重庆66中2020-2021学年高二下学期6月月考数学试题 Word版含解析

重庆66中2020-2021学年高二下学期6月月考
数学试题卷
第I卷（选择题）
一、单选题
1．二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．-4 B．4 C．-6 D．6
2．把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
3．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知下表所示数据的回归直线方程，则实数的值为（ ）
2 3 4 5 6
3 7
18 21
A．11 B．12 C．13 D．14
8．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设离散型随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4 5

0.1 0.2
0.3
若离散型随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．
11．对于关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．给定函数．下列说法正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
B．函数的图象与x轴有两个交点
C．当时，方程有两个不同的的解
D．若方程只有一个解，则
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．某种产品的广告费支出与销售额 (单位：万元)之间的关系如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的残差为________.
14．若，则的值为________.
15．盒子里有五个大小一样，质地均匀的球，其中三个是红球，两个是黑球，现从中每次抽取一个球，每次抽取后均放回，直到抽出两次红球为止，但至多抽取四次，则恰好第四次停止的概率为__________.
16．若，不等式恒成立，则的取值范围是___________.
四、解答题
17．设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数极值．
18．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.
19．如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
20．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较．
附：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828

21．已知函数
（1）求单调增区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
22.已知动圆过定点，且与直线相切，
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点作曲线的两条弦，设所在直线的斜率分别为，当变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
重庆66中2020-2021学年高二下学期6月月考
数学参考答案
1．D
【分析】
先求得二项式的通项公式，再令x的次数为零求解.
【详解】
二项式的展开式的通项公式为：，
令，解得，
所以常数项为，
故选：D
2．D
【分析】
根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.
【详解】
根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.
故选：D
【点睛】
本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.
3．D
【分析】
先求出，再判断对应的点的位置.
【详解】
由已知得，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
复数的计算常见题型：
(1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则；
(2) 求共轭复数是实部不变，虚部相反.
4．D
【分析】
由得到p，根据正态分布的性质再由得到及可得答案.
【详解】
由，则，则，则，
故选：D.
【点睛】
本题考查二项分布的期望与正态分布的概率，属于基础题 。
5．D
【分析】
根据题意，先列举出事件发生对应的基本事件，再列举出事件同时发生对应的基本事件，基本事件的个数比，即为所求的概率.
【详解】
根据题意，事件包含的基本事件有：，，，，，，，；共个基本事件；
事件同时发生包含的基本事件有：，，，共个基本事件，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查求条件概率，属于基础题型.
6．B
【分析】
求导得，由题意得在上只有一个变号零点，参变分离得，利用函数的单调性得的取值范围.
【详解】
因为，所以，
函数在上有且仅有一个极值点，
在上只有一个变号零点.令，得.
设在单调递减，在上单调递增，，
又，得当，在上只有一个变号零点.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知区间上有极值点，求参数的范围问题．可以从两个方面去思考：
（1）根据区间上极值点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；
（2）也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解．
7．A
【分析】
根据表中数据算出，然后利用回归直线方程算出，然后可得答案.
【详解】
因为，所以
所以，解得
故选：A
8．A
【分析】
当时，对函数求导分析单调性并作出图象，有5个零点，令，即有两个不等实根，且一个根属于，一个根属于内，转化为相应的不等式即可求解．
【详解】
解：当时，，，
当时，，单调递减，当时，单调递增，
作出的图象如图：
令，则函数恰有5个零点，
即方程恰有5个根，
即有两个不等实根，且一个根属于，一个根属于内.
令，
则，解得.
∴实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
9．BC
【分析】
先由可得，再由概率和为1得，从而可求出的值，再利用期望和方差公式求， 即可，从而可得答案
【详解】
由得，又由得，从而得，，故A选项错误，B选项正确；
，故C选项正确；
因为，所以，故D选项错误，
故选：BC．
10．AD
【分析】
首先化简复数，再根据复数的运算公式和定义判断选项.
【详解】
由可得，，故A正确；，故B错误；在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误；，故D正确．
故选：AD
11．ABC
【分析】
根据排列计算公式，组合计算公式，逐一验证选项即可．
【详解】
根据组合数的性质与组合数的计算公式，，故A正确；
因为，
所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，故D不正确，
故选：ABC．
12．ACD
【分析】
求出导函数，利用导数研究函数的性质，结合零点存在定理，作出函数的图象与直线判断各选项．
【详解】
，
时，，递减，时，，递增，A正确；
，，时，，因此只在上有一个零点，它与只有一个交点，B错；
由上面讨论知时，递减，，时，递增，，作出图象和直线，如图，知当时，方程有两个不同的的解，C正确；
由图可知当时，方程只有一个解，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，函数零点，方程的个数问题，方程根的问题的关键是利用函数的性质，作出函数的图象，方程根的个数转化为函数图象与直线交点个数．结合图象易得结论．
13．
【分析】
先由回归直线方程，求出对应的预测值，再由残差的概念，即可得出结果.
【详解】
由题意，当时，，
因此其残差为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查残差的计算，属于基础题型.
14．-1
【分析】
对二项展开式用 “赋值法”： 可得
令可得：，
即可求出的值
【详解】
因为，
令可得；令可得：；
故．
故答案为：-1
【点睛】
方法点睛：求展开式系数和或有关展开式系数和一个非常有效的方法是赋值法.在用“赋值法”求值时，要找准代数式与已知条件的联系如何赋值，要是具体情况而定，没有一成不变的规律，灵活性较强一般的.一般地：多项式f（x）的各项系数和为f（1），奇次项系数和为f（1）-f（-1），偶次项系数和为f（1）+f（-1）；对于有些展开式要对关于x的因式赋值，要注意观察：另外在赋值法中正确使用构造法，结合函数相关性质，可以在求解二项式问题时能收到事半功倍的效果。
15．
【分析】
先求出两次停止和三次停止的概率，再利用对立事件求出恰好第四次停止的概率.
【详解】
盒子里有五个大小一样，质地均匀的球，其中三个是红球，两个是黑球，现从中每次抽取一个球，每次抽取后均放回，
每次抽出红球的概率为：，
直到抽出两次红球为止，但至多抽取四次，包括两次停止，三次停止和四次停止.
两次停止的概率为：’
三次停止的概率为：，
∴恰好四次停止的概率为：.
故答案为：.
【点睛】
概率的计算：
①古典概型、几何概型直接套公式计算；②互斥事件同时发生的概率用概率加法、相互独立事件同时发生的概率用概率的乘法.③正面计算情况比较多的可以求其对立事件的概率.
16．
【分析】
设，可将不等式变形为，令，利用导数可求得单调递增，由此得到，分离变量可得，利用导数可求得的最大值，由此.
【详解】
由得：，
设，则，；
令，则，
令，则，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
在上单调递增，，即，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，即的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数求解不等式恒成立问题，解题关键是能够将恒成立的不等式构造成同一函数不同函数值之间大小关系的问题，由函数单调性可得自变量之间大小关系，进而利用分离变量法求得参数范围.
17．（Ⅰ）
（Ⅱ）极小值
【分析】
（Ⅰ）因 ，故 由于曲线 在点 处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即 ，从而 ，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令，解得（因 不在定义域内，舍去）当 时， 故 在上为减函数；当 时， 故 在上为增函数，故在 处取得极小值
本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力
【详解】
18．（Ⅰ）
（Ⅱ）的分布列为
0
1
2
3




