1.3正方形的性质与判定 新思维同步提高训练（Word版含解答）-2021-2022学年九年级数学北师大版上册

1.3正方形的性质与判定 新思维同步提高训练（Word版含解答）-2021-2022学年九年级数学北师大版上册
一、选择题
1.如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点 E(2,3) ，则点F的坐标为（??? ）
A.?(-1,5)??????????????B.?(-2,3)????????????????C.?(5,-1)????????????????D.?(-3,2)
2.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（? ）
A.?1?????????????B.?2?????????????????C.?3???????????????D.?2
3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到△A′D′C′，分别连接BC′，AD′，BD′，则BC′+BD′的最小值为（?? ）
A.?22????????????????B.?4????????????C.?42????????????????????D.?25
4.如图，在正方形ABCD中，AB=6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN=（?? ）
A.?32????????????????????????????????????????B.?322????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?6
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（?? ）
A.?3 2????????????????????B.?19???????????????????????C.?2 5???????????????????????D.?26
6.如图，在正方形 ABCD 中，E为 DC 边上的一点，沿线段 BE 对折后，若 ∠ABF 比 ∠EBF 大 15° ，则 ∠EBF 的度数为（　　　）
A.?15°??????????????????B.?20°???????????????????????C.?25°?????????????????????????D.?30°
7.如图， △ ABE、 △ BCF、 △ CDG、 △ DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，则EG的长是（　　）
A.?7 2??????????????????B.?6 2????????????????????????C.?7????????????????????????D.?7 3
8.如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ，以 △ABC 的各边为边分别作正方形 BAHI ，正方形 BCFG 与正方形 CADE .延长 BG ， FG 分别交 AD ， DE 于点K，J，连结 DH ， IJ .图中两块阴影部分面积分别记为 S1 ， S2 ，若 S1:S2=1:4 ，四边形 SBAHE=18 ，则四边形 MBNJ 的面积为（?? ）
A.?5????????????????????????????????B.?6??????????????????????C.?8??????????????????????????D.?9
9.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 ABCD 如图所示.过点 D 作 DF 的垂线交小正方形对角线 EF 的延长线于点 G ，连结 CG ，延长 BE 交 CG 于点 H .若 AE=2BE ，则 CGBH 的值为（?? ）
A.?32???????????????????????????B.?2??????????????????????C.?3107???????????????????????D.?355
10.如图，正方形 ABCD 中，在 AD 的延长线上取点 E ， F ，使 DE=AD ， DF=BD ，连接 BF 分别交 CD ， CE 于 H ， G ，下列结论：① HF=2HG ；② ∠GDH=∠GHD ；③图中有8个等腰三角形；④ S△CDG=S△DNF ．其中正确的结论个数是（?? ）
A.?1个??????????????????????B.?2个????????????????????????????C.?3个??????????????????????D.?4个
二、填空题
11.如图，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边 B'C' 恰好经过点A ， 过点A作 AG⊥MN ，垂足分别为G ， 若 AG=6 ，则 AC' 的长度为________．
12.已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为________．
13.如图，矩形纸片ABCD，AD=2AB=4，点F在线段AD上，将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形CDMN沿MN向上翻折，点C恰好落在线段BF的中点C'处，则线段MN的长为________．
14.如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1 ， 再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2 ， 照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为________

15.如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形的一部分在水平面EF下方，测得DE=2米，∠CDF=45°，露出水平面部分的材料长共合计140米（注：共8个大小一样的正方形造型，不计损耗），点B到水平面EF的距离为________米.
16.如图，正方形 ABCD 中， AB=4 ，O是 BC 边的中点，点E是正方形内一动点， OE=2 ，连接 DE ，将线段 DE 绕点D逆时针旋转 90° 得 DF ，连接 AE 、 CF .则线段 OF 长的最小值为________.
