第5章5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质——2021-2022学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册同步新题练习(woord 含解析）

同步课时新题练
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
刷新题夯基础
　　　　　　
　　　　　
　　　　　
题组一　正、余弦(型)函数的周期性
1.函数y=cos的最小正周期是
(　　)
A.
B.
C.2π
D.5π
2.函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则ω等于
(　　)
A.5
B.10
C.15
D.20
3.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f的值等于
(　　)
A.1
B.
C.0
D.-
4.已知函数y=sin
x+|sin
x|.
(1)画出该函数图象的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.
题组二　正、余弦(型)函数的奇偶性
5.下列函数中是偶函数的是
(　　)
A.y=sin
2x
B.y=-sin
x
C.y=sin|x|
D.y=sin
x+1
6.设函数f(x)=sin,x∈R,则f(x)是
(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
7.(多选)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是
(　　)
A.
B.π
C.
D.-
8.(2020山西长治二中高一下期末)函数f(x)=3sin2x-+φ,φ∈(0,π)满足f(|x|)=f(x),则φ的值为　　　　.?
题组三　正、余弦(型)函数图象的对称性
9.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末)最小正周期为π,且图象关于点对称的一个函数是
(　　)
A.
f(x)=sin
B.
f(x)=sin
C.
f(x)=cos
D.
f(x)=sin
10.(多选)(2020辽宁沈阳东北育才学校高一下期中)函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为
(　　)
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=-
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),且对于任意x都有f
=f
,则f
的值为　　　　.?
12.已知函数f(x)=cos,则f(x)的最小正周期是　　　　,
f(x)图象的对称中心是　　　　　　　.
?
题组四　正、余弦(型)函数的单调性
13.已知函数y=sin
x和y=cos
x在区间I上都是减函数,那么区间I可以是
(　　)
A.
B.
C.
D.
14.函数y=2sin(ω>0)的周期为π,则其单调递增区间为
(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
15.函数f(x)=cos的单调递减区间是　　　　　　　.?
16.函数f(x)=sin,x∈[0,π]的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　.?
17.已知函数f(x)=sin,且f(x)的图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
题组五　正、余弦(型)函数的值域与最大(小)值
18.y=sin
x-|sin
x|的值域是
(　　)
A.[-1,0]
B.[0,1]
C.[-1,1]
D.[-2,0]
19.函数y=的最小值是
(　　)
A.2
B.-2
C.1
D.-1
20.(1)求函数y=3-2sin
x取得最大值、最小值时自变量x的集合,并写出函数的最大值、最小值;
(2)求函数f(x)=2sin2x+2sin
x-,x∈的值域.
21.已知函数f(x)=a-bcos(b>0)的最大值为,最小值为-.
(1)求a,b的值;
(2)求函数g(x)=-4asin的最小值,并求出取最小值时x的集合.
题组六　利用正、余弦函数的单调性比较大小
22.下列关系式中正确的是
(　　)
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
23.设a=cos,b=sin,c=cos,则
(　　)
A.a>c>b
B.c>b>a
C.c>a>b
D.b>c>a
24.(多选)下列不等式中成立的是
(　　)
A.sin>sin
B.cos
400°>cos(-50°)
C.sin
3>sin
2
D.sin
>cos
25.比较下列各组数的大小:
(1)sin
220°与sin
230°;
(2)cos
与cos
;
(3)sin与cos.
刷新题培素养　　　　　　
　　　　　
　　　　　
题组一　正、余弦(型)函数的周期性、奇偶性与图象的对称性
1.(2020辽宁辽阳高一下期末,)下列函数中,周期为π的奇函数是
(　　)
A.y=cos
B.y=sin(2x+3π)
C.y=cos(π+2x)
D.y=
2.(2020山西太原高一下期末,)已知函数f(x)=sin,则
(　　)
A.
f(x)的最大值为2
B.
f(x)的最小正周期为π
C.
f为奇函数
D.
f(x)的图象关于直线x=对称
3.(多选)(2020山东济南高一下检测,)关于函数f(x)=4sin(x∈R),下列命题正确的是
(　　)
A.y=f(x)的解析式可改写为y=4cos
B.y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
C.函数y=f是奇函数
D.y=f的图象关于y轴对称
4.(2020山东潍坊安丘实验中学高一下期中,)已知函数f(x)=2sin,若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)(x1,x2∈R)成立,则|x1-x2|的最小值为　　　　.?
题组二　正、余弦(型)函数的单调性与最大(小)值
5.(2020天津一中高一上期末,)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
6.(多选)(2020山东潍坊诸城高一下期中,)若m=sin在x∈上有解,则m的取值可能为(　　)
A.1
B.+2
C.
D.2
7.(2020福建八县(市)高一上期末联考,)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是
(　　)
A.
B.(0,2]
C.
D.
