7.1.1数系的扩充和复数的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第七章
复数
7.1复数的概念
7.1.1
数系的扩充和复数的概念
【课程标准】
通过方程在实数中存在无解的情况，了解引入虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程。
理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念
理解复数的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件。
【知识要点归纳】
1.关于虚数单位:
（1）它的平方等于，即；
（2）与－1的关系:
就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）的周期性：，，，（）.
2.
概念
形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.
3.复数集
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：.
4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数（），
当且仅当时，复数是实数；
当且仅当时，复数叫做虚数；
当且仅当且时，复数叫做纯虚数；
当且仅当时，复数就是实数0.
所以复数的分类如下:
　　（）.
5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
如果，那么，
特别地:
.
【经典例题】
例1．已知i为虚数单位，则i2021等于（　　）
A．i
B．1
C．﹣i
D．﹣1
例2．已知a，b∈R，若a2+b+（a﹣b）i＞2（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞2或a＜﹣1
B．a＞1或a＜﹣2
C．﹣1＜a＜2
D．﹣2＜a＜1
例3．已知虚数z＝（a+1）+（a2﹣1）i（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a的值为（　　）
A．2
B．2或﹣1
C．﹣2
D．﹣1
例4．已知m∈R，复数z＝+（m2﹣3m﹣18）i．
（1）当m为何值时，复数z为实数？
（2）当m为何值时，复数z为虚数？
（3）当m为何值时，复数z为纯虚数？
【课堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．已知复数z＝1+i（a+bi），其中a，b∈R．若z为纯虚数，则（　　）
A．a≠0，b＝﹣l
B．a＝0，b＝﹣1
C．a≠0，b＝1
D．a＝0，b＝1
2．复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i＝0，则实数m＝（　　）
A．2
B．3
C．2或3
D．0或2或3
3．复数z＝﹣2﹣4i的虚部是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
4．复数i+i2+i3+???+i2021＝（　　）
A．i﹣1
B．i
C．﹣1
D．0
二．填空题（共2小题）
5．若（i为虚数单位）是方程x2+bx+c＝0（b、c∈R）的一个根，则c﹣b＝　
　．
6．若复数z＝（a2﹣a）+ai（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a＝　
　．
三．解答题（共1小题）
7．已知复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（m∈R）．
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
参考答案
例题答案1．【解答】解：因为2021÷4余1，
故i2021等于i．
故选：A．
2．【解答】解：因为a2+b+（a﹣b）i＞2，
根据虚数不能比较大小，可得a2+b+（a﹣b）i为实数，
所以a﹣b＝0且a2+b＞2，即a2+a﹣2＞0，解得a＜﹣2或a＞1．
故选：B．
3．【解答】解：∵虚数z＝（a+1）+（a2﹣1）i（i是虚数单位）的实部与虚部相等，
∴a+1＝a2﹣1，
解得实数a＝2或a＝﹣1（舍）．
故a＝2．
故选：A．
4．【解答】解：（1）若复数z为实数，则虚部为0，即m2﹣3m﹣18＝0，解得m＝6或m＝﹣3，
又当m＝﹣3时，实部没有意义，故m＝6；
（2）若复数z为虚数，则虚部不为0，即m2﹣3m﹣18≠0，解得m≠﹣3且m≠6；
（3）若复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，即，解得m＝1或m＝﹣．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：∵复数z＝1+i（a+bi）＝1﹣b+ai，其中a，b∈R，
若z为纯虚数，则1﹣b＝0，且a≠0，
故选：C．
2．【解答】解：∵（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i＝0，∴m2﹣5m+6＝0，且m2﹣3m＝0，
求得m＝3，
故选：B．
3．【解答】解：由复数的定义可得，复数z＝﹣2﹣4i的虚部是﹣4．
故选：C．
4．【解答】解：∵i4＝1，i2021＝（i4）505?i＝i，
∴i+i2+i3+???+i2021＝＝＝i，
故选：B．
二．填空题（共2小题）
5．【解答】解：因为﹣1+i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，
故﹣1﹣i是方程的另一个根，
所以（﹣1+i）+（﹣1﹣i）＝﹣b，（﹣1+i）（﹣1﹣i）＝c，
解得b＝2，c＝3，
所以c﹣b＝1．
故答案为：1．
6．【解答】解：复数z＝（a2﹣a）+ai是纯虚数，
则a2﹣a＝0，a≠0，
解得a＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共1小题）
7．【解答】解：（1）若复数z是实数，则m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝5或﹣3；
（2）若复数z是虚数，则m2﹣2m﹣15≠0时，∴m≠5且m≠﹣3．
∴实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠﹣3}；
（3）若z是纯虚数，则，解得m＝﹣2．