三、解答题
17.在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE>DE），AE，BD交于点F．
（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．
求证：∠EAB=∠GHC；
（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．
①依题意补全图形；
图1????????????????? 备用图
②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．
18.问题情境：

（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为边构造正方形CEFG，连接BE和DG，则BE和DG的关系为________。
（2）继续探究：如图2，若正方形ABCD的边长为3，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE。
①求证：DG⊥BE。
②连接BG，若AE=1，求BG长。
19.如图，点 P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点， PE⊥BC 于点 E ， PF⊥CD 于点 F ．
（1）求证： PA=EF ．
（2）若正方形 ABCD 的边长为12，求，四边形 PFCE 的周长．
20.如图
（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝2，BC＝1，则△BCD的周长为________．
（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②图3中补全图形，直接写出∠EOF的度数．
21.如图①，四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上一点，连接AE、CE
（1）求证：AE=CE；
（2）如图②，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，点O为BP的中点，连接OE。若∠PBC=30°，求∠POE的度数；
（3）在(2)的条件下，若OE= 2 ，求CE的长。
22.如图，已知四边形ABCD是正方形.
（1）如图1，若E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点O.现在提供三个关系：①AF⊥EG；②AO＝FO；③AF＝EG.从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题，完成下列填空并证明：你选择的条件是________，结论是________.（只要填写序号）.
（2）如图2，点E、F分别在AD、AB上，BE⊥CF，垂足为点O，连接EF、EC，M、N分别是BF、CE的中点，MN分别交BE、CF于点G、H，求证：OG＝OH；
（3）如图3，AB＝3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，O为AE的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若MN＝AE，请直接写出AM的长.
23.综合与实践﹣﹣图形变换中的数学问题．
问题情境：
如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．将△ABC沿AC翻折得到△ADC ， 然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD ．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）初步探究：
将△ABC从图1位置开始绕点B按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF ， 其中点A ， C的对应点分别是点E ， F ， 连接AE ， FC并分别延长，交于点M ． 试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图3，连接DE ， 当DE∥CM时，请直接写出CM的长．
答案
一、选择题
1.解：如图所示，过点E作EA⊥x轴，垂足为A ， 过点F作FB⊥EA ， 交AE的延长线于点B ， 交y轴与点C ，
∵四边形OEFG是正方形，
∴FE=EO ， ∠FEO=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°，∠AEO+∠AOE=90°，
∴∠FEB =∠EOA ，
∴△FEB≌△EOA ，
∴FB=EA ， EB=OA ，
∵E（2，3），
∴FB=EA=3，EB=OA=2，
∵EA⊥x轴，FB⊥EA ， OC⊥x轴，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=2，
∴FC=FB-BC=1，BA=EB+EA=5，
∵点F在第二象限，
∴点F（-1，5）
故答案为：A ．
2.解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，
∴2（3﹣x）＝x，
解得x＝2．
故答案为：D．
3.解：连接DD′，当等腰Rt△ADC在射线CA上运动时，点D运动轨迹为直线DD'，
∵AB∥C′D′，且AB=C′D′，
∴四边形ABC′D′为平行四边形，
∴BD′+BC′=D′B+D′A，
将点B关于直线l对称到点B′，BD′+BC′=D′B+D′A= D′B′+D′A≥AB′，当D′、B′、A三点共线时，BC′+BD′的最小，最小值为AB′长，
作A′′B′⊥AD交AD延长线于点A′′，
由对称可知，BD′=BD，∠ADB=∠AD B′，∠BAD=∠B′A′′D，
∴△BAD≌△B′A′′D，
∴A′′D=AD=2，A′′B′=AB=2，
AB′= AA''2+B'A''2= 25 ，
?故答案为：D.
4.解：连接 BD ，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，
∴ BD=AB2+AD2=62 ，
当点Q在AB边上运动时（点Q不与点B重合），MN一直是△BQD的中位线，
则线段 MN=12BD=32 .
故答案为：A.