的数学期望
【详解】
试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．
试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.
由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.
（II）由题设知（I）知，，，，
可能取值为
故，
，
的分布列为

考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.
19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.
20．（1）0.62（2）有99%的把握 （3）新养殖法优于旧养殖法
【详解】
试题分析：
(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.62.据此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)由题意完成列联表，计算K2的观测值k＝≈15.705＞6.635，则有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．
试题解析：
(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量<50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法 62 38
新养殖法 34 66
K2的观测值k＝≈15.705.
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3) 由频率分布直方图可得：
旧养殖法100个网箱产量的平均数1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5
＝5×9.42＝47.1；
新养殖法100个网箱产量的平均数2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；
比较可得：12，
故新养殖法更加优于旧养殖法．
点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
21．（1）单调增区间为；（2）.
【分析】
（1）求导由求解.
（2）将时，恒成立，转化为时，恒成立，令用导数法由求解即可.
【详解】
（1）因为函数
所以
令，
解得，
所以单调增区间为.
（2）因为时，恒成立，
所以时，恒成立，
令
则
令
因为 时，恒成立，
所以在单调递减.
当时，在单调递减，故 符合要求；
当时，单调递减，
故存在使得
则当时单调递增，不符合要求；
当时，单调递减，
故存在 使得
则当 时 单调递增，不符合要求.
综上.
【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；；
22. 【详解】
（1）∵动圆过定点，且与直线相切，
∴曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：.