6.2平面向量的运算第三课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

第六章 平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
第3课时向量的数量积
【课程标准】
理解平面向量的数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
通过几何直观，理解平面向量投影的概念及其投影向量的意义。
会用向量的数量积判定两个向量的垂直关系，以及解决夹角、模的问题
【知识要点归纳】
1．两向量的夹角
4514215128270(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作false＝a，false＝b，则∠AOB＝false(0≤false≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当false＝0时，向量a与b同向；
②当false＝false时，向量a与b垂直，记作a⊥b；
③当false＝false时，向量a与b反向．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|false叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|false.
规定零向量与任一向量的数量积为0．
注意：
(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
3．投影向量
如图(1)，设a，b是两个非零向量，false＝a，false＝b，我们考虑如下变换：过false的起点A和终点B，分别作false所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到false，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，false叫做向量a在向量b上的投影向量．
4609465-159385

right0如图(2)，在平面内任取一点O，作false＝a，false＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则false就是向量a在向量b上的投影向量．
(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|false e.
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b?a·b＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.
(4)|a·b|≤|a||b|.
注意：
对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
注意：
(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
【经典例题】
例题1 .　(1)已知单位向量e1，e2的夹角为false，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是________．
(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：
①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．
【答案】(1)32　(2) ①91. ②206.
例题2．(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|.
（3）．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．
【答案】(1)23　 (2)2
例题3.(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．


例题4.(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为(　　)
A．－32 B．32
C．±32 D．1
(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为false，则实数λ＝________．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．若false，false，向量false与向量false的夹角为false，则向量false在向量false上的投影向量为false　　false
A．false B．false C．false D．false
2．在平行四边形false中，false，则false　　false
A．false B．6 C．false D．8
3．若平面向量false与false的夹角为false，false，false，则false　　false
A．false B．false C．2 D．3
4．己知false、false、false是平面内的三个单位向量，若false，则false的最小值为false　　false
A．false B．false C．false D．5
二．填空题（共4小题）
5．已知单位向量false满足false．设false，则向量false的夹角的余弦值为　　．
6．已知向量false，1，false，false，0，false，且false与false的夹角为钝角，则实数false的取值范围为　　．
7．已知非零向量false与false的夹角为false，false，若false，则false　　．
8．已知向量false，false满足false，false，false与false的夹角为false，false，则false　　．
三．解答题（共2小题）
9．已知平面内两个不共线的向量false，false，
（1）求false．
（2）求false与false的夹角．
10．已知平面内两个不共线的向量false，false，false，false，false．
（1）求false．
（2）求false与false的夹角．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．若false，false，向量false与向量false的夹角为false，则向量false在向量false上的投影向量为false　　false
A．false B．false C．false D．false
【分析】根据条件及投影向量的求解方法即可得出false在false上的投影向量为：false，然后化简即可．
【解答】解：falsefalse，
falsefalse在false上的投影向量为：false．
故选：false．
【点评】本题考查了投影和投影向量的定义及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
2．在平行四边形false中，false，则false　　false
A．false B．6 C．false D．8
【分析】利用向量的三角形法则，结合向量的数量积求解即可．
【解答】解：在平行四边形false中，false，
false．
故选：false．
【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查．
3．若平面向量false与false的夹角为false，false，false，则false　　false
A．false B．false C．2 D．3
【分析】利用平面向量的数量积得到关于false的方程，求解即可．
【解答】解：平面向量false与false的夹角为false，false，false，
可得false，
可得false，解得false，false（舍去）．
故选：false．
【点评】本题考查了平面向量的模长以及数量积的运算；属于基础题．
4．己知false、false、false是平面内的三个单位向量，若false，则false的最小值为false　　false
A．false B．false C．false D．5
【分析】把false，false当成平面直角坐标系的基向量，由false，根据阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为false．
【解答】解：根据题意设false，false，false对应的点false在单位圆上，
false，
所以false，
false表示false点到点false和false的距离之和，
过点false和false的直线为false，
原点到直线false的距离为false，
所以与单位圆相交，
所以false的最小值为点false和false之间的距离，为false，
即false的最小值为false．
故选：false．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
5．已知单位向量false满足false．设false，则向量false的夹角的余弦值为　false　．
【分析】对false两边平方即可求出false，然后可求出false，false和false的值，从而可根据向量夹角的余弦公式可得出false夹角的余弦值．
【解答】解：falsefalse，
falsefalse，falsefalse，
falsefalse，false，false，
falsefalse．
故答案为：false．
【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
6．已知向量false，1，false，false，0，false，且false与false的夹角为钝角，则实数false的取值范围为　false，且false　．
【分析】由题意利用两个向量的数量积公式求得false，再两个向量共线的性质，两个向量的夹角公式，求得false的范围．
【解答】解：false向量false，1，false，false，0，false，falsefalse，且false、false不平行．
false与false的夹角为钝角，设false与false的夹角为false，
false与false不共线且false，
即false，且falsefalse，
即false，且false．
即false，且false，
求得false，且false．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量的夹角公式，属于中档题．
7．已知非零向量false与false的夹角为false，false，若false，则false　1　．
【分析】根据条件及false即可得出false，从而可得出false，然后根据false解出false的值即可．
【解答】解：falsefalse，false，false，
falsefalse，且false，false解得false．
故答案为：1．
【点评】本题考查了向量数量积的计算公式和向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
8．已知向量false，false满足false，false，false与false的夹角为false，false，则false　false　．
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得false的值．
【解答】解：false向量false，false满足false，false，false与false的夹角为false，false，
false，
故答案为：false．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．
三．解答题（共2小题）
9．已知平面内两个不共线的向量false，false，
（1）求false．
（2）求false与false的夹角．
【分析】（1）根据条件对false的两边平方即可得出关于false的方程，然后根据题意知false，从而解出false；
（2）进行数量积的运算可求出false和false的值，然后即可求出false的值，从而可求出false和false的夹角．
【解答】解：（1）falsefalse，false，false，
falsefalse，且false，false解得false；
（2）false，false，
falsefalse，且false，
falsefalse．
【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
10．已知平面内两个不共线的向量false，false，false，false，false．
（1）求false．
（2）求false与false的夹角．
【分析】（1）根据条件可求出false，然后根据false进行数量积的运算即可求出false的值；
（2）可求出false的值，进而可求出false的值，从而可求出false与false的夹角．
【解答】解：（1）falsefalse，
falsefalse，
falsefalse；
（2）false，
falsefalse，且false，
falsefalse与false的夹角为false．
【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．