5.解：∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴∠FAC＋∠BAC＝∠FAC＋∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
在△FAM与△ABN中，
{∠F=∠NAB=90°∠FAM=∠ABNAF=AB ，
∴△FAM≌△ABN（AAS），
∴S△FAM＝S△ABN ，
∴S△ABC＝S四边形FNCM ，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2 ，
∵AC＋BC＝6，
∴（AC＋BC）2＝AC2＋BC2＋2AC?BC＝36，
∴AB2＋2AC?BC＝36，
∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，
∴AB2﹣AC?BC＝10.5，
∴3AB2＝57，
解得AB＝ 19 或﹣ 19 （负值舍去）.
故答案为：B.
6.解：∵∠FBE是∠CBE折叠形成，
∴∠FBE=∠CBE，
∵∠ABF-∠EBF=15°，∠ABF+∠EBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=25°，
故答案为：C.
7.解：在Rt△ABE中，AE＝5，AB＝13，
由勾股定理得，BE＝ AB2-AE2 ＝ 132-52 ＝12，
∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，
∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，
∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，
∴四边形EFGH为正方形，
∴EG＝ 72+72 ＝7 2 ，
故答案为：A．
8.解：∵ S1:S2=1:4
∴ GJBC=12
∵四边形 BCFG 与四边形 CADE 是正方形
∴ BC=FC=FG=GB=2GJ
∴ AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ
∵ ∠ACB=90°
∴ AB=AC2+BC2=13GJ
∵ AH=AB ， ∠ADH=180°-∠ADE=90°
∴ HD=AH2-AD2=2GJ
∵四边形 SBAHE=S△AHD +梯形 SADEB=18
∴ 12AD×HD+12(AD+BE)×DE=12×3GJ×2GJ+12(3GJ+GJ)×3GJ=18
∴ GJ=2
∴ AF=AC-FC=3GJ-2GJ=GJ=BE
∵ ∠CAB+∠ABC=90° ， ∠ABC+∠EBM=180°-∠ABI=90°
∴ ∠CAB=∠EBM ，即 ∠FAN=∠EBM
∵四边形 BCFG 与四边形 CADE 是正方形
∴ ∠AFN=180°-∠CFN=90° ， ∠BEM=90°
∴ {∠AFN=∠BEM=90°AF=BE∠FAN=∠EBM
∴ △FAN≌△EBM
∴ S△FAN=S△EBM
∴ S△ABC= 四边形 SCFNB+S△EBM
∵ ∠FCE=∠CEJ=∠EJF=∠JFC=90°
∴四边形 CFJE 是矩形
∴矩形 SCFJE= 四边形 SMBNJ+ 四边形 SCFNB+S△EBM= 四边形 SMBNJ+S△ABC
∴四边形 SMBNJ = 矩形 SCFJE- S△ABC =JE×CE-12AC×BC=2GJ×3GJ-12×3GJ×2GJ=6
故答案为：B.
9.如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 ABCD ，
∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵ AE=2BE ，
∴BE=PE=PC=PF=DF，
∵∠CFD=∠BPC，
∴DF//EH，
∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH= 12 QF，CH=HQ，
∵四边形EPFN是正方形，
∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，
∴DG//CF，
∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中， {∠GDQ=∠CPHDG=PC∠DGQ=∠PCH ，
∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，
∴PH= 13 DF= 13 BE，CG=3CH，
∴BH=BE+PE+PH= 73BE ，
在Rt△PCH中，CH= PC2+PH2=BE2+(13BE)2 = 103BE ，
∴CG= 10 BE，
∴ CGBH=10BE73BE=3107 .
故答案为：C.
