(共33张PPT)
第三章
函数
3.1
函数的概念与性质
3.1.1
函数及其表示方法
第1课时
函数的概念
7
1
，13
，2
A
B
f
x
y
魔盒中有什么秘密？1,2按照什么法则对应上了7,13？
魔盒
正比例函数:y=kx
(k≠0);
反比例函数:
y=k/x
(k≠0);
一次函数:
y=kx+b
(k≠0);
二次函数:y=ax2+bx+c
(a≠0)
1.初中所学的函数的概念是什么？
在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.
那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.
2.初中学过哪些函数？
【温故知新】
高中是怎么定义函数概念的？请进入本节课的学习！
1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.（重点、难点）
2.能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域和值域.
3.会求一些简单函数的定义域和值域.（重点）
1.数学抽象：通过函数的判断，培养数学抽象的核心素养
2.数学运算：通过函数定义域的求法，培养数学运算的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
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走
课
堂
观察下列三个实例有什么不同点和共同点？
1.炮弹的射高与时间的变化关系问题
一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律为:h=130t-5t2.
微课1
函数的概念
这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.
2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题
近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.如下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
由图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集
A={t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变
化范围是数集B
={S|0≤S<26}.并且，对于数集
A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B
中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.
3.“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.如下表所示
“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况.
(恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额)
时间(年)
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
城镇居民恩格尔系数（﹪）
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
提示：
不同点
实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例2是用图象刻画变量之间的对应关系，
实例3是用表格刻画变量之间的对应关系.
共同点
（1）都有两个非空数集.
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.
函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关
系f，使对于集合A中的任意一个实数x
，在集合B中都
有唯一确定的实数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为
从集合A到集合B的一个函数，记作
y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的
定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数
值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
文字语言
符号语言
1.如何理解“
”？
提示：当a为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对
应的函数值，是一个常数;而f(x)表示y是变量x的
函数,是函数符号.
提示：符号y=f(x)表示“
y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积。
【特别提醒】
对于函数y=f
(x)，以下说法正确的有(
)
①y是x的函数
②对于不同的x,y的值也不同
③
f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量
④
f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
【即时训练】
(2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应.
(3)构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系(f：A→B).
(1)
A，B是非空数集.
函数概念中的关键词
【规律总结】
已知f(x)=3x－2,
x∈{0,1,2,3,5}，
求f(0),
f(3)和函数的值域.
解：
值域为
【变式练习】
初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么？
函数
对应关系
定义域
值域
正比例函数
反比例函数
一次函数
二次函数
R
R
R
R
R
【总结提升】
y=x与
是同一函数吗？
提示：不是，定义域不同
微课2
相等函数
思考1：
思考2:两个函数相等与表示自变量和函数值的字母有关吗？
提示：因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量是无关紧要的，如f(x)=3x+4与f(t)=3t+4表示相等函数.
思考3：如何判断两个函数是否为同一函数?
提示：构成函数的三个要素是对应关系f、定义域A、值域{f(x)|x∈A}，只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)．
给出四个命题：
①定义域相同，值域相同的两个函数相等。
②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一
个元素
③因为f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而
变化，所以f(0)=5也成立
④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了
正确的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
【即时训练】
例2
下列函数中哪个与函数y=x相等(
)
A.
B.
C.
D.
B
如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等（或为同一函数）
关注函数的三要素
下列两个函数是否表示同一个函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
是
不是，定义域不同
不是，定义域不同
不是，对应关系不同
【变式练习】
【规律总结】
判断两个函数是否相等应注意的几点：
(1)相等函数的图像完全相同，因此，有时可以借助于函数的图像来判断两个函数是否相等.
(2)值域是由定义域和对应关系决定的，因此，值域不相同时，两个函数必不相等.
(3)检验两个函数的定义域和对应关系是否相同，要看它们的实质，即定义域是由哪些数所组成的，定义域中的数是如何对应到值域中的.
(4)要注意的是：即使定义域和值域分别相同的两个函数也不一定相等.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
区
间
符号表示
数轴表示
概念
三要素
函数
定义域
对应关系
值域
两数集间的对应
定义域的求法：
（1）分母不为零
（2）偶次根式被开方式非负
（3）自变量的实际意义
1.在区间表示中，右端点的值一定大于左端点的值
3.求函数定义域前，尽量不要对函数解析式化简变形，以免引起定义域的变化
2.以∞为端点时，区间这一端一定是小括号
1.数学抽象：通过函数的判断，培养数学抽象的核心素养
2.数学运算：通过函数定义域的求法，培养数学运算的核心素养
1.下列可作为函数y=
f
(x)的图象的是（
）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
关注是否一个自变量的值仅对应唯一一个函数值
Ｄ
【解题关键】
2.下列各组函数表示相等函数的是(
)
A.f(x)=x-2,g(x)=
B.f(x)=
,g(x)=1
C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1
D.f(x)=
,g(x)=
C
【解析】A中f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为
{x|x≠-2}，不同;B中f（x）的定义域为{x|x≠0}.
g（x）的定义域为R.C中f（x），
g（t）中的变量只
是字母不同，形式相同为相等函数.D中f（x）的定义
域为R.
g（x）的定义域为{x|x≠1}.故A,B,D不是相
等函数.
