7.1.2复数的几何意义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第七章
复数
7.1
复数的概念
7.1.2
复数的几何意义
【课程标准】
理解实轴、虚轴、模、复平面、共轭复数等概念
理解复数的几何意义
【知识要点归纳】
1.
复平面、实轴、虚轴：
点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数.
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。两个复数不全是实数时，不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；
（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
3.复数的模：
向量的长度叫做复数的模，记作.即.
4.共轭复数：
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数.即：复数和（）互为共轭复数.
【经典例题】
例1．实数分别取什么数值时，复数．
（1）与复数相等；
（2）与复数互为共轭复数；
（3）对应的点在轴上方．
例2．已知复数为虚数单位，为纯虚数，和是关于的方程的两个根．
（1）求，的值；
（2）若复数满足，说明在复平面内对应的点的集合是什么图形？并求该图形的面积．
例3．在复平面内，平行四边形的三个顶点，，对应的复数分别为，，为虚数单位），则点对应的复数为　　
A．
B．
C．
D．
【课堂检测】
一．选择题（共5小题）
1．设复数满足，在复平面内对应的点为，则点不可能在　　
A．二、四象限
B．一、三象限
C．实轴
D．虚轴
2．若在复平面内，复数，，所对应的点分别为，，，则的面积为　　
A．12
B．10
C．8
D．6
3．若复数表示的点在第三象限，则的取值范围为　　
A．
B．
C．
D．
4．四边形是复平面内的平行四边形，已知、、三点对应的复数分别是，，，则向量所对应的复数是　　
A．
B．
C．
D．
5．复数满足，若在复平面内对应的点为，则　　
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共2小题）
6．复数为虚数单位），则复数对应的点在第　　象限，　　．
7．已知复数在复平面内对应的点为，复数满足，则与对应的点间的距离的最大值为　　．
三．解答题（共1小题）
8．为何实数时，复数在复平面内所对应的点．
（1）在实轴上；
（2）在虚轴上；
（3）位于第四象限．
参考答案
例题解析
1．【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得解之，得．
（2）根据共轭复数的定义得解之，得．
（3）根据复数对应的点在轴上方可得，解之，得或．
2．【解答】解：（1）为纯虚数，
，即，解得，
此时，由韦达定理得，解得；
（2）复数满足，即，
不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，
不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，
所求点的集合是以原点为圆心，以1和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界．
则．
3．【解答】解：由题意得，，对应的点，，，设,
因为平行四边形中，，
所以,,,
所以,
所以,,
故点对应的复数为．
故选：．
当堂检测答案
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：由复数满足，得在复平面内对应的点的轨迹是以，为端点的线段的垂直平分线，
，的中点坐标为，，的垂直平分线方程为，
则点不可能在一、三象限．
故选：．
2．【解答】解：依题意，，，，
在复平面内作出的图形如图所示，
所以的面积为,
故选：．
3．【解答】解：由复数表示的点在第三象限可得：由复数表示的点在第三象限可得：且，
且，解得：，，．
故选：．
4．【解答】解：复平面内、、对应的点坐标分别为，，，
设的坐标，
由，得，，，
，，
解得，，故，
，
则对应的复数为．
故选：．
5．【解答】解：由，则，
所以，
化简可得：，
故选：．
二．填空题（共2小题）
6．【解答】解：，，
则复数对应的点的坐标为，在第四象限；
．
故答案为：四；．
7．【解答】解：复数在复平面内对应的点为，
复数满足，对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆．
则与对应的点间的距离的最大值，
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
8．【解答】解：（1）若复数所对应的点在实轴上，则，解得：或；
（2）若复数所对应的点在虚轴上，则，则或；
（3）若复数所对应的点在第四象限，则．