10.解：∵DF=BD ，
∴∠DFB=∠DBF
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD//BC ， AD=BC=CD ， ∠ADB=∠DBC=45°，
∴DE//BC ， ∠DFB=∠GBC ，
∵DE=AD ，
∴DE=BC ，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴∠DEC=∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠ADB=∠DFB+∠DBF=2∠EFB=45°，
∴∠GBC=∠EFB=22.5°，∠CGB=∠EGF=22.5°=∠GBC ，
∴CG=BC=DE ，
∵BC=CD ，
∴DE=CD=CG ，
∴∠DEG=∠DCE=45°，EC= 2 CD ， ∠CDG=∠CGD= 12 （180°-45°）=67.5°，
∴∠DGE=180°-67.5°=112.5°，
∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，
∴∠GHC=∠DGE ，
∴△CHG≌△EGD（AAS），
∴∠EDG=∠CGB=∠CBF ，
∴∠GDH=90°-∠EDG ， ∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB ，
∴∠GDH=∠GHD ，
∴∠GDH=∠GHD ， 故②符合题意；
∵∠EFB=22.5°，
∴∠DHG=∠GDH=67.5°，
∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB ，
∴DG=GF ，
∴HG=DG=GF ，
∴HF=2HG ， 即EC≠HF=2HG ， 故①符合题意；
∵△CHG≌△EGD ，
∴S△CHG=S△EGD ，
∴ SΔCHG+SΔDHG=SΔEGD+sΔDHG ，即 SΔCDG=SΔCDG≠SΔDHF ，故④不符合题意；
结合前面条件易知等腰三角形有：△ABD、△CDB、△BDF、△CDE、△BCG、△DGH、△EGF、△CDG、△DGF共9个，故③不符合题意；
则正确的个数有2个．
故答案为：B ．
二、填空题
11.延长AG交BC于点E ，
则 EG=AG=6 ，
∴AE=12 ．
∵正方形ABCD边长为10，
AB=BC=10 ．
在 Rt△ABE 中， BE=AE2-AB2=122-102=211 ，
∴CE=BC-BE=10-211 ，
由折叠的性质得， AC'=CE=10-211 ，
故答案为： 10-211 ．
12.如图，延长BA到D，使AD=BC，连接OD，OA，OC，
∵四边形ACEF是正方形，∴∠AOC=90°，CO=AO，
∵∠ABC=90°，∠ABC+∠AOC=180°，
∴∠BCO+∠BAO=180°，∠BCO=∠DAO，
在△BCO与△DAO中， {BC=AD∠BCO=∠DAOCO=AO
∴△BCO≌△DAO（SAS），
∴OB=OD，∠BOC=∠DOA，∴∠BOD=∠COA=90°，
∴△BOD是等腰直角三角形，∴BD= 2OB ，
∵BD=AB+AD=AB+BC=8，∴OB= 42 .
故答案为 42 .
13.解：作C'G⊥BC，连接C'C交MN于点K，连接CM
根据题意可得，四边形ABEF为正方形，△BGE为等腰三角形
∴C'G=12×2=1，CG=4-BG=4-1=3
设CN=C'N=x，则GN=3-x
在直角三角形C'GN中，1+（3-x）2=x2 ， 解得x=53
∴CN=53
在直角三角形CC'G中，CC'=32+12=10
由折叠可得，CK=CC'2=102 ， CK⊥MN
∵12MN×ck=12CN×CD
∴MN=CN×CDCK=2103
14.解： ∵正方形OABC边长为1，
∴OB=2 ，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=22 ，
∴B2点坐标为（-2，2），
同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），
B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），
B6（8，-8），B7（16，0）
B8（16，16），B9（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的2倍，
∵2020÷8=252…4，
∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，纵坐标为负数，横坐标是正数，
∴ 点B2020的纵坐标为 -21010.
15.解：如图，延长AE、CD交于一点G，连接BG交EF于H，

∴∠EGD=90°，
∵DE=2，∠CDF=45°，
∴GD=EG=2 ，
设正方形的边长为a，则AE=CD=a-2 ，
∴2AE+2AB=4a-22=1408 ，
解得a=35+428 ，
∴BG=2a=352+88 ，
∴BH=BG-HG=352+88-1=3528 ，
故答案为：3528.