[-3，1]
4.已知函数f(x)=3x+6,试求f(2),f(a),f(m+n),f(f(x)).
青春是有限的，智慧是无穷的，趁短暂的青春，学习无穷的智慧。(共26张PPT)
第2课时
函数概念的综合应用
上节课我们学习了函数，都学习了哪些知识？你都理解了吗？
学习不可浅尝辄止哦！
定义域
值域
函数
函数的概念
函数的记法
区间的概念与表示
1.掌握简单函数的定义域的求法.(重点）
2.会求简单函数的值域.（难点）
3.掌握换元法求函数的对应关系.（难点）
数学运算：通过函数值域的求法，培养数学运算的核心素养
数学抽象：通过同一个函数的判断，培养数学抽象的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
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吧！
进
走
课
堂
求函数的定义域时常有的几种情况:
①若f(x)是整式，则函数的定义域是:
②若f(x)是分式，则函数的定义域是:
使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是:
使根号内的式子大于等于0的实数集.
实数集R；
微课1
函数的定义域的求法
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，
则函数的定义域是使各部分式子都有意义的
实数集合.
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函
数的定义域应符合实际问题．
求下列函数的定义域：
解:(1)当且仅当x-2≠0,即
x≠2时，函数有意义，所以函数的定义域为｛x|
x≠2
｝.
(2)要使函数有意义，当且仅当3-x≥0，且x-1≥0，解得1≤x≤3，所以函数的定义域为
｛x|
1≤x≤3
｝.
(1)
(2)
【即时训练】
解：要使函数有意义，则
即
，
所以函数的定义域为
.
（一）简单函数的定义域
例1
求下列函数的定义域：
(1)
(2)
解：要使函数有意义，则
，即
，
所以函数的定义域为
.
定义域的表示方法：集合、区间.
【特别提醒】
不能只用不等式
（二）复杂函数的定义域
例2
求函数
的定义域.
解：要使函数有意义，
则
，即
.
所以函数的定义域为
使各个式子都有意义的实数集合.
定义域是一个集合，要用集合或区间表示．
【解题关键】
【变式练习】
范围
【易错点拨】
（三）复合函数的定义域
例3
解:
由题意知:
对于抽象函数的定义域，在同一对应关系f下，括号内整体的取值范围相同.
【特别提醒】
解：由题意知:
【互动探究】
微课2
函数的值域
例4
求下列函数的值域.
求函数的值域，应先确定定义域，遵循定义域优先原则，再根据具体情况求y的取值范围.
配方法
观察法
【解题关键】
求出下列函数的值域。
解：
∴函数的值域为
分离常数法
换元法
【变式练习】
解：
微课3
函数对应关系
例5
已知f(x+1)=2x+3，你能求出f(-1)吗？
换元法求解析式
换元的等价性，即要求出t的取值范围
∴f(x)=2x+1
【解题关键】
此题还有更好的解法吗？
方法二
解：令x+1=-1得x=-2,所以f(-1)=2×(-2)+3=-1
由函数的对应关系相应代换，求出x的值，再将x的值代回原来的解析式得解.
注意对
应代换
【互动探究】
【特别提醒】
设函数
，若f(a)=2，求实数a的值.
解：由f(a)=2得
=2，解之得a=1.
【变式练习】
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
抽象函数
同一个函数
常见函数的
定义域与值域
定义域相同
对应关系相同
同一个函数的判断方法：
一看定义域是否相同；
二看对应关系是否相同
函数值域的求法：
(1)观察法：适于简单函数的值域；
(2)配方法:：适于“二次函数”类值域；
(3)换元法:运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数；
(4)分离常数法：将有理分式，转化为“反比例函数类”的形式。
（1）判断同一个函数时函数式化简须是等价变形自变量与用哪个字母表示无关，
（2）抽象函数f(g(x))的定义域由f(x)与g(x)共同决定
函数概念的
综合应用
数学运算：通过函数值域的求法，培养数学运算的核心素养
数学抽象：通过同一个函数的判断，培养数学抽象的核心素养
C
B
[0,1)
(
)
答案：[0,1）
人生就是攀登！让我们背负着命运给予的重载，艰苦跋涉，攀登上一个又一个品德、情操、知识的高峰吧！(共30张PPT)
第3课时
函数的表示方法
1.回顾初中函数的表示方法有哪些？
2
提示：解析法、列表法、图象法。
（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。
以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？
如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的优点.(重点）
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.会求函数解析式，并正确画出函数的图象.(难点）
数学抽象：通过具体实例学习过程渗进归纳推理，培养数学抽象的核心素养
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堂
微课1
函数的三种表示法
在初中我们学习了函数的哪几种表示法？每种表示法的意思是什么？
提示：函数有三种表示法，即解析法、图象法、列表法.