8.(2021黑龙江双鸭山一中高一上第二次月考,)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,且存在唯一的x0∈使得f(x0)=1,则ω的取值范围为
(　　)
A.
B.
C.
D.
9.(2020北师大附中高一上期末,)已知函数f(x)=2sin+1.
(1)求函数f(x)的周期;
(2)求函数f(x)在(0,π)上的单调区间;
(3)若对任意x∈R,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,试求m的取值范围.
题组三　正、余弦(型)函数性质的综合运用
10.(多选)(2020河北石家庄二中高一上期末,)
已知定义在区间[-π,π]上的函数f(x)=cos
x-x2,则下列条件中能使f(x1)(　　)
A.-π≤x1B.0≤x1C.|x1|>|x2|
D.≤
11.(多选)(2020福建福州高一下期末,)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(x)=f(2-x).若f(1)=1,则下列判断正确的是
(　　)
A.
f(3)=1
B.4是f(x)的一个周期
C.
f(2
018)+f(2
019)+f(2
020)=-1
D.
f(x)必存在最大值
12.(2020辽宁六校高一下期中联考,)函数f(x)=2sin2x--m,若f(x)≤0在x∈上恒成立,则m的取值范围是　　　　;若f(x)=0在x∈上有两个不同的实数解,则m的取值范围是　　　　.?
13.(2020山东泰安高一上期末,)
从①函数f为奇函数;②当x=时,f(x)=;③是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),
f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,　　　　　.?
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间.
14.()已知函数f(x)=3sin是奇函数.
(1)求函数f(x)的最大值与最小值,并写出取得最大值、最小值时自变量的取值集合;
(2)求函数g(x)=f,x∈的单调递增区间.
15.()已知f(x)=-2asin+2a+b,x∈,是否存在常数a,b∈Q,使得y=f(x)的值域为{y|-3≤y≤-1}?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
刷新题夯基础
1.D　函数y=cos的最小正周期是=5π.故选D.
2.B　由题意知T==,所以ω=10.
3.B　f=f
=f=sin=.
4.解析　(1)y=sin
x+|sin
x|
=函数图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,函数的最小正周期是2π.
5.C　A,B中的函数是奇函数,D中的函数是非奇非偶函数,C中的函数符合偶函数的定义,所以y=sin|x|是偶函数.
6.B　f(x)的最小正周期为T==π,定义域为R.
∵sin=-sin=-cos
2x,
∴f(x)=-cos
2x.
又f(-x)=-cos(-2x)=-cos
2x=f(x),
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
7.ACD　当φ=时,f(x)=sin=cos
2x,此时f(x)为偶函数,选项A正确;当φ=π时,f(x)=sin(2x+π)=-sin
2x,此时f(x)为奇函数,选项B不正确;当φ=时,f(x)=sin=-cos
2x,此时f(x)为偶函数,选项C正确;当φ=-时,f(x)=sin=-cos
2x,此时f(x)为偶函数,选项D正确.故选ACD.
8.答案　
解析　∵f(|x|)=f(x),
f(x)的定义域为R,∴f(x)是偶函数,∴-+φ=kπ+,k∈Z,
又φ∈(0,π),∴φ=.故答案为.
9.D　由于函数的最小正周期为π,所以=π,所以ω=2,所以选项A错误;
对于选项B,
f=sin=sin=-≠0,所以选项B是错误的;
对于选项C,
f=cos=cos
π=-1≠0,所以选项C是错误的;
对于选项D,f=sin=sin
π=0,所以选项D是正确的.
10.BC　令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z.
对于A,令-=,解得k=?Z,故A错误;
对于B,令-=,解得k=1∈Z,故B正确;
对于C,令-=,解得k=2∈Z,故C正确;
对于D,令-=-,解得k=-?Z,故D错误.
故选BC.
11.答案　2或-2
解析　∵f=f,∴直线x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象的一条对称轴,
∴f=±2.
12.答案　4π;(k∈Z)
解析　由f(x)=cos,得T==4π;令+=kπ+,k∈Z,求得x=2kπ+,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是,k∈Z.
13.B　逐一验证所给的区间:A.,函数y=sin
x在该区间上单调递增,函数y=cos
x在该区间上单调递减,不合题意;B.,函数y=sin
x在该区间上单调递减,函数y=cos
x在该区间上单调递减,符合题意;C.,函数y=sin
x在该区间上单调递减,函数y=cos
x在该区间上单调递增,不合题意;D.,函数y=sin
x在该区间上单调递增,函数y=cos
x在该区间上单调递增,不合题意.故选B.
14.C　∵周期T=π,∴=π,∴ω=2,
∴y=2sin.
由-+2kπ≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
15.答案　(k∈Z)
解析　令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
即f(x)的单调递减区间是
(k∈Z).