16.如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵ ∠EDF= ∠ODM=90°，
∴ ∠EDO=∠FDM，
在△EDO与△FDM中， {DE=DF∠EDO=∠FDMDO=DM
∴ △EDO≌△FDM (SAS) ，
∴ FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，
AB=4，O是BC边的中点，
∴ OC=2，
∴ OD=42+22=25
∴ OM=(25)2+(25)2=210
∵OF+MF ≥ OM，
∴ OF≥210-2
∴线段OF长的最小值为 210-2
故答案为： 210-2
三、解答题
17.（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠AGH=∠GHC．
∵GH⊥AE，
∴∠EAB=∠AGH．
∴∠EAB=∠GHC．
（2）①补全图形，如图所示．
② AE=2CN ．
证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，点C关于BD对称．
∴NA=NC，∠1=∠2．
∵PN垂直平分AE，
∴NA=NE．
∴NC=NE．
∴∠3=∠4．
在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，
∴∠AQE=∠4．
∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．
∴∠ANE=∠ANQ=90°．
在Rt△ANE中，
∴ AE=2CN ．
18.（1）BE= DG，BE⊥DG
（2）①如图2，延长BE， GD交于点H，

∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠ECG=90°，CE= CG，
∴∠BCE=∠DCG，
∴△BCE≌△DCG(SAS)，
∴∠BEC=∠DGC，
∵∠BEC+∠HEC= 180°，
∴∠DGC+∠HEC=180°，
∵∠DGC+∠HEC+ CECG+∠DHE = 360°，
∴∠DHE=90°，
∴DG⊥BE；
②如图3，过点G作GN⊥BC，交BC延长线于点N，

∵AE= 1，AD=3，
∴DE= 2，
∵∠ECG=∠DCN= 90°，
∴∠ECD=∠GCN
又∵EC=CG，∠EDC=∠N=90°，
∴△ECD≌△GCN(AAS)，
∴DE=GN=2，CN=CD=3，
∴BN= BC+ CN= 6，
∴BG= BN2+CN2 = 62+22 = 210
解：（1）如图1，延长GD交BE于点H，
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠ECG=90°，CE=CG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG，∠BEC=∠DGC，
∵∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠DGC+∠EBC=90°，
∴∠BHG=90°，
∴BE⊥DG；
19.（1）证明：连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠BCD=90°，
在△ABP与△CBP中，
{AB=CB∠ABD=∠CBDPB=PB ，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．
又∵∠BCD=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF=PC，
∴PA=EF；
（2）解：由（1）知四边形PFCE是矩形，
∴PE=CF，PF=CE，
又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，
∴BE=PE，
又∵BC=12，
∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24．
20.（1）3
（2）解：①如图2，在AD上截取AH＝DE，连接EH，作EH的垂直平分线，交DH于F，连接EF，则△EDF就是所求作的三角形．
②如图3，连接OD、OA、OH，
∵O为正方形的中心，
∴OA＝OD，∠DOA＝90°，
在△AHO和△DEO中，
{AO=OD∠1=∠2AH=DE ，
∴△AHO≌△DEO（SAS），
∴OE＝OH，∠4＝∠3，
∴∠EOH＝∠DOA＝90°，
∵OF是EH的垂直平分线，
∴EF＝FH，
在△EOF和△HOF中，
{OE=OHOF=OFEF=FH ，
∴△EFO≌△HOF（SSS），
∴∠EOF＝∠HOF，