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
下面我们对这三种方法进行详细的分析.
如果将这个函数记为i=f（y），则从表格中可以看出
f（2013）=152.6，f（2
015）=171.5
另外，如果将这个函数的定义域记为D，值域记为S，则有
D={2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，
S={116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5}
前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了
函数的对应关系.
一般地，将函数y=f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，
分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点
（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即
F={（x，y）|y=f（x），x∈A）.
这就是说，如果F是函数y=f（x）的图像，则图像上任意一点的
坐标（x，y）都满足函数关系y=f（x）；反之，满足函数关系
y=f（x）的点（x，y）都在函数的图像F上.
用函数的图像表示函数的方法称为图像法.
从理论上来说，要作出一个函数的图像，只需描出所有点
即可.但是，很多函数的图像都由无穷多个点组成，描出所有点
并不现实.因此，实际作图时，经常先描出函数图像上一些有
代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为
描点作图法.
例如，我们知道，一次函数y=-x+1的图像是一条直线，又易知
图像过点（0，1）和（1，0），所以容易作出其图像如下图所示.
1.解析法
优点:
①函数关系清楚、精确；②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质.解析法是中学研究函数的主要表达方法.
2.列表法
观察下面的表格，思考下列问题.(a，b，c∈R)
（1）上述表格表示y是x的函数吗？
提示：是.根据函数的定义知，对x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应，因此y是x的函数.
x
a
b
c
y
0
0
0
（2）所有的函数都能用列表法来表示吗？
提示：并不是所有函数都能用列表法来表示，如函数y=2x+1,x∈R.因为自变量x∈R不能一一列出，所以不能用列表法来表示.
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目表,银行里的“利率表”等.
优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
你能说出函数的三种表示法的优缺点吗？
优
点
缺
点
列表法
图象法
①函数关系清楚;
②容易从自变量的值求出其
对应的函数值；
③便于研究函数的性质.
不够形象直观，而且并不是所有的函数关系式都可以用数学式子表示.
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．
只适用于自变量数目较少的函数.
能形象直观的表示出函数的变化情况．
不精确
解
析
法
【总结提升】
设集合M={x|0≤x≤2}，集合N={y|0≤y≤2}，给
出下列四个图象，其中能表示集合M到N的函数关系
的是_________.
②
【即时训练】
例1已知函数y=
，指出这个函数的定义域、值域，并作
出这个函数的图像.
解
函数的定义域为[0，+∞）.由y=
在y≥0时有解可知，
函数的值域为[0，+∞）.
通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如下图所示.
由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析
式也具有多种形式.在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程
组的知识，使用待定系数法完成，如例7所示.
例2
已知二次函数的图像过点（-1，4），（0，1），（1，2），
求这个二次函数的解析式.
解
设函数解析式为y=
ax2+bx+c（a≠0），则
a-b+c=4，c=1，a+b+c=2.
由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为
y=2x2-x+1.
4x－5或－4x＋
【即时训练】
例3
已知f（x）=x2，求f（x-1）.
【尝试与发现】
求出f（0），f（1），f（2）的值，再求出f（a），f（a-1）.
解
由已知可得
f（x-1）=(x-1)2=x2-2x+1.
已知
，求
解：由
解得
消元法
【互动探究】
例3中，如果设g（x）=f（x-1），则有g（x）=x2-2x+1，
因此g（x）与f（x）是不同的函数.
已知f（x-1）=x2，你能求出f（x）的解析式吗？试总结
f（x）与f（x-1）的关系.
函数的表示法
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求解析式的方法：
（1）待定系数法：函数类型已知时设出函数的一般式，然后利用条件求待定系数
（2）换元法：将含变量的代数式用新变量表示，进而求得解析式
（3）方程组法:根据已知条件构造方程组，进而求出函数解析式
(1)用换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围
(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题
数学抽象：通过具体实例学习过程渗进归纳推理，培养数学抽象的核心素养
解析法
列表法
图象法
1
-2
-2
3.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
行进的站数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价y
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
此函数关系除了用列表法表示之外，能否用其他方法表示？
解：
4.已知f（x+1）=2x2+1，则f（x-1）=________．
2x2-8x+9
【解析】设x+1=t，则x=t-1，
f（t）=2（t-1）2+1=2t2-4t+3，
f（x-1）=2（x-1）2-4（x-1）+3
=2x2-4x+2-4x+4+3=2x2-8x+9．
5．已知函数，分别由下表给出
则g(1)=
，f
[g(1)]=
．
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
3
1
时间应分配得精密，使每年、每月、每日和每小时都有它的特殊任务.(共31张PPT)
第4课时
分段函数
只要你能把数报对，我就知道是什么号码牌
魔术师在表演
表演者手中持有六张扑克牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，然后，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者，表演者便能准确地猜出牌号，你能说出其中的道理吗？
1.通过实例体会分段函数的概念.
