,BE∥CD,
∴四边形BECD为平行四边形
（2）证明：∵AB＝AD,
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC,
∴∠E＝∠GAE＝45°,
∴GE＝GA,
又∵AF＝BE,
∴AB＝FE,
∴FE＝AD,
在△EGF和△AGD中，
{GE=GA∠E=∠DAC=45?EF=AD ,
∴△EGF≌△AGD(SAS),
∴GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°,
∴△DGF是等腰直角三角形
18.（1）矩形
（2）解：如图1，过点P作PE⊥AO于点E，
∵∠PAO=∠POA，
∴PA=PO，
∵PE⊥AO，
∴AE=EO=4，
∴P（﹣4，6）；
（3）解：如图2，在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中，
{CO=C'OOQ=OQ ，
∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），
∴∠OQC=∠OQC'，
又∵OP∥C'Q，
∵∠POQ=∠OQC'，
∴∠POQ=∠PQO，
∴PO=PQ，
∵BP=QP，
∴BP=OP=x，
在Rt△OPC中，x2=（8﹣x）2+62 ，
解得：x= 254 ．
故S△OPQ= 12 ×CO×PQ= 12×6×254=754 ．
（1）∵点A的坐标为（﹣8，0），点B（﹣8，6），C（0，6），
?
∴∠COA=∠OAB=∠B=90°，
∴四边形OABC是矩形．
故答案为矩形；
19. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC上BD，∠AOD=90°∵EA⊥AO，DE⊥DO，∴∠EAO=∠EDO= 90°，∴四边形AODE是矩形．
（2）解：∵四边形AODE是矩形，∴∠DOA =∠EAO= 90°∵∠DAE = 60°，AD
= 6，∴∠DAO=30°，DO= 12 AD=3，∴BD=6
20. （1）解：四边形 CEDG 是菱形，理由如下：
∵四边形 ABCD 为矩形，G是对角线 BD 的中点，
∴ GB=GC=GD ，
∵ CF=GC ，
∴ GB=GC=GD=CF ，
∵四边形 DCFE 是菱形，
∴ CD=CF=DE ， DE//CG ，
∴ DE=GC ，
∴四边形 CEDG 是平行四边形，
∵ GD=GC ，
∴四边形 CEDG 是菱形
（2）解：∵ CD=CF ， GB=GD=GC=CF ，
∴ △CDG 是等边三角形，
∴ CD=BG ， GCD=∠DGC=60° ，
∴ ∠DCF=∠BGC=120° ，
∴ △BGC≌△DCF(SAS) ，
∴ DF=BC=3 ．
21. （1）解：由平行四边形的性质可知 AD//BC ，
∴ ∠AB'E=∠CEB' ，
由翻折可知 ∠AB'E=∠ABE ，
∴ ∠CEB'=∠ABE ，
∴ AB//B'E .
∴四边形 ABEB' 是平行四边形.
再由翻折可知 AB'=AB ，
∴四边形 ABEB' 是菱形
（2）解：由翻折可知 ∠BPF=∠QPF ，
∵ AD//BC ，
∴ ∠BPF=∠QFP ，
∴ ∠QPF=∠QFP ，
∴QF=QP，
∴ △PFQ 是等腰三角形
（3）解：如图，延长 PB' 交AD于点G，
根据题意可知 ∠FA'M=∠GB'M=90° ，
在 △FA'M 和 △GB'M 中， {∠FA'M=∠GB'M=90°A'M=B'M∠FMA'=∠GMB' ，
∴ △FA'M?△GB'M(ASA) ，
∴ A'F=B'G=AF=2 ， FM=GM .
根据（2）同理可知 △PFG 为等腰三角形.
∴FG=PG.
∵ A'F=AM=2 ，
∴在 Rt△A'FM 中， FM=A'M2+A'F2=22 ，
∴ FG=2FM=42 ，
∴ PG=42 ，
∴ PB=PB'=PG-B'G=42-2 .