∵∠EOH＝∠DOA＝90°．
∴∠EOF＝45°
解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴BD＝AD，
∴△BCD的周长＝BC＋CD＋BD＝BC＋AC＝1＋2＝3，
故答案为：3；
21.（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE
∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴AE=CE
（2）解：
∵ 四边形ABCD是正方形 ，
∴∠EBC=∠EDP=45°
∵ ∠PBC=30°，
∴∠EBP=15°
∵ PE⊥BD，点O为BP的中点，
∴OE=OB=OP
∴∠OEB=∠EBP=15°
∴∠POE=∠OEB+∠EBP=30°
（3）连接OC,

∵点O为BP的中点，∠BCP=90°
∴OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠POC=∠OBC+∠OCB=60°
∴∠EOC=∠POE+∠POC=90°，
∵OE=OB=OC=2
∴CE=OC2+OE2=2
22. （1）①；③
（2）证明：取EF中点Q，连接QN，QM，
∴ QN//FC,QN=12FC,MQ//BE,MQ=12BE,
由（1）知当BE⊥CF时BE=CF，
∴NQ=MQ，∠QNM=∠QMN，
∵∠QMN=∠OGH，∠QNM=∠OHG，
∴∠OGH =∠OHG，
∴OG＝OH；
（3）解：AM=2，
过M作MK⊥BC，
由（1）同理可证△MNK ? △AED，
∴AE⊥MN，∠AOM=90°，
∵AB=3，∠DAE=30°，
∴AD=3，
设DE=x，AE=2x，
则根据勾股定理可得： AE=23 ， DE=3 ，
∵O为AE中点，
∴ AO=12AE=3 ，
同理可得：AM=2.
（1）①；③
?证明：过点G作GH⊥AB于H，
由题意知GH=AD=AB，∠GHE=∠B=90°，有∠BAF+∠AFB=90°，
∵AF⊥GE，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEG=90°，
∴∠AFB=∠AEG，
∴△AFB ? △GEH（ASA），
∴AF=EG；
23.（1）解：
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠BCA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵△ABC沿AC翻折得到△ADC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
?（2）解：
由旋转可知，△ABC≌△EBF，
∴AB＝BE，BC＝BF，AC＝EF，∠ABE＝∠CBF＝α，
在△ABE和△CBF中， {AB=BC∠ABE=∠CBFBE=BF ，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF，
∵AB＝BC，
∴AB＝BE＝BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∵∠BEF＝∠ACB＝45°，∠AEB＝∠BCF，
∴180°﹣（∠AEB+∠BEF）＝180°﹣（∠BCF+∠ACB），
∴∠FEM＝∠ACM，
在△ACM和△FEM中， {∠FEM=∠ACM∠M=∠MAC=FE ，
∴△ACM≌△FEM（AAS），
∴AM＝FM，∠MAC＝∠MFE，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠MAC＝45°﹣∠DAM，∠MCA＝45°+∠MCD，
∴∠DAM＝∠MCD，
∴∠MAC+∠ACM＝45°﹣∠DAM+45°+∠MCD＝90°，
∴∠M＝90°，
∴AM⊥FM，
故答案为：AM⊥FM且AM＝FM．
深入探究：
（3）CM＝ 5
解：（3）取AC的中点G ， 连接EG ， BG ，
?
∵DE∥CM ，
∴∠DEM＝∠M＝90°，
∵AG＝GE＝ 52 ，AB＝BE ，
在△BAG和△BEG中， {BG=BGAB=BEAG=EG ，
∴△BAG≌△BEG（SSS），
∠BEG＝∠BAG＝90°，∠GBA+∠GBE＝ α2 ，
∵∠EBA＝α ，
∴∠EAB＝ 180°-α2 ，
∴∠ABG+∠BAE＝ α2 + 180°-α2 ＝90°，
∴BG⊥AE ，
∵AB＝5，AG＝ 52 ，
∴BG＝ 552 ，
∴ 12 AE? 552 ＝ 12 ×2×5× 52 ，
解得：AE＝2 5 ，
设CM＝ME＝x ，
在Rt△ACM中，x2+（x+2 5 ）2＝（5 2 ）2 ，
∵x＞0，
∴x＝ 5 ，
故CM＝ 5 ．