2.会用分段函数解决简单的实际问题.(重点）
数学运算：通过分段函数的求值，培养数学运算的核心素养
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堂
微课
分段函数
观察下列函数
分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量的
不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常
称为分段函数.
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
（3）求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
【特别提醒】
以下叙述正确的有（
）
(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应法则，但它是一个函数.
（3）若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则D1∩D2≠?也能成立.
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
C
【即时训练】
例
北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：其中年用水
量不超过180m3的部分，水价为5元/m3；超过180m3但不超过260m3的
部分，水价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为xm3，其要缴纳
的水费为f（x）元。假设0≤x≤260，试写出f（x）的解析式，
并作出f（x）的图像.
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，
有不同的对应方式，则称其为分段函数.
【尝试与发现】
函数D（x）=1，x∈Q
=0，x?Q
被称为秋利克雷函数，你能说出这个函数
的定义域、值域吗？你能作出这个函数的图像吗？
可以看出，狄利克雷函数的定义域为R，值域为{0，1}，但它
的图像不能形象地展示出来。
例5
设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应
关系是否是函数。如果是，作出这个函数的图像；如果不是，
说明理由。
依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数。
解
因为当n∈Z且x∈[n，n+1）时，有
y=n，
因为任何一个实数x，都必定在某个形如[n，n+1）的区间内.因此
给定一个x，有唯一的y与之对应，所以这种对应关系是函数。
由上可看出，
在每一个区间[n，n+1）内，函数的图像是直线
的一部分，由此可作出这个函数的图像如下图所示。
1.求分段函数的函数值
例1
已知函数f(x)=
x+2,
x≤－1，
x2,
－1＜x＜2，
2x,
x≥2.
(2)若f(x)=3,求x的值.
(1)求
的值;
解：（1）
（2）
已知
求
的值.
解：
函数值作为自变量
【变式练习】
在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同.
例2
画出函数
的图象.
-2
-3
0
1
2
3
x
y
1
2
3
4
5
-1
2.画分段函数的图象
【解题关键】
已知函数y=|x+1|+|1-x|．
（1）用分段函数形式写出函数
的解析式；
（2）画出该函数的大致图象．
【解析】
（1）函数y=|x+1|+|1-x|=
（2）据（1）中函数的
解析式画出图象如图所示：
【变式练习】
例
某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，
写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
3.求分段函数的解析式
y=
2,
0≤
5
3,
5
<
x
≤
10
4,
10
<
x
≤
15
5,
15
<
x≤20
解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x
的取值范围是（0，20]
由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下
函数解析式：
根据这个函数解析式，
可画出函数图象，
如右图:
y
○
2
O
5
10
15
20
1
3
4
5
x
○
○
○
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费y元，已知甲、乙两户的用水量分别为5x、3x(吨).
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
【解析】(1)依题意得y=
14.4x,0≤x≤
,
20.4x-4.8,
＜x≤
,
24x-9.6,x＞
.
【变式练习】
(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈[0,
]时，y≤f(
)＜26.4；
当x∈(
,
]时，y≤f(
)＜26.4；
当x∈(
,+∞)时，令24x-9.6=26.4，得x=1.5.
所以甲用户的用水量为5x=7.5(吨)，
缴水费4×1.8+3.5×3=17.7
(元)，
乙用户用水量为3x=4.5(吨)，
缴水费4×1.8+0.5×3=8.7(元).
已知函数值求字母的值的四个步骤
分段函数
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求值、作图、应用
(1)讨论：对字母的取值范围分类讨论.
(2)代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中.
(3)求解：通过解方程求出字母的值.
(4)检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内..
分段函数是一个函数，而不是几个函数
作分段函数图象时要注意衔接点的虚实
数学运算：通过分段函数的求值，培养数学运算的核心素养
A
3.某质点在30s内运动速度vcm/s是时间t的函数,它的图象如右图，用解析式表示出这个函数.
【解析】v(t)=
t+10,
(0
≤
t<5)
3t,(5
≤
t＜10)
30,(10
≤t
＜20)
-3t+90,(20
≤
t≤30)
30
t/s
10
20
10
30
v/cm·s-1
O
15
20
25
5
4.作出下列函数图象，并求值域：
(1)题
(2)题
立身以立学为先，立学以读书为本.(共42张PPT)
3.1.2
函数的单调性
第1课时
函数的单调性
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到
了有趣的数据.
数据表明，记忆量y是时间
间隔t的函数.
艾宾浩斯根据
这些数据描绘出了著名的
“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,
如图：
1
2
3
t
y
o
20
40
60
80
记忆的数量(百分数)
天数
100
思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？通过这个试验，
你打算以后如何对待刚学过
的知识?
思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘
曲线”从左至右是逐渐下降
的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
1
2
3
t
y
o
20
40
60
80
100
记忆的数量(百分数)
天数
1.理解增函数、减函数的概念；（重点）
2.掌握用定义判断函数单调性的方法；（难点）
3.求函数的单调区间.