16.答案　;
解析　f(x)=-sin,x∈[0,π],
令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
又0≤x≤π,所以0≤x≤,
所以f(x)的单调递减区间为.
同理,
f(x)的单调递增区间为.
所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
17.解析　(1)∵直线x=是f(x)的图象的一条对称轴,
∴×+φ=+φ=kπ+,k∈Z,
又∵0<φ<,
∴φ=.
(2)由(1)知φ=,因此f(x)=sin.
令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,
得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ-,4kπ+,k∈Z.
18.D　y=sin
x-|sin
x|=
当-1≤sin
x<0时,-2≤2sin
x<0,
因此函数的值域为[-2,0].
19.B　因为y==2-,所以当sin
x=-1时,y=取得最小值-2.
20.解析　(1)∵-1≤sin
x≤1,∴当sin
x=-1,即x=2kπ+,k∈Z时,y取得最大值5,
相应的自变量x的集合为xx=2kπ+,k∈Z;
当sin
x=1,即x=2kπ+,k∈Z时,y取得最小值1,
相应的自变量x的集合为xx=2kπ+,k∈Z.
(2)令t=sin
x,g(t)=2t2+2t-.
∵x∈,
∴≤sin
x≤1,
即≤t≤1,
∴g(t)=2t2+2t-=2-1,t∈,
∴1≤g(t)≤,
∴函数f(x)的值域为.
21.解析　(1)由题意知cos∈[-1,1],∵b>0,
∴∴
(2)由(1)知a=,b=1,
∴g(x)=-2sin,
∵sin∈[-1,1],
∴g(x)∈[-2,2].
∴g(x)的最小值为-2,此时sin=1,则x-=2kπ+,k∈Z,∴x=2kπ+,k∈Z,故取最小值时x的集合为xx=2kπ+,k∈Z.
22.C　由诱导公式,得cos
10°=sin
80°,sin
168°=sin(180°-12°)=sin
12°,因为当0°≤x≤90°时,正弦函数y=sin
x是单调递增的,所以sin
11°12°80°,
即sin
11°168°10°.
23.A　由已知得b=sin=sin=sin=sin=cos,c=cos=cos,
因为>>>>0,且y=cos
x在上是减函数,所以cos
>cos
>cos
,即a>c>b,故选A.
24.BD　y=sin
x在上单调递增,且-<-,
∴sincos
400°=cos
40°>cos
50°=cos(-50°),故B成立.
y=sin
x在上单调递减,又<2<3<π,∴sin
2>sin
3,故C不成立.
sin
=-sin
,cos
=-cos
=-sin=-sin
.
∵0<<<,且y=sin
x在上单调递增,
∴sin
,∴sin
>cos
,故D成立.故选BD.
解析　(1)因为函数y=sin
x在上单调递减,且90°<220°<230°<270°,
所以sin
220°>sin
230°.
(2)cos
=cos=cos
,
cos
=cos=cos
.
因为函数y=cos
x在[0,π]上单调递减,且0<<<π,所以cos
>cos
,
即cos
>cos
.
(3)sin=sin
=-sin
,
cos=cos
=-cos
=-sin
.
因为函数y=sin
x在上单调递增,且-<<<,
所以sin
,
所以-sin
>-sin
.
即sin>cos.
刷新题培素养
1.B　对于A,y=cos
=-sin
,是奇函数,周期T==4π,不符合题意;
对于B,y=sin(2x+3π)=-sin
2x,是奇函数,周期T==π,符合题意;
对于C,y=cos(π+2x)=-cos
2x,是偶函数,不符合题意;
对于D,y==|sin
x|,是偶函数,不符合题意.故选B.
2.D　易知f(x)的最大值为,因此A错误;
f(x)的最小正周期T==4π,因此B错误;
f=sin+=sin,
f=sin
=sin=-sin,
则f≠-f,即f不是奇函数,因此C错误;令+=+kπ,k∈Z,得f(x)=sin的图象的对称轴方程为x=2kπ+,k∈Z,当k=1时,x=,因此D正确.故选D.
ACD　A正确,
f(x)=4sin=4cos=4cos;B错误,由题意知T==π;C正确,
f=4sin=4sin
2x,是奇函数;D正确,
f=4sin2+=
4cos
2x,是偶函数,其图象关于y轴对称.故选ACD.
4.答案　4π
解析　因为f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R成立,所以f(x1)为f(x)的最小值,f(x2)为f(x)的最大值.
|x1-x2|取最小值时,x1与x2必为f(x)在同一周期内的最小值和最大值对应的x,则=,又T==8π,故=4π.
5.C　因为对任意x∈R,f(x)≤恒成立,所以f=sin=±1,则可取φ=或φ=.当φ=时,f(x)=sin,则f=-f(π)=-,符合题意.故f(x)=sin.令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,即f(x)的单调递增区间是(k∈Z).故选C.
