6.2平面向量的运算第二课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

第六章 平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
第2课时 向量的数乘运算
【课程标准】
通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义。
了解平面向量的线性运算性及其几何意义。
掌握平面向量基本定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
【知识要点归纳】
1．数乘向量
(1)定义：
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：
(i)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ii)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．
(2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
(3)运算律：
设λ，μ为实数，则
①(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；
②λ(μ a)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
注意：数乘向量与实数的乘法的区别。
[提示]　(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的．
2．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【经典例题】
例1．已知false，false，
（1）求false．
（2）求false。
例2．已知false，false，false，false都是向量，且false，false，试用false，false分别表示false，false．
例3．已知两个非零向量false与false不共线，false，false，false．
（1）若false，求false的值；
（2）若false，false，false三点共线，求false的值．


例4．已知非零向量false，false，false，false，false，求证：false，false，false三点在同一条直线上．



例5．如图，已知false中，false为false的中点，false，false，false交于点false，设false，false．
（1）用false，false分别表示向量false，false；
（2）若false，求实数false的值．





【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形false中，false是false的中点，false是线段false上靠近点false的三等分点，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
2．已知false，点false为边false上一点，且满足false，则向量false　　false
A．false B．false C．false D．false
3．在平行四边形false中，false为false的中点，false为false的中点，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
4．在false所在的平面上有一点false，满足false，设false，false，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
二．填空题（共2小题）
5．在false中，点false，false分别在边false，false上，且false，false，记false，false，若false，则false的值为　　．
6．在平行四边形false中，false，则false　　（用false表示）．
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形false中，若false是该平面上任意一点，则满足false．
（1）若false是false的中点，求false的值；
（2）若false、false、false三点共线，求证：false．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．如图，在平行四边形false中，false是false的中点，false是线段false上靠近点false的三等分点，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
【分析】利用平面向量的基本定理，用false和false线性表示false向量即可．
【解答】解：由可知，false，
故选：false．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，是基础题．
2．已知false，点false为边false上一点，且满足false，则向量false　　false
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据false可得出false，然后进行向量的数乘运算求出false即可．
【解答】解：falsefalse，
falsefalse，
falsefalse．
故选：false．
【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．在平行四边形false中，false为false的中点，false为false的中点，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据条件可画出图形，根据向量加法、减法和数乘的几何意义即可用false表示出向量false．
【解答】解：如图，false四边形false为平行四边形，false为false的中点，false为false的中点，
falsefalse
false
false
false
false．
故选：false．
【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．在false所在的平面上有一点false，满足false，设false，false，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得false为线段false的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案．
【解答】解：falsefalse，
falsefalse；
即false；
故点false是false边上的第二个三等分点；
false；
故选：false．
【点评】本题考查向量的运算法则，涉及共线向量定理，属基础题．
二．填空题（共2小题）
5．在false中，点false，false分别在边false，false上，且false，false，记false，false，若false，则false的值为　false　．
【分析】可画出图形，根据false，false即可得出false，再根据false便可得出false，又知false，这样根据平面向量基本即可求出false，false的值．
【解答】解：如图，
false，false；
falsefalse，false，且false；
falsefalse；
又false；
false根据平面向量基本定理得，false；
falsefalse．
故答案为：false．
【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
6．在平行四边形false中，false，则false　false　（用false表示）．
【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由false得false，利用向量的三角形法则得false，且false，最后将左式的两个向量都用用false表示即得．
【解答】解：由false得false，且false，
又false，
falsefalse．
故答案为：false．
【点评】本题考点是向量加减混合运算及其几何意义，考查了向量加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握向量加减法的法则，根据图象将所研究的向量用基向量表示出来，本题考查数形结合的思想，是向量在几何中运用的基础题型．
三．解答题（共1小题）
7．已知平行四边形false中，若false是该平面上任意一点，则满足false．
（1）若false是false的中点，求false的值；
（2）若false、false、false三点共线，求证：false．
【分析】（1）false是false的中点时，可得出false，从而根据平面向量基本定理得出false；
（2）根据false，false，false三点共线可得出false与false共线，从而得出false，进而得出false，这样根据平面向量基本定理即可得出false．
【解答】解：（1）若false是false的中点，则false，
又false，
false根据平面向量基本定理得，false，
falsefalse；
（2）证明：false，false，false三点共线，
falsefalse和false共线，
false存在实数false，使false，
falsefalse，
falsefalse，
又false，
false根据平面向量基本定理得，false．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，共线向量和平面向量基本定理，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算和推理能力，属于基础题．