数学抽象：通过具体函数图象抽象出定义，培养数学抽象的核心素养
逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？
x
y
o
x
y
o
x
y
o
局部上升或下降
下降
上升
微课
函数单调性的定义
O
x
y
以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：
f(x)=x2
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
x
y
O
（-∞，0]上
随x的增大而减小;
[0，+∞）上
随x的增大而增大.
对区间D内
任意x1，x2
，
当x1图象在区间D逐渐上升
？
O
x
D
y
区间D内随着x的增大,
y也增大
x1
x2
f(x1)
f(x2)
M
N
对区间D内
x1，x2
，
当x1x
x1
x2
？
D
y
f(x1)
f(x2)
O
M
N
任意
区间D内随着x的增大，y也增大
图象在区间D逐渐上升
对区间D内
x1，x2
，
当x1有f(x1)x
x1
x2
都
y
f(x1)
f(x2)
O
M
N
任意
区间D内随着x的增大，y也增大
图象在区间D逐渐上升
D
根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义.
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的
单调
减
区间
.
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，D称为f(x)的
单调
增区间
.
当x1)
f(x2
)，
<
当x1f
(x1
)
f(x2
)，
>
单调区间
设函数y=f(x)的定义域为I：
增函数的定义.
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3）x1,
x2
取值的任意性.
（1）如果函数
y
=f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那
么就说函数
y
=f(x)在区间I上具有单调性.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
【特别提醒】
2.定义在R上的函数
f
(x)满足
f
(2)>
f(1)，则函数
f
(x)在R上是增函数；
(×)
1.函数
f
(x)=
x2
在
是单调增函数；
x
y
o
(×)
【易错点拨】
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
提示:在
不是单调的
提示:不具有代表性
x
o
y=(x-1)2-1
1
2
-1
y
x
y
=x3
o
增区间为
增区间为
增区间为
减区间为
x
o
y=2x+1
y
y
写出下列函数的单调区间：
【即时训练】
1．证明函数f(x)=-2x在（-∞，+∞）上是减函数．
证明：设x1，x2是任意两个不相等的实数，且x1＜x2
整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，
中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤
然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳
下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—
20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并
说出所画函数的单调区间.
解：单调增区间是
[8,12）,[13,18）;
单调减区间是
[12,13）,[18,20].
【变式练习】
①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),
并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;
③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;
④判断：根据定义得出结论.
利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:
【提升总结】
此为证明的关键点、易错点
例.画出反比例函数f(x)=
的图象.
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？
证明你的结论.
函数图象如图
根据函数单调性的定义，结合函数的图象可知上述说法是错误的.
【思考交流】
在此题的基础上请同学们继续探究．若f(x)、g(x)均为减函数，判断y＝f(x)＋g(x)的增减性；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，判断y＝f(x)－g(x)，y＝g(x)－f(x)的增减性并证明。
并概括：增函数＋增函数为增函数，减函数＋减函数为减函数，增函数－减函数为增函数，减函数－增函数为减函数．
函数的单调性
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
当c>0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相同;
当c<0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相反，
函数f(x)和g(x)单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性与其相同
函数f(x)与f(x)+c的单调性相同;
单调递增
单调区间
单调递减
图象
单调性的判断
（1）单调区间必须是函数定义域的子集
（2）若函数f（x)在其定义城内的两个区间A.B上都是增函数(或减函数)。一般不能简单认为f（x)在A∪B上是增函数
（3）函数单调区间的书写若在区间端点处有定义，则写成开区间或闭区间都可
数学抽象：通过具体函数图象抽象出定义，培养数学抽象的核心素养
逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养
B
D
C
D
5.函数
f(x)=x2-2ax+3在(-∞，4]上是减函数，则
a的取值范围为________．
[4，+∞)
【解题关键】可利用函数图象求解.
6.已知f(x)是R上的增函数，若f(a)>f(1-2a),则a的
取值范围是
．
【解题关键】利用增函数的定义可知，a>1-2a,即
7.
若二次函数
在区间
上
单调递增，求a的取值范围.
二次函数
的对称轴为
,
由图象可知只要
，即
即可.
o
x
y
1
x
y
1
o
解析：
8.证明函数
在区间
上是增函数.
证明：任取
，且
，
则
因为
得
所以函数
在区间[-2,+∞)上是增函数．
如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵.(共38张PPT)
第2课时
函数的最大值、最小值
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——
函数的最大值与最小值.
1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点）
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）
逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
下图为某天的气温f(t)随时间t变化图,请指出单调区间.
最高气温：______最低气温：______
递增区间
递减区间
1.观察下列两个函数的图象：
y
x
o
x0
图2
M
B
微课1
函数的最大值
【提示】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2
设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
【提示】
f(x)≤M
思考1
这两个函数图象有何共同特征？
最高点的纵坐标即
是函数的最大值！
当一个函数f(x)的图象有最高点时，就说函数f(x)有最大值.
函数
在_______上为增函数，_______上
为减函数;图象有_____点，坐标为_____.
