(共21张PPT)
3.2函数与方程、不等式之间的关系
第1课时
函数的零点、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
已知函数f（x）=x-1，我们知道，这个函数的定义域为
R，
而且可以求出，方程f（x）=0的解集为1，不等式f（x）>0的
解集为
，不等式f（x）<0的解集为
在下图中作出函数f（x）=x-1的图像，总结上述方程、不等
式的解集与函数定义城、函数图像之间的关系.
会利用函数的图像求解对应不等式的解集，会利用函数的性质判断对应方程是否有实根，会利用“二分法”找实数的近似值
本节课主要培养学生的数学运算以及数型结合思想，学会求函数零点，方程的根。
由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符
号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。具体
来说，假设函数f（x）的定义域为D，若
A={x∈D|f（x）<0}，
B={x∈D|f（x）=0}，
C={x∈D|f（x）>0}，
显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D=A∪B∪C.
一般地，如果函数y=f（x）在实数a处的函数值等于零，
即f（a）=0，则称a为函数y=f（x）的零点.上述集合B就是
函数所有零点组成的集合。
不难看出，a是函数f（x）零点的充分必要条件是，（a，0）
是函数图像与x轴的公共点。因此，由函数的图像可以方便地
看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0相对大小比较
的不等式的解集.
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例1
如下图所示是函数y=f（x）的图像，分别写出f（x）=0，
f（x）>0，f（x）≤0的解集.
解：由图可知，f（x）=0的解集为
{一5，一3，一1，2，4，6}.
f（x）>0的解集为
（一5，-3）∪（2，4）∪（4，6）.
f（x）≤0的解集为
[-6,-5]U[-3,2]U{4,6)
依照零点的定义可知，求函数y=f（x）的零点，实质上就是要解
方程f（x）=0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数
图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f（x）>0等
不等式的解集.
我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图像是抛物线，因此可以借助二次函数的图像得到一元二次不等式的解集.
例2
利用函数求下列不等式的解集：
（1）x2-x-6<0；（2）x2-x-6≥0.
解：设f（x）=x2-x-6，令f（x）=0，得
x2-x-6=0，
即(x-3)(x+2)=0，从而x=3或x=-2.
因此3和-2都是函数f（x）的零点，从而f（x）的图像与x轴相交
于（3，0）和（-2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，
所以可以作出函数图像示意图如下图所示.
由图可知：
（1）所求解集为（-2，3）；
（2）所求解集为（-∞，-2]∪[3，+∞）.
例3
利用函数求下列不等式的解集：
（1）x2-4x+4>0；（2）x2-4x+4≤0.
解
设f（x）=x2-4x+4，令f（x）=0，得
x2-4x+4=0，
即(x-2)2=0，从而x=2.
因此函数f（x）的零点为2，从而f（x）的图像与x轴相交于（2，0），
又因为函数图像是开口向上的抛物线，因此可知：
（1）所求解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；
（2）所求解集为{2}.
一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数
f（x）=ax2+bx+c（a≠0）：
（1）当Δ=b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素
x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图像与x轴有两个
公共点（x1，0），（x2，0）；
（2）当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元素xo，
且xo是f（x）唯一的零点，f（x）的图像与x轴有一个公共点；
（3）当Δ=b2-4ac=0<0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根，此时f（x）
无零点，f（x）的图像与x轴没有公共点。
更进一步，可以由二次函数的图像得到对应的不等式的解集，有关内容留作练习。
例4
求函数f（x）=（x+2）（x+1）（x-1）的零点，并作出函数
图像的示意图，写出不等式f（x）>0和f（x）≤0的解集。
解：
函数零点为一2，-1，1.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的
符号如下
由此可以画出函数图像的示意图如下图所示。
由图可知f（x）>0的解集为（-2，-1）∪（1，+
）；
f（x）≤0的解集为（-∞，-2]∪[-1，1].