22. （1）解：如图1中，
∵ OA=9 ， OC=15 ，
∵ △DEC 是由 △OEC 翻折得到，
∴ CD=OC=15 ，
在 Rt△DBC 中， DB=DC2-BC2=12 ，
∴ AD=3 ，设 OE=ED=x ，
在 Rt△DBC 中， x2=(9-x)2+32 ，
解得 X=5 ，
∴ E(0,5) ，
设直线 EC 的解析式为 y=kx+5 ，把 (15,0) 代入得到 k=-13 ，
∴直线 EC 的解析式为 y=-13x+5
（2）解：①证明：如图2中，
∵ MD'=MO ， ∠D'MN=∠OMN ，
∵ OM//GD' ，
∴ ∠OMT=∠D'TM ，
∴ ∠D'MT=∠D'TM ，
∴ D'M=D'T ，
∴ OM=DT ，
∵ OA=DG ，
∴ AM=TG .
②如图3中，连接 OT ，
由（2）可得 OT=D'T ，
由勾股定理可得 x2+y2=(9-y)2 ，
得 y=-118x2+92 .
结合（1）可得 AD'=OG=3 时， x 最小，从而 x≥3 ，
当 MN 恰好平分 ∠OAB 时， AD' 最大即 x 最大，
此时 G 点与 N 点重合，四边形 AOND' 为正方形，
故 x 最大为9.从而 x≤9 ，
∴ 3≤x≤9
（3）解：如图4中， x=6 时， y=52 ，即点 T 坐标 (6,52) .
∴ OM=D'T=9-52=132 ，
①当 MD' 为对角线时，点 P 与 T 重合， QM=D'T=132 ，
∴ OQ=13 ，
∴此时点 Q 坐标 (0,13) .
② D'M 为边时，∵四边形 MD'QP 是平行四边形，
又∵四边形 D'MOT 是平行四边形，
∴点 P 与 T 重合，点 Q 与点 O 重合，
∴点 Q 坐标 (0,0) ，
③当点 P″ 在第四象限点时，四边形 MD'Q″P″ 是平行四边形时，
∵直线 NM 的解析式为 y=-23x+132 ，
∵ D'Q″//MN ，
∴直线 D'Q″ 的解析式为 y=-23x+13 ，
当 y=0 时， x=392 ，Q″(392,0)
综上所述，以 M 、 F 、 Q 、 P 为顶点的四边形是平行四边形时，点 Q 坐标 (0,0) 或 (0,13) 或 (392,0)
23.（1）解： D(2b-2,1) ； E(2b,0)
（2）解： CB 与 O1A1 的交点为M， C1B1 与 OA 的交点为N，如图：
∵ 四边形 OABC ，四边形 O1A1B1C1 是矩形，
∴CB//OA ， C1B1//O1A1 ，
∴ 四边形 DMEN 是平行四边形，
∵ 矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为矩形 O1A1B1C1 ，
∴∠1=∠2 ，
∵CB//OA ，
∴∠2=∠3 ，
∴∠1=∠3 ，
∴DM=ME ，
∴ 平行四边形 DMEN 是菱形，
过点D作 DH⊥OA 于点H，
由 D(2b-2,1) ， E(2b,0) ，
可知 CD=2b-2 ， OE=2b ， OH=CD=2b-2 ，
∴EH=OE-OH=2b-(2b-2)=2 ，
设菱形 DMEN 的边长为 m ，
在 Rt△DHN 中， DH=1 ， HN=EH-NE=2-m ， DN=m ，
由 DH2+HN2=DN2 ，得 12+(2-m)2=m2 ，
解得： m=54 ，
∴ S菱形DMEN=NE?DH=54×1=54 ，
所以重叠部分菱形 DMEN 的面积不变， 为 54 ；
（3）S最大=53 ； S最小=1
解：（1） ∵ 四边形 OABC 是矩形，
?
∴CB//x 轴，
由点A，C的坐标分别为 (3,0) ， (0,1) ．
可得点D的纵坐标为 1 ，
当 y=1 时， y=-12x+b ，
解得： x=2b-2 ，
∴D 的坐标为 (2b-2,1)
当 y=0 时， y=-12x+b ，
解得： x=2b ，
∴E 的坐标为 (2b,0)
（3） 如下图所示，
当这个菱形 DNEM 是正方形时，即 NE=1 时，菱形的面积最小，最小值是1；
如下图所示，
当这个菱形A与E重合时，菱形 CNAM 的面积最大，
设 CN=AN=x ，则 ON=AO-AN=3-x ,
Rt△CON 中， 12+(3-x)2=x2
解之得： x=53 ，
∴ AN=53
∴菱形面积的最大值是 AN·CO=1×53=53 ．