6.3平面向量基本定理及坐标表示第一课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

第六章 平面向量及其应用
6.3平面向量基本定理及坐标表示
第1课时 平面向量基本定理
【课程标准】
理解平面向量基本定理及其意义
能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题
通过学习平面向量基本定理，了解转化与化归思想
【知识要点归纳】
1. 基底
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
2.平面向量基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
【经典例题】
例1.（1）设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　)
A．2e1，3e2　　　　　　　　　 B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2
（2）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．

答案：B；③
例2.如图所示，在?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若false＝a，false＝b，试用基底{a，b}表示向量false，false.




用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　
例3.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.


答案：AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.


【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．下面三种说法，其中正确的是false　　false
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．在平行四边形false中，false，设false，false，则向量false　　false
A．false B．false C．false D．false
3．如图，在梯形false中，false，false，点false在线段false上，且false，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
4．在false中，false边上的高为false，false，false，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
二．解答题（共1小题）
5．设两个非零向量false与false不共线．
（1）若false，求证：false，false，false三点共线
（2）试确定实数false，使false和false反向共线．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．下面三种说法，其中正确的是false　　false
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据基底的定义进行判断．
【解答】解：由基底的定义可知：平面内任意一对不共线的向量都可以作为一组基底，故①错误，②正确；
因为零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故③正确．
故选：false．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
2．在平行四边形false中，false，设false，false，则向量false　　false
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据向量的运算法则计算即可．
【解答】解：falsefalse，false，
falsefalse，
故选：false．
【点评】本题考查了向量的运算法则，考查转化思想，是一道基础题．
3．如图，在梯形false中，false，false，点false在线段false上，且false，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
【分析】求出false，从而求出false，再求出false即可．
【解答】解：falsefalse，
false，
falsefalse，
故选：false．
【点评】本题考查了向量的运算，考查数形结合思想，是一道基础题．
4．在false中，false边上的高为false，false，false，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
【分析】可画出图形，根据条件知false，可求出false，从而求出false，进而可求出false，false的长，从而可用false来表示向量false．
【解答】解：如图，
falsefalse，false，false是false边上的高，
falsefalse，false，
falsefalse，
falsefalse．
故选：false．
【点评】本题考查了直角三角形的边的关系，三角形的面积公式，向量数乘和减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于中档题．
二．解答题（共1小题）
5．设两个非零向量false与false不共线．
（1）若false，求证：false，false，false三点共线
（2）试确定实数false，使false和false反向共线．
【分析】（1）利用向量共线定理即可证明．
（2）利用向量共线定理即可证明．
【解答】（1）证明：falsefalse，
falsefalse．
falsefalse共线，又它们有公共点false，false，false，false三点共线．
（2）解：falsefalse与false反向共线，false存在实数false，使false，
即false，false．
falsefalse是不共线的两个非零向量，false，
false，false，
false，false
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．