函数的零点、不等式之间的关系
一元二次函数的解
一元二次不等式的解
因式分解
求根公式
一元二次方程的解
（1）因式分解
（2）穿根法求不等式的解
数学运算：因式分解求方程的解
穿根法求不等式得解
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
把烦恼和无奈抛给昨天，面对挑战，全身心的投入，争取青春无悔.(共18张PPT)
第2课时
零点的存在性及其近似解的求法
一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式。但是，对于次数大于或等于3的多项式函数（例如f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0），以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在求根公式）.因此我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点.
引导学生归纳总结结论，培养学生的抽象概括能力
理解函数零点存在性定理
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如下图所示，已知A，B都是函数y=f（x）图像上的点，而且函数
图像是连接A，B两点的连续不断的线，画出3种y=f（x）的可能的图像.判断f（x）是否一定存在零点，总结出一般规律。
可以看出，尝试与发现中的函数f（x）在区间（a，b）中一定存在零点
函数零点存在定理
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是
连续不断的，并且f（a）f（b）<0（即在区间两个端点处的函数值
异号），则函数y=f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点，即
?xo∈（a，b），f（xo）=0.
一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的.
需要注意的是，反比例函数
的图像不是连续不断的.
例
求证：函数f（x）=x3-2x+2至少有一个零点.
证明
因为f（0）=2>0，f（-2）=-8+4+2=-2<0，
所以f（-2）f（0）<0，因此?xo∈（-2，0），f（xo）=0，
即结论成立。
例中的函数在区间（-2，0）中存在零点xo，但是不难看出，
求出xo的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的
近似值呢？比如，能否求出一个x1，使得|x1-x0|<
？
如果在区间（一2，0）中任取一个数作为xo的近似值，那么误差
小于多少？
如果取区间（一2，0）的中点作为xo的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？
如果在区间（一2，0）中任取一个数作为xo的近似值，误差小于2；
如果取区间（一2，0）的中点作为x。的近似值，误差小于1.
一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，
从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下
表格表示.
其中第2行的区间是（-2，-1），这是因为f（-2）f（-1）<0，
其他区间都是用类似方式得到的.最后一行的函数值没有计算，是
因为不管xo∈（-2，
]，还是xo∈[
，
），我们都
可以将
要看成xo的近似值，而且误差小于
当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值
上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法。
在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的
图像是连续不断的，且f（a）f（b）<0），给定近似的精度ε，用
二分法求零点xo的近似值x1，使得|x1-xo|<ε的一般步骤如下：
零点存在性及其近似值的求法
零点存在性
二分法求零点
图像法
二分法
零点的求法及其判断
（1）已知零点的分布求参数的范围
（2）变号零点与不变号零点
抽象概括：零点存在性定理
数型结合求零点
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
一个人如果胸无大志，即使有壮丽的举动也称不上是伟人.
——拉罗什富科(共35张PPT)
3.4
函数的应用（一）
到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？
一次函数
二次函数
幂函数
（a≠0）
现实中经常遇到一次函数、二次函数、幂函数型的应用问题，如何利用我们所学的知识来解决呢？
1.了解函数、分段函数等社会生活中普遍使用的函数模型．
(重点）
2.掌握求解函数应用题的基本步骤.
(难点）
3.掌握对数据的合理处理，建立函数模型.
(难点）
4.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题.
数学建模：通过具体函数模型的运用，培养数学建模的核心素养
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例1
为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯
水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。
解:不难看出，f（x）是一个分段函数，而且：
当0当220f（x）=220×3.45+（x-220）×4.83
=4.83x-303.6；
当x>300时，有
f（x）=220×3.45+（300-220）×4.83+（x-300）×5.83
=5.83x-603.6.
因此
=3.45x，0f（x）
=14.83x-303.6，220=5.83x-603.6，x>300.
（2）因为220<260≤300，所以
f（260）=4.83×260-303.6=952.2，
因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。
由例1可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价
等内容.
例2
城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，
1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。假设每一
年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t（限定t<40）年
的城镇常住人口为f（t）亿.写出f（t）的解析式，并由此估算出
我国2017年的城镇常住人口数.
因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f（t）是一次函
数，设f（t）=kt+b，其中k，b是常数
注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年，因此
f（0）=1.7，
即
b=1.7，
f（35）=7.3，
35k+b=7.3，
解得k=0.16，b=1.7.因此
f（t）=0.16t+1.7，t∈N且t<40.
