四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考文科数学试题 Word版含答案

蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2019级期末联考
文科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3. 考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合false，false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
2. 复数false的虚部为（ ）
A. false B. false C. false D. false
3. 命题false：“直线false，false平行”是“直线false，false共面”的充分条件；命题false：由归纳推理得到的结论一定正确，则下列命题为假命题的是（ ）
A. false B. false
C. false D. false
4. 已知函数false，则下列选项正确的是（ ）
A. false是奇函数 B. false是偶函数
C. false是周期函数 D. false没有最大值
5. 已知向量false，false，false，则false（ ）
A. 2 B. -3 C. -2 D. 3
6. 双曲线false：false的两焦点为false，false，虚轴的一个端点为false，线段false的一个三等分点为false，若直线false与false的一条渐近线平行，则双曲线false的离心率为（ ）
A. 6 B. false C. 3 D. false
7. 要从96个接种了新冠疫苗的人中抽取16人检查体内的抗体情况，将这96人随机编为1到96号，再用系统抽样法抽出16个号.把抽出的号从小到大排列，已知第1，3，13个号成等比数列，则抽出的最大号为（ ）
A. 92 B. 93 C. 95 D. 96
8. 已知圆false与直线false（false，false为非零实数）相切，则false的最小值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 16
9. 直线false：false与false轴交于点false，把false绕点false顺时针旋转false得直线false，false的倾斜角为false，则false（ ）
A. false B. false
C. false D. false
10. 下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A. false B. false C. false D. false
11. 某老师随机抽样调查了5名学生周末上网的时间，再与这5名学生在全年级的成绩排名对应，得到下表中的数据，并根据这些数据求得学生成绩排名关于周末上网时间的线性回归方程为false.若运行如图所示的程序框图，输出的值为185，则false的值为（ ）
false
1
2
3
4
5
第false个学生周末上网时间false（分钟）
false
130
170
220
310
第false个学生的成绩排名false
58
116
143
195
288

A. -9 B. -10 C. -11 D. -12
12. 已知false，false，false，则下列不等式成立的是（ ）
A. false B. false
C. false D. false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数false，则曲线false在点false处切线的斜率为___________.
14. 在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，若false，false，false，则false__________.
15. 已知实数false，false满足false，则false的最大值为___________.
16. 过抛物线false：false的焦点false的动直线交false于false，false两点，线段false的中点为false，点false.当false的值最小时，点false的横坐标为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数false，其中false.
（1）若函数false恰好有三个单调区间，求实数false的取值范围；
（2）已知函数false的图象经过点false，且false，求false的最大值和最小值.
18. 为了纪念建党100周年，某班举行党史知识答题竞赛，其中false，false两组各6名同学的答题成绩的统计数据茎叶图如下，茎叶图中有一个数字记录模糊，无法辨认，用“”表示.

（1）若false组同学的平均成绩大于false组同学的平均成绩，分别求false，false两组同学成绩的中位数；
（2）若false，false两组同学的平均成绩相同，分别求出false，false两组同学成绩的方差false和false，并由此分析两组同学的成绩；
（3）若从false组6名同学中，随机选取3名同学参加学校红歌合唱，求选取的3名同学中既有成绩在false分，又有成绩在false分的概率.
19. 如图1所示，在菱形false中，false，对角线false与false相交于点false，现沿着对角线false折成一个四面体false，如图2所示，使得false，点false是线段false的三等分点（靠近点false）.

（1）在图2中，证明：false；
（2）求三棱锥false的体积.
20. 已知椭圆false：false的左、右焦点分别为false，false，短轴的一个顶点为false，且false，离心率为false.
（1）求椭圆false的方程；
（2）若过点false任作一条斜率不为0的直线false与椭圆交于false，false两点，与直线false交于点false，过点false且垂直于false轴的直线与椭圆交于点false，记直线false，false，false的斜率分别为false，false，false，试探究false与false的大小关系，并证明你的结论.
21. 已知函数false，false为自然对数的底数，false.
（1）讨论false的单调性；
（2）若false，false，证明：false.
22. （选修4—4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系false中，曲线false：false（false为参数）.以坐标原点false为极点，false轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false.
（1）求曲线false的极坐标方程和曲线false的直角坐标方程；
（2）设射线false的极坐标方程为false，射线false与曲线false交于点false，与曲线false交于点false（原点除外），false，求false.

蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2019级期末联考
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5：BAADB 6-10：CBDCA 11-12：CB
9. 解：设false的倾斜角为false，则false，∴false，
由题意知false，
∴false
false.
11. 解：运行过程为：false，false，false；
false，false，false；
false，false，false；
false，false，false；
false，false，false；
所以，最后输出的结果为false，则false，false，false，
false.
12. 解：∵false，∴false，
∵false，∴false，
∵false，
∴false.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. -1 14. false 15. 4 16. 9
16. 解：设抛物线false的准线为false，作false，false，false，垂足分别为false，false，false.
则false，
∴false，
∴false，
点false到直线false的距离为13，∴false，
当false，false，false三点共线且false在false，false之间时，false，
此时，点false的纵坐标为false.
∵false过点false，
故设false方程为false，
代入false，得false，
false，false，则false.
当false，false，false三点共线时，false，
∴false，false，
直线false的方程为false，false.
点false在false，false之间，false成立，
所以，当false的值最小时，点false的横坐标为9.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：（1）由false，
得false.
∵false存在三个单调区间，
∴false有两个不相等的实数根，即false.
∴false，即false，
故false.
（2）∵false图象经过点false，
∴false，得false，
∴false，
false，false.
false的单调性和极值情况列表如下：
false
-2
false
-1
false
false
false
2
false

+
0
-1
0
+

false
0
增函数
极大值3
减函数
极小值false
增函数
12
故false的最大值为12，最小值为0.
18. 解：（1）false组的平均分false，
设模糊数字对应的分数为false，因为false组的平均成绩大于false组的平均成绩，
即false，false，
所以false组的中位数为false，false组的中位数为false.
（2）由false组的平均分与false组的平均分相等，则模糊数字为6，对应分数为96，∴false.
false，false.
由于false，false，所以false组和false组的成绩整体水平相当，但false组的成绩更稳定一些.
（3）false组成绩在false分同学分别记为false，false，成绩在false分同学分别记为false，false，false，false.
随机选取3名同学参加学校红歌合唱包含基本事件：
false，false，false，false，false，false，false，
false，false，false，false，false，false，
false，false，false，false，false，false，false，
有20种，其中既有成绩在false分，又有成绩在false分的共16种.
故概率false.
19.（1）证明：∵false是菱形，点false是false中点，
∴false，false，
又false，
∴false平面false，
∴false平面false，
∴false.
（2）∵false和false是等边三角形，边长为false，点false是中点，
∴false，false，
∴false，则false.
又false，false，
∴false平面false.
因为false，点false是线段false的三等分点，
所以false.

20. 解：（1）设false，false，false，false，false，
∵false，即false，false，
又false，∴false，
故椭圆false的方程为false.
（2）false.
证明：不妨取点false，设false，false，直线false的方程为false.
直线与椭圆联立：false，得false，
false恒成立，false，false，
直线false：false，令false，则false，即false，
故false，false，false，
false，
将false代入得false。
故false，即false得证.
21. 解：（1）false的定义域为false，false，
当false时，false恒成立，false在false上单调递增；
当false时，令false，false，false单调递增，
令false，false，false单调递减，
综上：当false时，false的增区间为false；
当false时，false的增区间为false，减区间为false.
（2）要证false，即证false，
∵false，∴只需证：false，
设false，则false，
设false，false在false内为增函数，
false，false，
∴false，false，
则在false内false，false为减函数；在false内false，false为增函数，
∴false，则false，
由false，
因为函数false在false内为增函数，
∴false，false，且false，
则false，
即false，
∴false成立.
22. 解：（1）由false（false为参数）得：
曲线false的普通方程为false.
化简得：false.因为false，false.
所以曲线false的极坐标方程为：false.
曲线false的直角坐标方程为false.
（2）将射线false的极坐标方程false代入曲线false：
所以false，
将射线false的极坐标方程false代入曲线false：
所以false，
所以false，
false.
∵false，∴false.