2.观察下面函数的图象，并回答问题
对任意
所以
y=4
是所有函数值中最大的，
故函数
f(x)有最大值4.
最高
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
可以这样理解：函数的最大值是所有函数值中最大的
一个，并且是能够取到的.
函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)
函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.
【即时训练】
【互动探究】
【解题关键】
根据函数在区间上的单调性求解。
图1
y
o
x0
x
m
x
y
o
x0
图2
m
1.观察下列两个函数的图象：
微课2
函数的最小值
思考:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？
提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.
2.函数
在_______上为增函数，_______上
为减函数；图象有_____点坐标为______.
观察下面函数的图象，并回答问题
对任意
所以y=-4是所有函数值中最小的,
故函数有最小值-4.
最低
当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数f(x)有最小值.
仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？
提示：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)
,那么称f(x0)为函数y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0).
思考交流
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足：
（1）对任意的
，都有f(x)≥N
；
（2）存在
，使得f(x0)=N.
那么，我们称N是函数y=f(x)的最小值.
可以这样理解：函数的最小值是所有函数值中最小的
一个，并且是能够取到的.
函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).
最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.
下列函数是否存在最大值、最小值？函数在何处取得最大值和最小值,并求出其值.
没有
当x=1时取得最小值2；
当x=3时取得最大值6.
当x=1时取得最小值2；没有最大值
【即时训练】
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在
使得
.并不是所有满足
的函数都有
最大值M.如函数
,虽然对定义域上
的任意自变量都有
，但1不是函数的最大值.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值.
【提升总结】
某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：
万元）分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中x为销售量（单
位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大
利润为(
)
A.90万元
B.60万元
C.120万元
D.120.25万元
提示:设公司在甲地销售品牌车x辆,则在乙地销售品牌车(15-x)辆,根据利润函数表示出利润,利用配方法求出函数的最值.
C
【变式练习】
【解析】设公司在甲地销售品牌车x辆，则在乙地销
售品牌车（15-x）辆，根据题意得，利润y=-x2+21x+
2（15-x）=
∵x是正整数，∴x=9或10时，能获得最大利润，
最大利润为120万元
由于2x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
所以，函数
是区间[2,6]上的减函数.
解：任取x1,
x2∈
[2,6]
，且x1＜x2
例.已知函数
，求函数的最大
值和最小值.
因此,函数
在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4
.
利用函数的单调性来求函数的
最大值与最小值是一种十分常用的方法，要注意掌握.
【总结提升】函数在定义域上是减函数必须进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，先证明函数在[2，6]上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值.
【变式练习】
C
(2017·浙江高考·T5)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2.
利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数的单调性判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数
y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
【总结提升】
判断函数的最大(小)值的方法：
已知函数f（x）=-x2+6x+9在区间[a，b]，（a＜b＜3）上有最大值9，最小值-7，求实数a，b的值．
【解析】因为y=-（x-3）2+18
因为a＜b＜3，所以当x=a时，函数取得最小值ymin=
-7；
当x=b时，函数取得最大值ymax=9；
即
解得：a=8或-2；b=0或6．又因为a所以a=-2；b=0．
【变式练习】
利用函数的单调性
求函数的最值
图象法
函数的最大值在最高点取得
先确定或证明单调函数的单调性及
相应的单调区间，再求函数在何处
取得最大值或最小值
注意：两种方法经常结合应用
C
2.函数
在区间
上的最大值是_____
;
最小值是______.
【解析】函数
在［-2,-1］上为减函数，
当x=
-2时，y=
；当x=-1时，y=-5，所以函数
在x∈
［-2,
-1］上的最大值为
,最小值为-5.
3.
函数f(x)=x2+4ax+2在区间
(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是(
)
A.a≥3
B.a≤3
C.a≥-3
D.a≤-3
D
【解析】选D.二次函数的对称轴为x=-2a
故只需-2a≥6,即a≤-3
D
D
在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退.
——亚里士多德(共32张PPT)
3.1.3
函数的奇偶性
第1课时
函数的奇偶性
故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣,
给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！
1.理解函数的奇偶性的含义.(难点）
2.掌握判断函数的奇偶性的方法．（重点、难点）
3.了解奇函数、偶函数的图象的对称性.
直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1),
f(-2),
f(2),及f(-x)
,并画出它的图象.
解:
f(-2)=(-2)?=4，
f(2)=4
f(0)=0,f(-1)=(-1)?=1,f(1)=1，
f(-x)=(-x)?=x?
f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)
(-x,y)
-x
x
f(-x)
f(x)
x
y
o
(
x,y)
f(-x)=f(x)
微课1
偶函数的定义
思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？
函数图象关于y轴对称；对定义域内任意的自变量x都有
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任
意一个x，都有f(-x)=f(x)
，那么函数f(x)就
叫做偶函数.
例如，下图：
对定义域内任意的自变量x都有
对于定义在R上的函数f(x),若f(－3)=f(3),
则函数f(x)
是偶函数.
f(x)不一定是偶函数,仅有f(－3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.
