6.3.1平面向量基本定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（24张PPT）

6.3.1 平面向量基本定理
人教A版高中数学必修第二册
学习目标
1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
复习回顾
问题1：向量的加法运算是什么运算法则呢？
三角形法则：首尾连连首尾
A
B
C
平行四边形法则同起点,连角线
A
C
B
O
向量共线定理
向量 与非零向量 共线,则有且只有一个实数 ，使得：

长度：
1. 当 时，
与 方向相同；
方向：
2. 当 时，
与 方向相反；
3. 当 时，
引入新课
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。如图所示，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力。
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量 分解为两个向量，使向量 是这两个向量的和呢？
课堂探究
O
C
A
B
M
N
设 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内
与 都不共线的向量。
在平面内任取一点O，作
将 按 的方向分解，你有什么发现？
课堂探究
思考：给定平面内两个不共线的向量 可表示该平面内任一向量 吗？
O
C
A
B
M
N
给定平面内两个不共线的向量 可表示该平面内任一
向量 吗？
取
使
2.若
与
共线，则
使
1.若
知识生成
平面向量基本定理
条件
e1,e2是同一平面内的两个_____________
结论
对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底
_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线的向量
不共线
概念辨析
本质
向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.
应用
①用基底表示同一平面内的任一向量;
②根据“唯一性”列方程(组)求未知数;
③为引入向量的坐标表示奠定基础.
概念辨析
思考:
(1)0能与另外一个向量a构成基底吗?
(2)平面向量的基底是唯一的吗?
提示
(1)不能.基向量是不共线的,而0与任意向量是共线的.
(2)不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.
如果是 共线向量,那么向量 能否用 表示?为什么?
提示:不一定,当 与 共线时可以表示,否则不能表示.
概念辨析
平面向量的基底是唯一的吗?
提示:不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.
注意
1、基底不唯一，关键是不共线.
3、基底给定时，分解形式唯一.
2、由定理可将任一向量 在给出基底 的条件下进行分解.
典型例题
例1
已知：OA,OB不共线,AP=tAB,（t∈R），用OA,OB表示OP。
解：∵AP = t AB
∴OP = OA + AP
= OA + t AB
= OA + t（OB – OA）
= OA + tOB – tOA
=（1 - t）OA + tOB
B
O
A
P
典型例题
例2如图，CD是 的中线，CD= AB,用向量方法证明
是直角三角形.
A
B
C
D
典型例题
典型例题
例4 已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足
(x-2)e1+(y-1)e2=5e1+2e2,则x=　　　　,y=　　　　.?
【解析】因为向量e1,e2不共线,所以根据平面向量基本定理可由(x-2)e1+(y-1)e2=5e1+2e2,得x-2=5,且y-1=2,解得x=7,且y=3.
【答案】7　3
典型例题
例5 设{e1,e2}是平面内的一个基底,则下面的四组向量不
能作为基底的是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.e1+e2和e1-e2 B.e1和e1+e2
C.e1+3e2和e2+3e1 D.3e1-2e2和4e2-6e1
选D.因为{e1,e2}是平面内的一个基底,所以e1,e2不共线,而4e2-6e1=-2(3e1-2e2),则根据向量共线定理可得,(4e2-6e1)∥(3e1-2e2),根据基底的条件,选项D不能作为基底.
典型例题
解：
课堂小结
平面向量基本定理
条件
e1,e2是同一平面内的两个_____________
结论
对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底
_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线的向量
不共线
注意
1、基底不唯一，关键是不共线.
3、基底给定时，分解形式唯一.
2、由定理可将任一向量 在给出基底 的条件下进行分解.