又因为2017年是1978年后的第2017-1978=39年，而且
f（39）=0.16×39+1.7=7.94，
所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿.
例3
某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都
客满。已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间.若
不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的
租金总收入最高？
分析
可以通过试算来理解题意，如下表所示。
解
设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元.
因为此时每间房单价为200+20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160-10x间，因此
y
=（200+20x）（160-10x）
=200（10+x）（16-x）
=200（-x2+6x+160）
=200[-（x-3）2+169]
=-200（x-3）2+33
800.
从而可知，当x=3时，y的最大值为33800.
因此每间房单价提到200+20×3=260元时，每天客房的租金总
收入最高。
例4
某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长
度为L，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于
多少？
解:设矩形的长为x时，场地的面积为S.
因为矩形的周长要为L，所以矩形的宽为
（L-2x），由
x>0，
（L-2x）>0
可解得0.
例5
已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000，且
当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成
本为f（Q）.
（1）求f（Q）的解析式；
（2）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值。
实
际
问
题
数
学
模
型
实际问题
的解
数学模型
的解
抽象概括
推理演算
还原说明
使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：
【提升总结】
1.一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图
所示，那么图象所对应的函数模型是
(
)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.幂函数模型
D.对数函数模型
观察可知图象是一条直线，所以是一次函数模型.
O
x
y
A
【变式练习】
【解题关键】
A
例2.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固
定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价
与日均销售量的关系如下表所示：
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价
才能获得最大利润？
销售单价（元）
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量（桶）
480
440
400
360
320
280
240
能看出数据变化的规律吗？
解：根据表可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为
480-40（x-1)=520-40x（桶）
由于x>0,且520-40x>0,即0y=(520-40x)x-200
=-40x2+520x-200,
0易知，当x=6.5时，y有最大值.
所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
分析表格，找出规律，设出变量，建立关系式
二次函数求最值
二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c
(a≠0).
(2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k
(a≠0).
(3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
具体用哪种形式可根据具体情况而定.
【提升总结】
某车间有30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10：7，问30名工人应当如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子），才能保证最快完成全部任务？
【变式练习】
完成全部任务的时间就是两组中需要用时较多的那组所用的时间，因此要想最快完成任务，两组所用时间之差应为0或越小越好.
【解题关键】
制作200把椅子所需时间为函数
解：设x名工人制作课桌，
名工人制作椅
子，由题意知，一个工人制作一张课桌与制作一
把椅子用时之比为10：7，则一个工人制作7张课桌
和制作10把椅子所用时间相等，不妨设为1个时
间单位，
那么制作100张课桌所需时间为函数
则完成全部任务所需时间
当
时，用时最少，
即
取得最小值.
由
解得
因为
判断
与
所以最少时间为
所以最少时间为
因为
所以
时，用时最少.
答：用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子最快完成任务.
因为
函数的
应用
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
在解决具体函数模型问题时
要有建模意识
求解函数解析式时要综合应用图形、待定系数法等
数学建模：通过具体函数模型的运用，培养数学建模的核心素养
利用图形求解析式时注意端点值
解决实际问题一定注意定义城，
分段函数分类时合理，
不重不漏
函数模型解析式
图象的形式
由图象写出解析式
一次函数
二次函数
幂函数
C
A
3.某工厂8年来某产品的总产量y与时间t(年)的函数关系如图所示，则
①前3年总产量增长速度越来越快；
②前3年总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量持续增长．
上述说法中正确的是___________.
①③
【解析】由图可知前3年的总产量增长速度是越来越快；而图象在t∈(3,8)上平行于t轴，说明总产量没有变化，所以第3年后该产品停止生产.因此只有①③正确.
【答案】①③
4.某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成
一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可
知，营销人员没有销售量时的收入是______.
300元
【解析】设函数解析式为y=kx+b(k≠0),
函数图象过(1,800),(2,1
300),
则
解得
∴解析式为y=500x+300,
当x=0时,y=300.
∴营销人员没有销售量时的收入是300元.
信念是生活的太阳，面对它时，酸楚的泪滴也会折射出绚丽的色彩。