【易错点拨】
若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a-1,2a］,则a=______，b=______.
【解析】因为定义域为［a-1,2a］关于原点对称，
所以a-1+2a=0，所以a=
又因为f(-x)=f(x)，
所以
x2-bx+1+b=
x2+bx+1+b,
由对应项系数相等得，-b=b，所以b=0.
0
【即时训练】
已知f(x)=x?,
求f(0),f(-1),f(1),
f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.
解:
f(-2)=(-2)?=-8，f(2)=8.
f(0)=0,f(-1)=(-1)?=-1，f(1)=1，
f(-x)=(-x)?=-x?
f(-1)=
-
f(1)
f(-2)=
-
f(2)
x
x
y
o
f(-x)=
-
f(x)
-x
f(-x)
f(x)
微课2
奇函数的定义
思考:奇函数中，函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？
提示：如图，f(-x)=-x3=-f(x)，即横坐标互为相反数的点的纵坐标互为相反数.
x
x
y
o
-x
f(-x)
f(x)
一般地，如果对于函数
f(x)
的定义域内任意
一个x，都有
f(-x)=-f(x)
，那么函数
f(x)就叫做奇函数.
根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？
偶函数
偶函数
【即时训练】
奇函数
奇函数
【提升总结】
奇函数与偶函数定义中的三性
(1)对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称；
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域内的每一个x都成立的；
(3)可逆性：f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数，f(-x)=
f(x)?f(x)是偶函数.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.(
)
(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.(
)
(3)如果一个函数的图象关于原点对称，则有
f(x)-f(－x)=0.
(
)
提示：(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数，故图象关于y轴对称.
(2)正确.因为f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)=-f(x)，即f(－0)=f(0)=-f(0),所以f(0)=0.
(3)错误.因为函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，故f(－x)=-f(x)，则有f(x)+f(－x)=0.
√
√
×
【即时小测】
例1
判断下列函数是否具有奇偶性：
（1）因为函数的定义域为R，所以
时，
又因为
，所以函数
是奇函数.
（2）因为函数的定义域为R，所以
时，
又因为
，所以函数
是偶函数.
（3）因为函数的定义域为R，所以
时，
又因为
且
，所以函数
是非奇非偶函数.
（4）因为函数的定义域为[-1,3]，而
，但
所以函数
是非奇非偶函数.
（1）判断函数
的奇偶性.
（2）如图是函数
图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？
【变式练习】
解：(1)对于函数
，其定义域是
.由于对定义域内的任意x，都有
所以，函数f(x)是奇函数.
(2)由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整个定义域上的图象.如图
用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：
（1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性.
（2）验证f(-x)=f(x)
，或者f(-x)=-f(x).
（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.
【总结规律】
1.函数不是奇函数就是偶函数吗？
【思考交流】
2.具备奇偶性的函数图象有什么特点？
例2.若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)的值能确定吗？
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
既奇又偶函数
奇函数
偶函数
定义
定义域特征
非奇非偶函数
图象特征
函数奇偶性的几个结论:
(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0,有时可用这个结论来否定个函数为奇函数
(2)若函数(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x)
(3)
偶±偶=偶，奇±奇=奇，偶×偶=奇×奇=偶，奇×偶=奇
（1）判断函数奇偶性第一步，
先判断函数定义域是否关于原点对称
（2）注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用
直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养
A
D
，
任何事情的成败取决于自己在遭遇困难时是抬起头还是低下头.(共41张PPT)
第2课时
函数奇偶性的应用
生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？
1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征.
2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式.(难点）
3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）
直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养
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课
堂
微课1
根据函数奇偶性画函数图象
偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象.
奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.
已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
【即时训练】
解：
已知函数f（x）满足f（5）=
-3，分别在条件“f（x）是
偶函数”与“f（x）是奇函数”下求出f（-5）的值
显然，如果f（x）是偶函数，则f（-5）=f（5）=
-3；
如果f（x）是奇函数，则f（-5）=-f（5）=3.
例3
已知函数f（x）满足f（5）比较f（-5）与f（-3）的大小：
（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）是奇函数。
解（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），因此
f（-5）=f（5），f（-3）=f（3）
从而由条件可知f（-5）（2）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），因此
f（-5）=-f（5），f（-3）=-f（3）
又由条件可知-f（5）>-f（3），从而f（-5）>f（-3）.
例3说明，当f（x）具有奇偶性时，函数的单调性会有一定规律.
已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，且它们的部分
图像如下图所示，补全函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，
函数单调性的规律。
不难看出，如果y=f（x）是偶函数，那么其在x>0与x<0时
的单调性相反；
如果y=f（x）是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同。
例4
研究函数
的性质，并作出函数图像.
解
要使函数表达式意义，需有x≠0，因此函数的定义域为
D={x∈R|x≠0}，
从而可知函数的图像有左右两部分.