6.AC　∵x∈,
∴2x+∈,
∴sin∈[-1,],
又m=sin在x∈上有解,∴m∈[-1,],
结合选项可知A、C符合要求.故选AC.
7.C　∵函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,∴周期T=≥π,解得0<ω≤2.
∵f(x)=sin的单调递减区间满足+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,
即+≤x≤+,k∈Z,
∴存在k∈Z,使+≤,+≥π均成立,此时+4k≤ω≤+2k,k∈Z,
∴≤ω≤,即ω的取值范围是,故选C.
8.B　当x∈时,
ωx+∈,
因为函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,
所以-≤-ω+且ω+≤,
解得ω≤且ω≤,所以0<ω≤.
又存在唯一的x0∈使得f(x0)=1,
且当x∈时,ωx+∈,ω+,
所以≤ω+<,
解得≤ω<.
综上知,ω的取值范围是.故选B.
9.解析　(1)函数f(x)的周期为=π.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
当k=0时,-≤x≤,
当k=1时,≤x≤.
∵x∈(0,π),
∴函数f(x)在(0,π)上的单调增区间为,.
同理,函数f(x)在(0,π)上的单调减区间为.
(3)∵f(x)=2sin+1,
∴-1≤f(x)≤3,∴f(x)+2>0,
∴mf(x)+2m≥f(x)可化为m≥1-,∴要想不等式恒成立,只需m≥即可.
∵-1≤f(x)≤3,
∴-1≤1-≤,∴m≥.
10.AC　∵f(x)=cos
x-x2,x∈[-π,π],
f(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos
x-x2=f(x),
∴f(x)是偶函数.易知f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,
因此当-π≤x1∴A正确,B错误.
由f(x)是偶函数,
f(x1)得|x1|>|x2|,∴>,
从而C正确,D错误.故选AC.
警示　偶函数在原点两侧对称的单调区间上的单调性相反,解题时要将自变量化到同一单调区间内,防止错用单调区间造成错误.
11.BC　因为f(x)=f(2-x),且f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,
所以f(x)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
故f(x)为周期函数且周期为4k(k∈Z),故B正确.
f(-1)=f(3)=-f(1)=-1,故A错误.
f(2
018)+f(2
019)+f(2
020)=f(2)+f(-1)+f(0)=f(-1)=-1,故C正确.
设x∈[-1,1]时,f(x)=且f(x)=f(2-x),
则f(x)的图象如图所示:
f(x)为R上的奇函数,但f(x)没有最大值,故D错误.故选BC.
12.答案　m≥2;1≤m<2
解析　f(x)≤0可化为m≥2sin2x-,
当x∈时,2x-∈,
所以2sin∈[-1,2],
所以2sin的最大值为2,所以m≥2.
f(x)=0在x∈上有两个不同的实数解等价于函数y=2sin,x∈与y=m的图象有两个交点,函数y=f(x),x∈的图象如图所示:
由图可知,1≤m<2.
故答案为m≥2;1≤m<2.
13.解析　∵函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,
∴T==2π,∴ω=1,
∴f(x)=2sin(x+φ).
方案一:选条件①.
(1)∵f=2sin为奇函数,
∴φ-=kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
(2)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
∴令k=0,得-≤x≤,
令k=1,得≤x≤.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为,.
方案二:选条件②.
(1)∵f=2sin=,
∴sin=,
∴+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=2kπ或φ=+2kπ,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
(2)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
∴令k=0,得-≤x≤,
令k=1,得≤x≤.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为,.
方案三:选条件③.
(1)∵是函数f(x)的一个零点,
∴f=2sin=0,
∴+φ=kπ,k∈Z,
∴φ=kπ-,k∈Z.
∵0<φ<,
∴φ=,
∴f(x)=2sin.
(2)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
∴令k=0,得-≤x≤,
令k=1,得≤x≤.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为,.
14.解析　(1)由题意得f(0)=0,即3sin0-+φ=0,因此-+φ=kπ,k∈Z,
即φ=kπ+,k∈Z,而0<φ<,
∴φ=,
故f(x)=3sin
2x.
当2x=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值3,
当2x=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-3,
所以f(x)取最大值3时,自变量x的取值集合是,
f(x)取最小值-3时,自变量x的取值集合是.
(2)由(1)得g(x)=f=3sin-2x=-3sin,x∈,
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
又x∈,
故函数g(x)=f,x∈的单调递增区间为.
15.解析　∵≤x≤,
∴≤2x+≤,
∴-1≤sin≤.
假设存在有理数a,b,使得y=f(x)的值域为{y|-3≤y≤-1},
则当a>0时,
解得(不合题意,舍去);
当a=0时,
f(x)=b(不合题意,舍去);
当a<0时,解得故a=-1,b=1时,使得y=f(x)的值域为{y|-3≤y≤-1}.
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练高分