设
则对任意x∈D，都有一x∈D，而且
所以函数
是偶函数，函数的两部分图像关于y轴对称
不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个组
x相一x时，对应的函数值相等，即
一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，
都有-x∈D，且
f（-x）=f（x），
则称y=f（x）为偶函数
下面研究函数在区间（0，+oo）上的性质及图像.
因为x1，x2∈（0，+
）时，有
所以
在（0，+oo）上是减函数
又因为x∈（0，+
）时，
>0，所以函数图像在右边的
部分一定在第一象限。列出部分函数值如下表所示，然后可以
描点作图。
例5
求证：二次函数f（x）=x2+4x+6的图像关于x=-2对称.
初中时，我们就在观察图像的基础上总结出过这个结论，但当时
开没有给出严格的证明.为了证明函数的图像关于x=0（即y轴）对
称，只需证明x轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么
该怎样证明函数的困像关于x=-2对称呢？
如下图所示，已知数轴上的A，B两点关于一2对应的点对称，而且
点A的坐标是一2+h，则点B的坐标是
-2-h
证明
任取h∈R，因为
f（-2+h）=（-2+h）2+4（-2+h）+6=h2+2，
f（-2-h）=（-2-h）2+4（-2-h）+6=h2+2，
所以f（-2+h）=f（-2-h），这就说明函数的图像关于x=-2对称。
由例5可知，要证明函数图像关于垂直于x轴的直线对称并不难，
但怎样才能找到对应的对称轴呢？以例5所示的二次函数为例，
注意到
f（x）=x2+4x+6=（x+2）2+2，
由此就容易得到f（-2+h）=f（-2-h），从而可知f（x）图像的
对称轴为x=-2
设奇函数f(x)的定义域为［-5,5]，当x∈［0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，
（1）作出函数在［-5,0]上的图象.
（2）求使函数y＜0的x的取值范围.
【变式练习】
解：利用奇函数图象的性质，画出函数在[－5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．
由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值范围为(－2,0)∪(2,5)．
微课2
根据函数的奇偶性求函数解析式
例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式.
（1）f(x)是偶函数；
（2）f(x)是奇函数.
分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求
当
时，如何用含x的表达式表示f(x).
能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞）上的自变量.
根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义
域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函
数就是f(x)=f(-x)，这样当
时，
，
而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同
样处理.
解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)，
当
时，
，
所以，当
时，
(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).
当
时，
，
所以，当
时，
-x+1
【变式练习】
微课3
利用函数的奇偶性研究函数的单调性
回顾例1中两个函数的图象
从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.
从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.
例.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明函数在（-∞，0）上也是减函数.
分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞，0)
上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在
(-∞，0)上的函数值转化到（0，+∞）上的函数值，
再根据函数在（0，+∞）上是减函数，确定所作的
差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的
结论.
所以-f(x1)+f(x2)<0
，即f(x1)-f(x2)>0.
证明：在（-∞，0）上任取x1-x2>0
因为函数在（0，+∞）上是减函数，所以
由于函数f(x)是奇函数，所以
根据减函数的定义，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数.
函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.
(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.
【总结规律】
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+6),那么f(10)+f(4)的值为_____.
【解析】因为f(x)为奇函数，
f(1)=2,f(x+1)=f(x+6),
所以f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,
f(4)=f(-1)=-2,故f(10)+f(4)=-2.
【变式练习】
-2
例：若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且
在[0,+∞)上是减函数，则
与
的
大小关系是________________.
【解题关键】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.
【解】因为
又因为f(x)在［0,+∞)上是减函数,
所以
又因为f(x)是偶函数，所以
所以
函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，试比较f(－2)与f(1)的大小．
解析：因为f(x)是偶函数，
所以f(1)＝f(－1),
又因为f(x)在(－∞，0]上为增函数，－2＜－1，
所以f(－2)＜f(－1)＝f(1)，
即f(－2)＜f(1).
【变式练习】
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
既奇又偶函数
奇函数
偶函数
定义
定义域特征
非奇非偶函数
图象特征
函数奇偶性的几个结论:
(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0,有时可用这个结论来否定个函数为奇函数
(2)若函数(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x)
(3)
偶±偶=偶，奇±奇=奇，偶×偶=奇×奇=偶，奇×偶=奇
（1）判断函数奇偶性第一步，
先判断函数定义域是否关于原点对称
（2）注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用
直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养
C
B
【解析】选B.由偶函数定义，f(－x)＝f(x)知，f(x)＝－x2，f(x)＝x2是偶函数，
又在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x)＝－x2符合条件.
B
①②④
6.已知函数f（x）是定义在[-4，4]上奇函数，且
在[-4，4]上单调递增．若f（a+1）+f（a-3）＜
0，求实数a的取值范围．
【解析】因为函数f（x）是定义在[-4，4]上的奇
函数，且在[-4，4]上单调递增．若f（a+1）+
f（a-3）＜0，则f（a+1）＜f（3-a），
解得-1＜a＜1.
但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。
——凡尔纳
